1、考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (16 年 )设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(1，2)，Y N(1 ，4) ，则 D(XY) 【 】（A）6（B） 8（C） 14（D）152 (94 年 )设 X1，X 2，X n 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本， 是样本均值，记 则服从自由度为 n1 的 t 分布的随机变量是 【 】（A）（B）（C）（D）3 (02 年 )设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则 【 】（A）XY 服从正态分布（B） X2Y 2 服从 Z2 分布（
2、C） X2 和 Y2 都服从 2 分布（D）X 2Y 2 服从 F 分布4 (11 年 )设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1，X 2，X n(n2)为来自该总体的简单随机样本则对于统计量 T1 和 T2 ，有 【 】（A）ET 1ET 2，DT 1DT 2（B） ET1ET 2，DT 1DT 2（C） ET1ET 2，DT 1DT 2（D）ET 1ET 2，DT 1DT 25 (12 年 )设 X1，X 2，X 3， X4 为来自总体 N(1， 2)(0)的简单随机样本，则统计量 的分布为 【 】（A）N(0 ，1)（B） t(1)（C） 2(1)（D）F(1，1)6 (14 年
3、 )设 X1，X 2，X 3 为来自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，则统计量 S服从的分布为 【 】（A）F(1，1)（B） F(2，1)（C） t(1)（D）t(2)7 (15 年 )设总体 XB(m，) ，X 1，X 2，X n 为来自该总体的简单随机样本，一为样本均值，则 【 】（A）(m 1)n(1)（B） m(n1)(1)（C） (m1)(n 1)(1 )（D）mm(1) 8 (92 年 )设 n 个随机变量 X1，X 2，X n 独立同分布，DX 1 2， ，则 【 】（A）S 是 的无偏估计量（B） S 是 的最大似然估计量（C） S 是 的相合估计量(即一致估计量)（D
4、）S 与 相互独立9 (05 年 )设一批零件的长度服从正态分布 N(， 2)，其中 ， 2 均未知现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 20(cm) ，样本标准差 s1(cm)，则 的置信度为 090 的置信区间是 【 】（A）(20 t005 (16)，20 t005 (16)（B） (20 t01 (16)， 20 t01 (16)（C） (20 t005 (15)， 20 t005 (15)（D）(20 t01 (15)，20 t01 (15)二、填空题10 (10 年) 设 X1，X 2，X n 是来自总体 N(， 2)(0)的简单随机样本记统计量 T ，则 ET_ 11 (1
5、4 年) 设总体 X 的概率密度为 其中 是未知参数，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本若 2，则 c_12 (93 年) 设总体 X 的方差为 1，根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本，测得样本均值为 5则 X 的数学期望的置信度近似等于 095 的置信区间为_13 (96 年) 设由来自正态总体 XN(，09 2)容量为 9 的简单随机样本，得样本均值 5则未知参数 的置信度为 095 的置信区间是 _14 (02 年) 设总体 X 的概率密度为 而 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数 的矩估计量为_15 (06 年) 设总体 X
6、 的概率密度为 f() ( )，X 1，X 2，X n 为总体 X 的简单随机样本，其样本方差为 S2，则 ES2_16 (95 年) 设 X1，X n 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其中参数， 2 未知记 则假设 H0：0 的 t 检验使用的统计量 t_17 (89 年) 设 X 为随机变量且 EX ，DX 2则由切比雪夫不等式，有PX 3_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 (01 年) 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的假设每箱平均重50 千克，标准差为 5 千克若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱
7、，才能保障不超载的概率大于 0977(2)：0977，其中 ()是标准正态分布函数 )19 (99 年) 设 X1，X 2，X 9 是来自正态总体 X 的简单随机样本， Y (X1X 6)， Y2 (X7X 8X 9) 证明统计量 Z 服从自由度为 2的 t 分布20 (16 年) 设总体 X 的概率密度为 其中 (0，)为未知参数，X 1，X 2，X 3为来自总体 X 的简单随机样本，令 TmaxX 1，X 2，X 3 () 求 T 的概率密度； ()确定 a，使得 E(aT)21 (91 年) 设总体 X 的概率密度为 其中 0 是未知参数，0 是已知常数试根据来自总体 X 的简单随机样本
8、 X1，X 2，X n，求 的最大似然估计量22 (00 年) 设 050，125，080，200 是来自总体 X 的简单随机样本值已知 YlnX 服从正态分布 N(，1)(1)求 X 的数学期望 EX(记 EX 为 b)；(2)求 的置信度为 095 的置信区间；(3)利用上述结果求 b 的置信度为 095 的置信区间23 (04 年) 设随机变量 X 的分布函数为 其中参数 0， 1，设X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本 ()当 1 时，求未知参数 的矩估计量； () 当 1 时，求未知参数 的最大似然估计量； ()当 2 时，求未知参数口的最大似然估计量24 (05 年
9、) 设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0， 2)的简单随机样本，其样本均值为 记 YiX i ，i1，2，n 求：()求 Yi 的方差DYi，i1，2，n； ()求 Y1 与 Yn 的协方差 Cov(Y1，Y n)； ()若 c(Y1Y n)2是 2 的无偏估计量，求常数 c25 (06 年) 设总体 X 的概率密度为 其中 是未知参数(01)，X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值 1， 2， n 中小于 1 的个数求 () 的矩估计； () 的最大似然估计26 (07 年) 设总体 X 的概率密度为 其中参数 (01)未知，X 1，X 2，X
10、n是来自总体 X 的简单随机样本，叉是样本均值 ()求参数 的矩估计量 ； ()判断 4 是否为 2 的无偏估计量，并说明理由27 (08 年) 设 X1，X 2，X n 是总体 N(， 2)的简单随机样本，记 ()证明 T是 2 的无偏估计量； ()当 0，1 时，求 DT28 (13 年) 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数且大于零X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本 ()求 的矩估计量； ()求 的最大似然估计量29 (15 年) 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数X 1，X 2，X n 为来自该总体的简单随机样本 ()求 的矩估计量； ()求 的最大似
11、然估计量30 (96 年) 设 X1，X 2，K n 是来自总体 X 的简单随机样本已知EX4a k(k1，2，3，4)，证明当 n 充分大时，随机变量 Zn 近似服从正态分布，并指出其分布参数考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由题意知：EX1，DX2，EY1，DY4，于是 E(X2)DX(EX) 221 23，E(Y 2)DY(EY) 241 25，注意到 X2 与 Y2 是独立的，于是 D(XY) E(XY) 2E(XY) 2 E(X 2Y2)EX.EY 2 E(X
12、2).EY2(EX)2(EY)2 351 21214 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 XN(0，1)，YN(0，1) X2 2(1)，Y 2 2(1)，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知 X1，X 2，X n 独立同分布，EXiDX i，i1，2，n故： 可见 ET1ET 2，DT 1DT 2，故选 D【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 由题意得：E(X 1X 2)EX 1EX 2110，D(X 1X 2)DX 1DX 2 2 22
13、 2， X 1X 2N(0，2 2) 同理，E(X 3E 4)EX 3EX 4112， D(X 3X 4)DX 3DX 4 22， X 3X 4N(2 ，2 2) 又X 1X 2 与 X3X 4 独立，故【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 由题意可知：X 1X 2N(0，2)， N(0 ，1) 又：N(0 ，1) ， 2(1)且 X3 与 X1X 2 独立， 故 t(1) 即 St(1)，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与
14、数理统计二、填空题10 【正确答案】 2 2【试题解析】 由题意知 EXi，DX i 2， EX i2DX i 十(EX i)2 2 2，i1，2，n 故 ET 2 2【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 由题意得： 故 c【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 (4804，5196)【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 (4412，5588)【试题解析】 由题意知 XN(， ) N(0，1) 故095 P 0 3u 0975 03u 0975 而 u0975 196，5，故得 的置信度为 095 的置信区间为 (50 3196，503196)(
15、4412，5588)【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 2【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 记 Xi 为第 i 箱的重量，i1，2， 由题意知，X1，X n( n1)独立同分布，且 EX150， 5 又设汽车可装 k 箱符合要求，由题意应有： P Xi5000)0977 (*) 而 由中心极限定理知：N(0 ，1)(k 充分大) 故： 由(*)式得： 若
16、令 ，代入得：102210000 由 0， 0 故 02k 980199【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 由题意可设 XN(， 2)，得： 故 E(Y1Y 2)0， D(Y1Y 2) DY1DY 2 Y1Y 2N(0 ， )故 N(0，1) 而 S2 是由样本 X7，X 8，X 9 构成的样本方差，可知 2(2)，且 S2 与 Y1，与 Y2 都独立，故与 Y1Y 2 独立， 于是由 t 分布的构成得： t(2)即 Zt(2) 【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 () 先求总体 X 的分布函数 F() f(t；)dt 0 时，F()0； 时，F() 1； 0 时，
17、F() 所以， F() 再求 T 的分布函数 FT(t) FT(t)P(Tt)Pmax(X 1，X 2，X 3)t PX 1t，X 2t，X 3tPX 1t3 于是，T 的概率密度为 ()由题意，E(T)ET 可见 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 似然函数为 当 1， n 0 时， lnLnlnnln(1)ln(1 n) i ，解得 由于 0，可见 lnL 在 处取得唯一的极值且为极大值，故知 lnL(或 L)在该点处取得最大值 故知：【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 (1)b EX Ee Y 记 y t，作积分变量代换，得 (2)取自总体 Y 的样本值为：y
18、 1ln05，y 2Inl25 ，y 3ln08，y 4ln2，则 的置信度为 1 的置信区间为： 本题中01，n4， 005， u 0.975196 而(ln05In1 25ln08ln2) ln(051250 82) ln10 代入得 的置信度为 0 95 的置信区间为 (0 196 ，0196 )(0 98，098)【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 总体 X 的概率密度为： f(；，)F X(； ，) ()1 时， f(， ，) EX ，得卢的矩估计量为： () 1 时，似然函数为 1， n1 时，lnLnln(1)ln( 1 n)， ln()，令 0，解得 ，故知卢的最
19、大似然估计为 ()2 时，X 的概率密度为： 故似然函数为： 可见 时， 越大则 L 越大，为使 L 达最大，可取 ，故 的最大似然估计为 【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 ()由题意，Ec(Y 1Y n)2 2 而 Ec(Y1Y 2)2cE(Y 1)2E(Y n)22E(Y 1Yn) 而 E(Y1)E(X 1 )E(X 1)E( )000，E(Y 1)2DY 1E(Y 1)2DY 1 ， 同理 E(Yn)2 又 E(Y1Yn)Cov(Y 1，Y n)E(Y 1)E(yn)Cov(Y 1，Y n) 2 故得 2Ec(Y 1Y n)2 ， c 【知识模块】 概率论与数理统计25
20、【正确答案】 () EX f(；)d 01.d 12.(1)d 故知 的矩估计为 ()似然函数 而由题意， 1， 2， n 中有 N个的值在区间(0，1) 内，故知 L N(1) n-N lnLNln(nN)ln(1)，得 令 0，得 故知 的最大似然估计为 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 () ， 得 ， 故 的矩估计量为 由DX0，0，可知 E4( )2 2，有 E4( )22，即 4( )2 不是 的无偏估计量【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 () 由 ， 有 又由 ES2 2 知 ET 2 即 T 为 2的无偏估计量 () 由已知条件知 与 S2 独立
21、 DT 这里 1， D(S2) 又由 ，知 ，得 N(0，1)，即 N(0 ，1) 故得 2(1)，即 n( )2 2(1) Dn( )22，即 n2D( )22，得 DT【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 矩估计：EX 做代换：t ，得 EX 0 e-tdt ，得 最大似然估计：似然函数为 当 i0，i 1，n 时 lnL2ln 3ln( 1 n) 故 的最大似然估计量为【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 ()E(X) ，故 的矩估计为 1 ()似然函数为 可见， 的最大似然估计为 【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 由题意可知， 由中心极限定理可知： 即获证，而参数为(a2， )【知识模块】 概率论与数理统计
