1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 一 t(n)(n1) ，Y= 则( )（A）Y 2(n)（B） Y 2(n 一 1)（C） YF(n，1)（D）YF(1，n)2 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本， 与 S2 分别是样本均值与样本方差，则( )3 假设两个正态分布总体 X 一 N(1，1)，Y 一 N(2，1)，X 1，X 2，X m 与Y1，Y 2，Y n 分别是取自总体的相互独立的简单随机样本X 与 Y 分别是其样本均值，S 12 与 S22 分别
2、是其样本方差，则 ( )4 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)， S2 分别为容量是 n 的样本的均值和方差，则可以作出服从自由度为 n 一 1 的 t 分布的随机变量是 ( )5 假设总体 X 服从参数为 的泊松分布，X 1，X 2， ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其均值为 方差为 S2已知为 为 的无偏估计，则a 等于( )（A）一 1（B） 0（C）（D）16 假设 X1，X 2，X 10 是来自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，则( )（A）X 2 一 2(1)（B） Y2 一 2(10)（C）（D）7 已知总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2)，现从总
3、体 X 与 Y 中抽取容量为 n 的两组相互独立的简单随机样本，其方差分别为 SX2 和 SY2，现构造 2 的四个无偏估计量： 则它们中方差最小的是( )（A）(1)（B） (2)（C） (3)（D）(4)8 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其均值和方差分别为 ，则可以作出服从自由度为 n 的 2 分布的随机变量是( )9 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其均值、方差分别为 则( )10 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，X 1，X 2，X 10 是来自总体 X 的简单随机样本，统
4、计量 (1i10)服从 F 分布，则 i 等于( )（A）5（B） 4（C） 3（D）211 设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0， 2)，已知 X1，X 2，X m 与Y1，Y 2，Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的两个相互独立的简单随机样本，统计量服从 t(n)分布，则 等于( )12 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本， 是样本均值，记则可以作出服从自由度为 n 一 1 的 t 分布统计量( )13 假设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2， ，X n 是取自总体的简单随机样本(n 1)，其均值为 如果 P|X 一 |a=P（
5、A）与 及 n 都有关（B）与 及 n 都无关（C）与 无关，与 n 有关（D）与 有关，与 n 无关14 设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1) ，数 u满足 PXu =，若 P|X|x= ，则 x 等于( )15 设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1，X 2，X n(n2)为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量 有( )（A）ET 1ET 2，DT 1DT 2（B） ET1ET 2，DT 1DT 2（C） ET1ET 2，DT 1DT 2（D）ET 1ET 2，DT 1DT 2二、填空题16 设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，
6、而(0kn)17 设总体 X 的概率密度函数为 f(x)= (一x+)，X 1，X 2，X n 为总体 X 的简单随机样本，其样本方差为 S2，则 E(S2)=_18 设 X1，X 2，X n 为来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其中参数 2 未知记 对假设 H0： 2=02，在 已知时使用 2 检验统计量为 _；在 未知时使用 2 检验统计量为_19 设 X1，X 2，X n 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本 (n2)，记样本均值 的方差 D(Y)=_20 设 X1，X 2，X 3，X 4 是来自正态总体 N(0，2 2)的简单随机样本， Y=a(X1 一 2X2)2+b(
7、3X3 一 4X4)2，则当 a=_，b=_ 时，统计量服从 2 分布，自由度为_21 设总体 XP()，则来自总体 X 的样本 X1，X 2，X n 的样本均值 的概率分布为_22 设总体 X 与 Y 相互独立且均服从正态分布 N(0， 2)，已知 X1，X 2，X m 与Y1，Y 2，Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的简单随机样本，统计量服从 t(n)分布，则 =_.23 设随机变量 X 服从 n 个自由度的 t 分布，定义 t满足 PXt=1 一(01)若已知 P|X|x =b(b 0)，则 z=_24 设 X1，X 2，X 9 是来自总体 X 一 N(，4)的简单随机样本，而 是样
8、本均值，则满足 =095 的常数 =_(196)=0975)25 假设总体 X 服从标准正态分布，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，则统计量 都服从_分布，且其分布参数分别为_和_26 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，而 X1，X 2，X 15 是取自总体 X 的简单随机样本，则 服从_分布，分布参数为_27 已知总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2， ，X 2n 是取自总体 X 容量为 2n的简单随机样本，当 2 未知时， 为 2 无偏估计，则C=_，D(Y)=_28 设 X1，X 2，X 6 是来自正态分布 N(0， 2)的简单随机样本统计量
9、 F=服从 F(n1，n 2)分布，其中 a 为常数，则参数 n1 和 n2 分别为_29 总体 XN(0， 2)，参数 0 未知，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本(n 0)，令估计量30 设总体 X 的密度函数 分别为取自总体 X 容量为 n 的样本的均值和方差，则 E(S2)=_31 设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 一 N(， 2)的简单随机样本，记样本方差为S2，则 D(S2)_32 设总体 X 的数学期望和方差都存在，X 1，X 2Xn 是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值，则对于任意 i,j(ij)， 的相关系数pij=_.三、解答题解答应写出
10、文字说明、证明过程或演算步骤。33 从正态总体 N(34，6 2)中抽取容量为 n 的样本，如果要求其样本均值位于区间(14， 54)内的概率不小于 095，问样本容量 n 至少应取多大?34 设随机变量 X 的概率密度为 令 Y=X2，F(x，y)为二维随机变量(X，Y) 的分布函数(I) 求 Y 的概率密度 fY(y)；35 已知样本观测值为 x1，x 2，x n，设 a 及 b0 为常数，作变换()s x2=b2sy2，其中sx2 及 sy2 分别是样本方差的观测值36 设总体 XN(0， 2)，参数 0 未知，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本(n 1)，令估计量3
11、7 设总体 X 一 N(， 2)， ， 2 未知，X 1，X 2，X n 是来自 X 的样本，试确定常数 C，使 CY=C(X1 一 X2)2+(X3 一 X4)2+(X5 一 X6)2的期望为 238 已知总体 X 的数学期望 E(X)=，方差 D(X)=2，X 1，X 2，X 2n 是来自总体 X容量为 2n 的简单随机样本，样本均值为 求E(Y)39 已知 X1，X n 是来自总体 X 容量为 n 的简单随机样本，其均值和方差分别为(I)如果 E(X)=，D(X)= 2，试证明： 的相关系数=- ()如果总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，试证明：协方差 Cov(X1，S 2)=0考
12、研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因 Xt(n)，故根据 t 分布定义知 X= 其中 U 一 N(0，1)，V 2(n)于是 (F 分布定义)故选 C【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 根据正态总体抽样分布公式知应选 D【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 故选项 A 正确【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意有 由此计算
13、出 a 值，从而确定正确选项由于总体XP()，所以 EX=DX=， =EX=，ES 2=DX=，又 a+2(一 3a)=，a+23a=1 ，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 根据题设知，XN(0， 2)，X i 一 N(0， 2)，且相互独立，由 2 分布，t 分布，F 分布的典型模式知，选项 A、B 不成立，事实上， ，选项 A 不成立，选项 B 不成立，选项 D 不成立故选 C【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 根据对称性可知 D(SX2)=D(SY2)所以(3)的方差最小，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答
14、案】 D【试题解析】 由于总体 XN(， 2)，故各选项的第二项独立，根据 2 分布可加性，仅需确定服从 2(1)分布的随机变量因为【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意，统计量 YF(m，n)，所以 解得 i=2，选择 D【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 D【试题解析】 根据 t 分布典型模式来确定正确选项由于N(0，1)且相互独立，所以，U 与 V 相互独立，根据 t 分布典型模式知，【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理
15、统计13 【正确答案】 C【试题解析】 我们要通过 PX 一 |a= 来确定正确选项，为此需要先求出 X 一 与 的分布根据题设【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 C【试题解析】 由于 X 一 N(0，1)，故对任意正数 0，有若 P|X|x= ，则因 0 1，必有 x0，且 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 D【试题解析】 因为 X 服从参数为 (0)的泊松分布，那么 E(Xi)=，D(X i)=，i=1，2，n，则所以 E(T1)E(T 2)，D(T 1)D(T 2)，故选 D【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题16 【正确答案】 【试题解析】 因
16、为 X i 是一次伯努利试验结果，X i 相互独立所以X1+X2+Xn 可以看成 n 次独立重复试验即 所以【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 2【试题解析】 显然 E(S2)=D(X)，而 D(X)=EXE(X)2【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 在 已知时，选用 2 检验统计量为在 未知时，选用 2 检验统计量为【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 8(n 一 1)4【试题解析】 构造新的简单随机样本：X 1+Xn+1， X2+Xn+2，X n+X2n，显然 Xi+Xn+iN(2，2 2) 所以，新的样本均值和新样本方差为根据D(2(
17、n 一 1)=2(n 一 1)，有即 D(Y)=8(n 一 1)4【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 根据题意 Xi 一 N(0，2 2)且相互独立，所以 X1 一 2X2N(0，20)，3X34X4N(0，100)，故 且它们相互独立，根据 2 分布典型模式及性质知【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 根据分布的可加性可知，当 X1，X 2 独立时，有 X1+X2P(2) ，同理，X1，X 2，X n 为相互独立且同为 P()分布时，有【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【试题解析】 根据题意可知 Xi 一 N(0， 2)，
18、Y iN(0， 2)且相互独立，所以又因为 U 与 V 相互独立，由 t 分布可知【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【试题解析】 根据 t 分布的对称性以及 b0，可知 x0所以【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 13067【试题解析】 根据题意可知【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 t；2；n 一 1【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X n 是相互独立且同服从分布 N(0，1) ，所以 X1 一 X2 与 X32+X42 相互独立，X 1 与 也相互独立，且有 X1一 X2N(0 ，2) ， ，X 32+X42 ，所以即 Y1
19、与 Y2 都服从 t 分布，分布参数分别为 2 和 n 一 1【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 F ；(10 ，5)【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X 15 相互独立，且均服从正态分布 N(0， 2)，所以 X12+X22+X102 与 X112+X122+X152 相互独立，由于所以【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 【试题解析】 依据 E(Y)=2 求得 C，为此需要先求出 X2iX2i-1 分布由于 Xi 一N(， 2)，且相互独立，故 X2i 一 X2i-1N(0，2 2)，E(X 2iX2i-1)2=D(X2iX2i-1)+E(X2
20、iX2i-1)2=22 那么有【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 2 和 4【试题解析】 且它们是相互独立的故【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 2； 2【试题解析】 因为 X1，X 2，X n 相互独立与总体 X 同分布，故【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 【试题解析】 E(S2)=D(X)，则 E(X)=-+xf(x)dx=-11x|x|dx=0D(X)=E(X 2)一 E2(X)=-+x2f(x)dx=-11x2|x|dx=201x3dx= 故【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 【试题解析】 根据性质 2(n 一 1)及 D2(n
21、 一 1)=2(n 一 1)，【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 【试题解析】 设 =E(X)， 2=D(X)，对任意 i,j(ij)因 Xi 和 Xj 独立同分布，所以【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。33 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计34 【正确答案】 (I)设 Y 的分布函数为 FY(y)，即 FY(y)=P(Yy)=P(X2y)，则当y0 时，F Y(y)=0； 当y4，F Y(y)=1所以【知识模块】 概率论与数理统计35 【正确答案】 根据变换 可得 xi=byi+a，i=1 ，2，n(I) 将上式代入 x
22、i 均值观测值计算公式，有()将 xi=byi+a 代入xi 的方差的观测值计算公式，有【知识模块】 概率论与数理统计36 【正确答案】 (I)因为 X1，X 2，X n 相互独立且与总体 X 同分布，所以()根据抽样分布有关结论知 再由 2 分布随机变量的方差公式有：Y 2(n)，则 D(Y)=2n 所以【知识模块】 概率论与数理统计37 【正确答案】 E(X 1 一 X2)2=D(X1 一 X2)+E(X1 一 X2)2 =D(X1)+D(X2)=22(因X1，X 2 独立)， 同理 E(X 3 一 X4)2=E(X5 一 X6)2=22， 于是 EC(X 1 一 X2)2+(X3一 X4
23、)2+(X5 一 X6)2 =CE(X1 一 X2)2+E(X3 一 X4)2+E(X5 一 X6)2 =C(22+22+22)=6C2，即有 E(CY)=6C2根据题设，令 E(CY)=6C2=2，即得【知识模块】 概率论与数理统计38 【正确答案】 因为总体分布未知，将 Y 化简，根据数字特征性质计算 E(Y)因为【知识模块】 概率论与数理统计39 【正确答案】 证明：(I)因为总体分布未知，因此只能应用定义与性质证明，因为 X1，X n 相互独立且与总体 X 同分布，所以 E(Xi)=，D(X i)=2，()因为总体 XN(0， 2)，故 E(Xi)=0，D(X i)=2【知识模块】 概率论与数理统计
