1、考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (11 年 )设 F1()与 F2()为两个分布函数，其相应的概率密度 f1()与 f2()是连续函数，则必为概率密度的是 【 】（A）f 1()f2()（B） 2f2()F1()（C） f1()F2()（D）f 1()F2()f 2()F1()2 (12 年 )设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则PX2Y 21 【 】（A）（B）（C）（D）3 (13 年 )设 X1，X 2，X 3 是随机变量，且 X1N(0 ，1)，X 2N
2、(0，2 2)，X3N(5 ，3 3)，p iP 2X i2(i1，2，3)，则 【 】（A）P 1p 2p 3（B） P2p 1P 3（C） p3p 1p 2（D）p 1p 3p 24 (13 年 )设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X 和 Y 的概率分布分别为 则PXY2 【 】（A）（B）（C）（D）5 (91 年 )对任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)E(X).E(Y)，则 【 】（A）D(XY) D(X).D(y)（B） D(XY)D(X)D(Y)（C） X 与 Y 独立（D）X 与 Y 不独立6 (95 年 )设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 UXY ，V XY
3、，则随机变量U 与 V 必然 【 】（A）不独立（B）独立（C）相关系数不为零（D）相关系数为零7 (01 年 )将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关系数等于 【 】（A）1（B） 0（C）（D）18 (07 年 )设随机变量 (X， Y)服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，f x()，f Y(y)分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Yy 的条件下，X 的条件概率密度 fXY (y)为 【 】（A）f x()（B） fY(y)（C） fx()f(y)（D）9 (08 年 )设随机变量 XN(0 ，1) ，YN(1，4)，且相关
4、系数 XY1，则 【 】（A）PY2X11（B） PY 2X11（C） PY 2X11（D）PY2X11二、填空题10 (99 年) 在天平上重复称量一重为 a 的物品假设各次称量结果相互独立且服从正态分布 N(a，02 2)若以 表示，n 次称量结果的算术平均值，则为使 Pa 01095n 的最小值应不小于自然数_11 (01 年) 设随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为2 和 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为05，则根据切比雪夫不等式有 P XY6_12 (97 年) 设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布 N(0，3 2)，而X1，X 2，X 9 和 Y1，Y 2，Y
5、 9 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本则统计量 U 服从_分布，参数为_ 13 (98 年) 设 X1，X 2，X 3， X4 是来自正态总体 N(0，2 2)的简单随机样本，X a(X 1一 2X2)2b(3X 34X 4)2则当 a_，b_时，统计量 X 服从 2 分布，其自由度为_14 (01 年) 设总体 XN(0 ，2 2)，而 X1，X 2，X 15 是来自总体 X 的简单随机样本，则随机变量 Y 服从_分布，参数为_ 15 (03 年) 设总体 X 服从参数为 2 的指数分布，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n时，Y n 依概率收敛于_16
6、 (04 年) 设总体 X 服从正态分布 N(1， 2)，总体 Y 服从正态分布 N(2， 2)，X1，X 2， 和 Y1，Y 2， 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则 _17 (09 年) 设 X1，X 2，X m 为来自二项分布总体 B(n，p)的简单随机样本，和 S2 分别为样本均值和样本方差记统计量 T S 2，则ET_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 (00 年) 设 A，B 是二随机事件，随机变量 试证明随机变量 X 和 Y 不相关的充分必要条件是 A 与 B 相互独立19 (02 年) 假设随机变量 U 在区间2，2 上服从均匀分布，随机变量 试
7、求(1)X 和 Y 的联合概率分布； (2)D(X Y)20 (02 年) 设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作的时间(EX)为 5 小时设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机试求该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 F(y)21 (04 年) 设 A，B 为两个随机事件，且 P(A) ，P(BA) ，P(AB)，令 求：() 二维随机变量(X，Y) 的概率分布； ()X 与 Y 的相关系数(X，Y) ； ()XX 2Y 2 的概率分布22 (06 年) 设随机变量 X 的概率密度为 令 YX 2，F(，y)为二维随机变量
8、(X， Y)的分布函数求 ()Y 的概率密度 FY(y)； ()Cov(X ，Y)； ()F( ，4)23 (10 年) 箱中装有 6 个球，其中红、白、黑球的个数分别为 1，2，3 个现从箱中随机地取出 2 个球，记 X 为取出的红球个数，Y 为取出的白球个数()求随机变量 (X，Y)的概率分布；()求 Cov(X，Y)24 (11 年) 设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为 且 P(X2Y 21 ()求二维随机变量(X，Y) 的概率分布； () 求 ZXY 的概率分布； ()求 X 与 Y 的相关系数 XY25 (12 年) 设二维离散型随机变量(X，Y) 的概率分布为 ()求 PX
9、一 2Y； ()求 Coy(XY，Y)26 (12 年) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布记UmaxX，Y)，VminX ，Y ( )求 V 的概率密度 fV(v)； ()求 E(UV) 27 (14 年) 设随机变量 X 的概率分布为 PX1 PX2 在给定 Xi 的条件下，随机变量 Y 服从均匀分布 U(0，i)(i1，2) ()求 Y 的分布函数 FY(y)；()求 EY28 (14 年) 设随机变量 X， Y 的概率分布相同，X 的概率分布为 PX0 ，PX1 ，且 X 与 Y 的相关系数 XY ()求(X ，Y)的概率分布； () 求 PXY129 (
10、15 年) 设随机变量 X 的概率密度为 对 X 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 Y 为观测次数 ()求 Y 的概率分布； ()求EY30 (88 年) 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔中被盗索赔户占 20以 X 表示在随机抽查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数 (1)写出 X 概率分布； (2)利用棣莫佛一拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值 () 是标准正态分布函数考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答
11、案】 D【试题解析】 由题意知 F1()f 1()，F 2()f()，且 F1()F2()为分布函数，那么F1()F2()f 1()F2()F 1()f2()为概率密度，故选 D【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知 X，Y 的概率密度分别为 又由 X 与 Y 独立，知(X，Y)的概率密度为 f(，y) f x().fY(y) 则 PX2Y 21【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 P 1P2X 12(2)( 2) 2(2)1 p 1P2X 22(1) (1)2)(1)1 p 3P(2X 32) (1)( )(*)(1) 这儿 ()
12、，是服从 N(0，1)分布的随机变量的分布函数，知(2)(1)，故 p1p 2； 又 (1)08413，而 ( )1，可得 p2p 3，故选A【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 P(X Y2) P(X 1，Y1)P(X2，Y0)P(X3，Y1) P(X1)P(Y1) P(X 一 2)P(Y0)P(X3)P(Y1) 【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 A【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 A【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【知识
13、模块】 概率论与数理统计二、填空题10 【正确答案】 16【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 t；9【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 ；2【试题解析】 E(X 12X 2)EX 12EX 20 D(X 12X 2)DX 14DX 244420 E(3X 34X 4)3EX 34EX 430 400 D(3X34X 4)9DX 316DX 494164100 得 ，且相互独立， 由 2 分布的构成知： 与题目的 X 比较即得结果【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 F ；(10 ，5)【试题解析】 由题意
14、知 XiN(0 ，2 2)， N(0 ，1)，i 1，2，15且都相互独立则由 2 分布的构成知： 且二者独立 故由 F 分布的构成得： 即 YF(10， 5)【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 2【试题解析】 由题意有【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 np 2【试题解析】 设总体为 X，则知 XB(n，p)，且 EXnp，DXnp(1p) np，ES 2np(1p) ， 故 ET ES 2npnp(1p)np 2【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 由
15、已知得： EX1.P(A)(1)P( )P(A)P( )2P(A)1 EY 1.P(B)(1)P( )P(B)P( )2P(B) 1 E(XY) 11P(AB)1(1)P( )1(1)P( )(1)( 1)P( ) P(AB) P(AB)P(A)P(AB)P(B) P(AB)1P(A) P(B)P(AB) 4P(AB)2P(A)2P(B)1 cov(X，Y) E(XY)EX.EY4P(AB)2P(A)2P(B)12P(A) 12P(B)1 4P(AB)P(A)P(B) 故，X 与不相关 cov(X，Y) 0 P(AB)P(A)P(B) A 与 B 独立【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确
16、答案】 二维随机变量可能取的值为(1，1)，(1，1)，(1，1)，(1，1)由题意，可设 U 的概率密度为 (1)P(X1，Y 1)P(U1，U1)P(U1) 1 f()d ， P(X1，Y1)P(U1，U1)0， P(X1，Y1)P(U1，U1) P(1U1) ， P(X1，Y1)P(U1，U1)P(U1) 故(X，Y) 的分布律为(2)由(X，Y)的联合分布律可得 XY 的分布律为： 进而(XY) 2 的分布律为： 可得 E(XY) 0， E(X Y) 2 0 2 故 D(XY)D(XY) 2 E(XY) 220 22【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设 X 的分布参数为
17、 ，由已知，5EX 即知 X的概率密度为 由题意知 Ymin(X，2) 则 Y 的分布函数 F(y)P(Yy)Pmin(X，2)y 显然，Y0 时，F(y)0；y2 时，F(y)1； 而当 0y2 时，F(y)P(XY) yfxf()d 即 F(y)【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 ()P(X1，Y1)P(AB) ， P(X0，Y1)P() P(B)P(AB) ， P(X1，Y0)P( )P(A)P(AB) ， P(X0，Y0)P( )1P(AB)1P(A) P(B) P(AB)1( ) 故(X， Y)的概率分布为： () 由()易得关于 X、Y 的概率分布( 列)分别为：故
18、EX ，E(X 2) ，DXE(X 2)(EX 2) ， EY ，E(Y 2) ，DYE(Y 2)(EY) 2 而由(X，Y)的概率分布可得： E(XY) 故得 ()Z 可能取得值为： 0，1，2 PZ0PX 2Y 20PX0，Y0 ， PZ 1 pX 2Y 21PX0，Y 1PX1，Y0 ， PZ 2 PX 2Y 2 2PX1，Y 1 故 Z 的分布( 列)为：【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 ()Y 的分布函数为 Fy(y)P(Yy)P(X 2y) y0时，F Y(y)0f Y(y)F Y(y)0； y 0 时，F Y(y) 若 1 即 0y1 时，F Y(y)fY(y)F
19、 Y(y) 若 1 2 即 1y4 时，F Y(y) fY(y)F Y(y) 若 2即 y4时，F Y 1f Y(y)F Y(y)0 故 fY(y) ()cov(X，Y) cov(X，X 2)E(X 3)EX.E(X 2) 代入得 cov(X，Y)【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 ()(X ， Y)的概率分布为： ()可求得关于 X，y 的边缘分布列分别为： 可得 EX 而由(X，Y)的联合分布可得 E(XY) 故Cov(X，Y)E(XY)EXEY【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 () 由 P(X2Y 2)1，可得： P(X 0，Y1)P(X1，Y0)P(X0，
20、Y1)0 由联合分布律、边缘分布律之间的关系，可得(X ，Y)的联合(含边缘) 分布列如表所示 () 由(X，Y)的联合分布列易知 ZXY 可能取的值为1，0，1，易得： ()由(X，Y) 的分布 (及 X，Y 的分布)，易知： E(XY)0(1)000 0101( 1) 10011 0 DXE(X) (EX) ， DYE(Y 2)(EY) 故【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 ()PX 2Y PX 0，Y0PX2，Y1 ()由(X ， Y)的分布可得 X， Y 及 XY 的分布分别为： 故 DYE(Y 2)(EY) 2， Cov(X，Y)E(XY)EX.EY 10 得 Cov(
21、XY ，Y)Cov(X ，Y)DY0 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 由题意，可得 X，Y 的概率密度为 X，Y 的分布函数为 ()设 V 的分布函数为 FV(v)，则 F V(v)PVv Pmin(X ，Yv1Pmin(X，Y)v 1PX v，Yv 1PXvPY u1PXv 2 11 P(Xv) 211F(v) 2 fV(v)F V(v) ()UVmax(X，Y)min(X，Y)XY， E(UV) E(XY)EX EY 112【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 ()F Y(y)P(Yy)P(YyX 1)P(X1)P(YyX2)P(X2) 由题意可得： ()由(
22、) 得 Y 的概率密度为 故 EY 【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 由题意得： 知 EXEY ，DXDY 而E(XY)P(X 1，Y1) P(X1，Y1) 又由 P(X1)P(X1，Y 2)P(X1，Y1)及 P(X1) 得 P(X1，Y0) ，同理P(X0，Y1) 又由 P(Xi，Yj)1，得 P(X0，Y 0) 即(X， Y)的概率分布为： ()P(X Y1)1P(XY 1)1P(XY 2) 1P(X1，Y1)【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 ()P(X3) P(Yk) ，k2，3， () 令g() k(k1) k-2，1 则在 1 时， 故 EY 16【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 (1)由题意，XB(100，02)即：PXkC 100k.02 k.08 100-k，k0，1，2，100 (2)EX1000220，DX1000 20816 由中心极限定理知： N(0，1) (100 已充分大) 故所求概率为 P14X30 (25)(15)(2 5)1(1 5) 0994 109330927【知识模块】 概率论与数理统计
