1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 49 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若事件 A1，A 2，A 3 两两独立，则下列结论成立的是( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） 两两独立（C） P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)（D） 相互独立2 设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2的指数分布的是( )（A）X+Y（B） XY（C） maxX，Y（D）minX，Y3 对于随机变量 X1，X 2，X n，下列说法不正确的是( )（A）若 X1，X 2，X n 两两不相关，则 D(
2、X1+X2+Xn)=（B）若 X1，X 2，X n 相互独立，则 D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn)（C）若 X1，X 2，X n 相互独立同分布，服从 N(0， 2)，则（D）若 D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn)，则 X1，X 2，X n 两两不相关4 设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X n 为总体 X 的简单随机样本， 与 S2 分别为样本均值与样本方差，则( )5 从正态总体 XN(0， 2)中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n，则可作为参数2 的无偏估计量的是( )二、填空题6 设随机变量 X 的概率密度为 ( x+)，Y
3、=X 2 的概率密度为_7 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且分布函数为令 U=X+Y，则 U 的分布函数为_8 设 X 的分布函数为 且 Y=X21，则 E(XY)=_9 设 X1，X 2，X 100 相互独立且在区间1，1上同服从均匀分布，则由中心极限定理 _10 设总体 XN(0，8) ，Y N(0 ，2 2)，且 X1 及(Y 1，Y 2)分别为来自上述两个总体的样本，则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 独立投骰子两次，X，Y 表示投出的点数，令 A=X+Y=10)，B=XY)，则P(A+B)=_12 设 10 件产品中有 4 件不合格，从中任取两件，已知两
4、件中有一件不合格，则另一件产品也不合格的概率为_13 将编号为 1，2，3 的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率13 甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为 60和 5014 甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；15 甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率16 有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3 个白球 2 个黑球，现从甲袋中任取一球放人乙袋，再从乙袋中任取 4 个球，设 4 个球中的黑球数用 X 表示，求 X 的分布律17 设 求矩阵 A 可对角化的概率18 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 独立
5、同分布，且 (i=1，2，3，4)，求 X= 的概率分布18 设随机变量 XU(0，1)，在 X=x(0x1)下，Y U(0 ，x)19 求 X，Y 的联合密度函数；20 求 Y 的边缘密度函数20 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1 ，3 2)，Y N(0 ，4 2)，且X，Y 的相关系数为21 求 E(Z)，D(Z)； 22 求 XZ； 23 X，Z 是否相互独立? 为什么 ?24 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2)分布，令 Z=maxX，Y，求E(Z)25 设总体 XN(， 2) ， X1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本，令求 E(X1T)26
6、 设总体 XU( 1， 2)，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本，求 1， 2 的矩估计和最大似然估计考研数学三（概率统计）模拟试卷 49 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于 A1，A 2，A 3 两两独立，所以 也两两独立，但不一相互独立，选 B【知识模块】 随机事件与概率2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 XE()，所以密度函数为 分布函数为E(XY)=0，而 maxX，Y 的分布函数是 所以A，B，C 项都不对，选 D事实上，minX，Y的分布函数为 P(minX，Yx)=1 P(minX，Y x
7、)=1 P(X x，Yx)=1P(Xx)P(yx)=11F(x) 2=【知识模块】 多维随机变量及其分布3 【正确答案】 D【试题解析】 若 X1，X 2，X n 相互独立，则 B，C 是正确的，若X1，X 2，X n 两两不相关，则 A 是正确的，选 D【知识模块】 随机变量的数字特征4 【正确答案】 A【试题解析】 由相互独立，于是 选 A【知识模块】 数理统计的基本概念5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 为 2 的无偏估计量，选 A【知识模块】 参数估计二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 F Y(y)=P(Yy)=P(X2y) 当 y0 时，F Y(y)=0；当 y0 时，F
8、Y(y)=P(X2y)于是【知识模块】 随机变量及其分布7 【正确答案】 【试题解析】 F U(u)=P(Uu)=P(X+Yu)，当 u0 时，F U(u)=0； 当 0u1 时，FU(u)=P(Uu)=P(X+Yu)=P(X=0，Yu)=P(X=0)P(yu)= 当1u2 时， FU(u)=P(X=0，Yu)+P(X=1，Yu1)当 u2 时，F U(u)=1所以【知识模块】 多维随机变量及其分布8 【正确答案】 06【试题解析】 随机变量 X 的分布律为 E(XY)=EX(X21)=E(X 3X)=E(X 3)E(X) ，因为 E(X3)=803+105+802=03，E(X)=203+1
9、05+202=03，所以 E(XY)=06【知识模块】 随机变量的数字特征9 【正确答案】 08413【试题解析】 令【知识模块】 大数定律和中心极限定理10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 数理统计的基本概念三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【试题解析】 P(A)=PX=4，Y=6十 PX=5，Y=5+PX=6，y=4= P(B)=PX=2，Y=1+PX=3，Y=1+PX=3，Y=2+PX=4，Y=3 +PX=4，Y=2+PX=4 ， Y=1+PX=5，Y=4+PX=5，Y=3)+PX=5，Y=2+PX=5，Y=1+PX=6 ， Y=5+PX=6
10、，Y=4)+PX=6，Y=3+PX=6，Y=2+PX=6，Y=1= P(AB)=PX=6，Y=4= 则 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=【知识模块】 随机事件与概率12 【正确答案】 【试题解析】 令 A=第一件产品合格，B=第二件产品合格)，则所求概率为【知识模块】 随机事件与概率13 【正确答案】 设 Ai=第 i 本书正好在第 i 个位置 ， B=至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同，则 B=A1+A2+A3，且故P(B)=P(A1)+P(A2)+P(A3)P(A 1A2)P(A 1A3)P(A 2A3)+P(A1A2A3)【知识模块】 随机事件与概率【知识模块】 随
11、机事件与概率14 【正确答案】 设 A=甲击中目标 ，B= 乙击中目标 ，C=击中目标，则C=A+B，P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B) =06+05 0605=08【知识模块】 随机事件与概率15 【正确答案】 设 A1=选中甲 ，A 2=选中乙 ，B=目标被击中 ，则 P(A1)=P(A2)= P(BA 1)=06，P(BA 2)=05，【知识模块】 随机事件与概率16 【正确答案】 设 A=(从甲袋中取出黑球)，X 的可能取值为 0，1，2，3，令X=i=Bi(i=0，1，2，3)，则 P(X=0)=P(B0)P(A)P(B 0A)+
12、P(X=1)=P(B1)P(A)P(B 1A)+P(X=2)=P(B2)P(A)P(B 2A)+ P(X=3)=P(B3)P(A)P(B3A)+ 所以 X 的分布律为【知识模块】 随机变量及其分布17 【正确答案】 由 =(1)(2)(Y)=0，得矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=Y若 Y1，2 时，矩阵 A 一定可以对角化；当 Y=1 时， =1为二重特征值，因为 r(EA)=2，所以 A不可对角化；当 Y=2 时， =2 为二重特征值，因为 r(2EA)=1，所以 A 可对角化，故 A 可对角化的概率为 P(Y1，2)+P(Y=2)=P(Y=0)+P(Y=2)+P(Y=3)=【
13、知识模块】 随机变量及其分布18 【正确答案】 X= =X1X4X 2X3，令 U=X1X4，V=X 2X3，且 U，V 独立同分布P(U=1)=P(X 1=1，X 4=1)=016，P(U=0)=084，X 的可能取值为1，0，1P(X= 1)=P(U=0，V=1)=P(U=0)P(V=1)=084016=0 134 4，P(X=1)=P(U=1，V=0)=P(U=1)P(V=0)=0 160 84=0 1 34 4，P(X=0)=120134 4=0731 2，于是【知识模块】 多维随机变量及其分布【知识模块】 多维随机变量及其分布19 【正确答案】 因为 XU(0，1)，所以 又在X=x
14、(0x1)下，YU(0，x)，所以 故f(x，y)=f X(x)fYX (yx)=【知识模块】 多维随机变量及其分布20 【正确答案】 f Y(y)= +f(x，y)如，当 y0或 y1时，f Y(y)=0；当 0y1 时，【知识模块】 多维随机变量及其分布【知识模块】 随机变量的数字特征21 【正确答案】 【知识模块】 随机变量的数字特征22 【正确答案】 XZ=0【知识模块】 随机变量的数字特征23 【正确答案】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 Z 服从正态分布，同时 X也服从正态分布，又 X，Z 不相关，所以 X，Z 相互独立【知识模块】 随机变量的数字特征24 【正确答案】 因为
15、 X，Y 都服从 N(， 2)分布，所以且 U，V 相互独立，则X=U+，Y=V+，故 Z=maxX，Y=maxU ， V+，由 U，V 相互独立得(U， V)的联合密度函数为 (u，v+)于是 E(Z)=EmaxU， V+而 Emax(U，V)= +du +max(u，v)f(u ，v)dv【知识模块】 随机变量的数字特征25 【正确答案】 因为 X1，X 2，X n 独立同分布，所以有 E(X1T)=E(X2T)=E(XnT)=E(X1T)【知识模块】 数理统计的基本概念26 【正确答案】 f(x； 1， 2)= L(x1，x 2，x n； 1， 2)=lnL(1， 2)=nln( 2 1)，因为 lnL(1， 2)是 1 的单调增函数，是 2 的单调减函数，所以【知识模块】 参数估计
