1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X1，X n，相互独立，记 Yn=X2n 一 X2n-1(n1)，根据大数定律，当 n时 依概率收敛到零，只要X n：n1( )（A）数学期望存在（B）有相同的数学期望与方差（C）服从同一离散型分布（D）服从同一连续型分布2 设随机变量序列 X1，X 2，X n，相互独立，则根据辛钦大数定律，依概率收敛于其数学期望，只要X n：n1( )（A）有相同的期望（B）有相同的方差（C）有相同的分布（D）服从同参数 p 的 0 一 1 分布3 设 X1，X 1，X n
2、，相互独立且都服从参数为 (0)的泊松分布，则当n时，以 (x)为极限的是 ( )4 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且DXi=1，i=1 ，2，n，则对任意 0，根据切比雪夫不等式直接可得( )5 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，S n=X1+X2+Xn，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时，S n 近似服从正态分布，只要 X1，X 2，X n( )（A）有相同的数学期望（B）有相同的方差（C）服从同一指数分布（D）服从同一离散型分布6 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，其中 已知， 未知，X 1，X 2，X n 为取自总
3、体 X 的简单随机样本，则不能作出统计量( )7 假设总体 X 的方差 D(X)存在，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其均值和方差分别为 则 E(X2)的矩估计量是( )8 设 是从总体 X 中取出的简单随机样本 X1，X 2，X n 的样本均值，则 是 的矩估计，如果( )（A）XN(， 2)（B） X 服从参数为 的指数分布（C） PX=m=(1 一 )m-1，m=1 ，2，（D）X 服从0，上均匀分布二、填空题9 假设随机变量 X1，X 2，X 2n 独立同分布，且 E(Xi)=D(Xi)=1(1i2n)，如果则当常数 c=_时，根据独立同分布中心极限定理，当n
4、充分大时，Y n 近似服从标准正态分布10 设随机变量 X1，X 2，X n相互独立且都在(一 1，1)上服从均匀分布，则=_(结果用标准正态分布函数 (x)表示)11 设随机试验成功的概率 p=020，现在将试验独立地重复进行 100 次，则试验成功的次数介于 16 与 32 之间的概率 =_(3)=09987，(1)=08413)12 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XB(5，08)，Y N(1，1)，则P0X+Y10_13 D(X)=2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|XE(X)|2_14 设随机变量 X1，X 2，X n，Y 1，Y 2，Y n 相互独立，且 Xi 服从参数为 的
5、泊松分布，Y i 服从参数为 的指数分布，i=1 ，2，n，则当 n 充分大时，近似服从_分布，其分布参数为_与_。15 设总体 X 的概率分布为 为未知参数，对总体抽取容量为 10 的一组样本，其中 5 个取 1，3 个取 2，2 个取 0则 的矩估计值为_，最大似然估计值为_16 假设 X1，X 2，X 16 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本 为样本均值，S2 为样本方差，如果 =095，则 a=_(t 0.05(15)=17531)17 设 X1，X 2，X n 为来自区间一 a，a 上均匀分布的总体 X 的简单随机样本，则参数 a 的矩估计量为 _18 设 X1，X 2，X
6、n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度函数为 f(x)=一x+，则 的最大似然估计量 =_.19 设总体 X 的概率密度函数为 f(x；)= 其中 01 是位置参数，c 是常数， X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，则c=_； 的矩估计量 =_.20 设总体 X 服从(a，b)上的均匀分布， X1，X 2， ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，则未知参数 a，b 的矩估计量为21 设 X1，X 1，X n 是来自参数为 的泊松分布总体的一个样本，则 的极大似然估计量为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 根据以往经验，某种电器元件的寿命服
7、从均值为 100 小时的指数分布现随机地取 16 只，设它们的寿命是相互独立的求这 16 只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率23 设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为 05kg，均方差为 01kg，问 5000 只零件的总重量超过 2510kg 的概率是多少?24 设总体 X 的概率密度为 其中 一 1 是未知参数，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量25 设 X 的概率密度为 f(x)= X1，X 2，X n 是取自总体X 的简单随机样本26 设某种元件的使用寿命 X
8、的概率密度为 f(x；)= 其中 0为未知参数又设 x1，x 2，x n 是 X 的一组样本观测值，求参数 的最大似然估计值27 设总体 X 的概率分布为其中 是未知参数，利用总体 X 的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3求 的矩估计和最大似然估计值28 设总体 X 的概率密度为 其中 0 是未知参数从总体 X 中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n，记 =min(X1，X 2，X n) (I)求总体 X 的分布函数 F(x)； ()求统计量 的分布函数 29 设总体 X 服从几何分布： p(x；p)=p(1 一 p)x-1(x=1，2，3，)， 如果取得样本观测值为 x1，x 2，x
9、 n，求参数 p 的矩估计值与最大似然估计值30 设总体 X 的概率密度为 其中 0，如果取得样本观测值为 x1，x 2，x n，求参数 的矩估计值与最大似然估计值31 设总体 X 服从拉普拉斯分布： 其中参数 0，如果取得样本观测值为 x1，x 2，x n，求参数 的矩估计值与最大似然估计值32 设总体 X 服从伽玛分布： 其中参数(0，0如果取得样本观测值为 x1，x 2，x n， (I)求参数 与 的矩估计值； ( )已知 =0，求参数 的最大似然估计值33 设总体 X 的分布函数为 其中未知参数1，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，求： (I) 的矩估计量； ()
10、 的最大似然估计量34 设总体 X 的概率密度为 其中 是未知参数(01) ，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值x1，x 2，x n 中小于 1 的个数，求 的最大似然估计35 设总体 X 的概率密度为 其中参数(01)未知X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值求参数 的矩估计量 36 设总体 X 的概率密度为 其中参数 (0)未知，X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本(I)求参数 的矩估计量；()求参数 的最大似然估计量37 设 x1，x 2，x n 为来自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，其中 0 已
11、知，20 未知 和 S2 分别表示样本均值和样本方差(I)求参数 2 的最大似然估计( )计算38 设随机变量 X 与 Y 相互独立且分别服从正态分布 N(， 2)与 N(，2 2)，其中 是未知参数且 0，设 Z=XY， (I)求 Z 的概率密度 f(x， 2)； ()设z1，z 2，z n 为来自总体 Z 的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量39 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数且大于零，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本 (I)求 的矩估计量； ()求 的最大似然估计量40 已知总体 X 是离散型随机变量，X 可能取值为 0，1，2 且 PX=2=(1
12、一 )2，E(X)=2(1 一 )( 为未知参数 ) (I)试求 X 的概率分布； ( )对 X 抽取容量为 10的样本，其中 5 个取 1，3 个取 2，2 个取 0，求 的矩估计值、最大似然估计值； ()求经验分布函数41 已知总体 X 的概率密度 f(x)= (0)，X 1，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，Y=X 2 (I) 求 Y 的期望 E(Y)(记 E(Y)为 b)； ()求 的矩估计量 和最大似然估计量 ； ()利用上述结果求 b 的最大似然估计量42 某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从指数分布，概率密度为 f(t)=其中 0 未知，现从这批器件中任取 n 只在时刻
13、t=0 时投入独立寿命试验，试验进行到预定时间 T0 结束此时有 k(0kn)只器件失效，试求 的最大似然估计43 设总体 X 一 N(， 2)， ， 2 未知，而 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本 (I)求使得 a+f(x； ， 2)dx=005 的点 a 的最大似然估计，其中 f(x；， 2)是 X 的概率密度； () 求 PX2的最大似然估计44 设总体 X 在区间0，上服从均匀分布，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本， X (n)=max(X1，X n)(I)求 的矩估计量和最大似然估计量；()求常数 a，b，使 的数学期望均为 ，并求45 已知总体 X
14、 的密度函数为 X1，X 2 为简单随机样本，求 的矩估计量46 设 X 服从a，b上的均匀分布， X1，X n 为简单随机样本，求 a，b 的最大似然估计量47 已知总体 X 的密度函数为 其中 ， 为未知参数，X 1，X n 为简单随机样本，求 和 的矩估计量48 设总体 X 服从韦布尔分布，密度函数为 其中0 为已知，0 是未知参数，试根据来自 X 的简单随机样本X1，X 2，X n，求 的最大似然估计量49 设总体 X 的概率密度为 X1，X n 为来自 X 的一个简单随机样本，求 的矩估计量50 设有一批同型号产品，其次品率记为 p现有五位检验员分别从中随机抽取 n 件产品，检测后的
15、次品数分别为 1，2，2，3，2(I)若已知 p=25，求 n 的矩估计值 () 若已知 n=100，求 p 的极大似然估计值 ()在情况( )下，检验员从该批次产品中再随机检测 100 个样品，试用中心极限定理近似计算其次品数大于 3的概率考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 Xn 相互独立，所以 Yn 相互独立选项 A 缺少“同分布”条件；选项 C、D 缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以选择 B事实上，若 E(Xn)=，D(X n)=2 存在，
16、则根据切比雪夫大数定理：对任意 0 有【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 由于辛钦大数定律除了要求随机变量 X1，X 2，X n，相互独立的条件之外，还要求 X1，X 2，X n，同分布与期望存在只有选项 D 同时满足后面的两个条件，应选 D【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由于 X1，X 2，X n，相互独立同分布，其期望和方差都存在，且 E(Xi)=，D(X i)=，根据方差与期望的运算法则，有因此当 n时, 以 (x)为极限，故应选 C【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 由题意知 E(Xi)=0，i=1
17、，2，n记根据切比雪夫不等式，有故选 C【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查中心极限定理的应用条件，列维一林德伯格中心极限定理成立的条件是随机变量 X1，X 2，X n 独立同分布，且具有有限的数学期望和非零方差而选项 A、B 不能保证随机变量 X1，X 2，X n 同分布，故均不入选；选项 D 不能保证其期望、方差存在及方差非零，故也不入选，因此选 C【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 2 未知，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 根据矩估计量的定义确定选项因为 E(X2)=D(X)+E
18、2(X)，而 D(X)与E(X)矩估计量分别为选择 D【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 A【试题解析】 若 XN(， 2)，则 E(X)=， 的矩估计为 应选 A若 X 服从参数为 的指数分布，则 对于选项C，X 服从参数为 的几何分布， E(X)=【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 记 Zi=X2iX2i-1，则 Zi(1in)独立同分布，且 E(Zi)=0，D(Z i)=2由独立同分布中心极限定理可得，当 n 充分大时，【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 由于 Xn 相互独立且都在 (一 1，1)上服从均匀分布，
19、所以 E(Xn)=0， D(Xn)= 根据独立同分布中心极限定理，对任意 xR 有【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 084【试题解析】 令 X=“在 100 次独立重复试验中成功的次数”，则 X 服从参数为(n，p)的二项分布，其中 n=100，p=020，且根据棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，可知随机变量 近似服从标准正态分布N(0，1)因此试验成功的次数介于 16 和 32 之间的概率【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 0928【试题解析】 因为 E(X)=4，D(X)=08，E(Y)=1，DY=1，所以 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=5， D(X+Y)=D
20、(X)+D(Y)=18 根据切比雪夫不等式，可得P0X+Y 10=P|X+Y 一 5|5 即尸0X+Y100928【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 根据切比雪夫不等式，有【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 X 1+Y1，X 2+Y2，X n+Yn 相互独立同分布因 E(Xi)=D(Xi)=，E(Y i)=，D(Y i)=2，故 E(Xi+Yi)=2，D(X i+Yi)=+2，则当 n 充分大时，近似服从正态分布，其分布参数【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 根据矩估计，最(极)大似然估计及经验分布函数定义，即
21、可求得结果事实上，设 E(X)= ,E(X)=20(1 一 )+2(1 一 )2=2(1 一 )【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 一 04383【试题解析】 根据由于 X因此由可知，4a 是 t(15)分布上 =095 的分位点为 t0.95(15)，即 4a=t0.95(15)，由于 t 分布密度函数是关于 x=0 对称的，故一t=t1-，4a=t 0.95(15)=一 t0.05(15)=一 17531，解得 a=一 04383【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 因为 E(X)=0，不能用一阶矩来估计【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案
22、】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 根据题意可知。1= -+f(x;)dx=01xdx+12=2(1 一 cx)dx=因为 0，【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 因为 p(xi；)=PX=x i= (xi=0，1，)，则极大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 根据独立同分布中心极限定理，假设 X 表示电器元件的寿命，则X 的概率密度为 随机取出 16 只元件，其寿命分别用X1，X 2
23、，X 16 表示，且它们相互独立，同服从均值为 100 的指数分布，则 16只元件的寿命的总和近似服从正态分布设寿命总和为 其中 E(Xi)=100， D(Xi)=1002，由此得由独立同分布中心极限定理可知，Y 近似服从正态分布 N(1600，16 100 2)，于是【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 根据独立同分布中心极限定理，设 Xi 表示第 i 只零件的重量(i=1，2，5000)，且 E(Xi)=05，D(X i)=01 2设总重量为 ，则有E(Y)=5000 05=2500 ， D(Y)=500001 2=50，根据独立同分布中心极限定理可知 Y 近似服从正态分布 N
24、(2500，50)，而 近似服从标准正态分布 N(0，1)所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 总体 X 的数学期望是 E(X)=-+xf(x)dx=0t(+1)x+1dx= 令得到参数 的矩估计量为 设 x1，x 2，x n 是相对于样本X1，X 2，X n 的一组观测值，所见似然函数为当0x i1(i=1，2，3，n)时，L0 且 lnL=nln(+1)+ 令解得 的极大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 似然函数为当xi0(i=1，2，n)时，L()0，取对数，得由于 必须满足xi(i=1，2
25、，n)，因此当 取 x1，x 2，x n 中最小值时，L()取最大值，所以 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 E(X)=0 2+12(1 一 )+22+3(12)=34。= 的矩估计量为 根据给定的样本观察值计算对于给定的样本值似然函数为 L()=4 6(1)2(12)4， lnL()=ln4+6ln+2ln(1 一 )+4ln(12)，【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 已知总体 X 的概率函数的未知参数为 p，且总体 X 的一阶原点矩为 用样本一阶原点矩的观测值 作为 v1(X)的估计值，则可
26、得参数 p 的估计值为 所以可得参数 p 的矩估计值为参数 p 的似然函数为 两边同时取对数，并对参数 p 求导，令导函数取值为 0，解上述含参数 p 的方程，即得到 p 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 考虑总体 X 的一阶原点矩 v1(X)=E(X)=01x.x-1dx=01xdx=用样本一阶原点矩的观测值 作为 v1(X)的估计值，则可得参数 的矩估计值为 因此可得参数 的矩估计值为 参数 的似然函数为 两边同时取对数，并对参数 求导，令导函数取值为 0， 解上述含参数 的方程，得到 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 样
27、本的一阶原点矩为样本的二阶原点矩为两边同时取对数，并对参数 求导，令结果为 0，解上述含参数 的方程，得到 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 (I)伽玛分布的一阶和二阶原点矩分别为解上述方程组，并结合二阶中心矩的实际值得到参数 与 的矩估计值()根据题意，当 =0 时，密度函数为两边同时取对数，并对参数 求导，令结果为 0， 解上述含参数 的方程，得到 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 X 的概率密度为当xi1(i=1，2，n)时，L()0，取对数可得【知识模块】 概率论与数理统计34 【正确答案】 记似然函数为 L()，则两
28、边取对数得lnL()=Nln+(nN)ln(1)，【知识模块】 概率论与数理统计35 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计36 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计37 【正确答案】 (I)似然函数()根据随机变量数字特征的计算公式可得【知识模块】 概率论与数理统计38 【正确答案】 (I)因为 XN(， 2)，Y 一 N(，2 2)，且 X 与 Y 相互独立，故Z=X 一 YN(0，3 2) 所以， Z 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计39 【正确答案】 ()对于总体 X 的样本值 x1，x 2，x n，其似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计40 【正确答案】
29、(I)设 X 的概率分布为 PX=0=p0，FX=1=p 1，PX=2=p 2，根据题设知 p2=(1)2，又 E(X)=2(1 一 )=0p0+1p1+2p2=p1+2p2=2(1 一 )，解得p1=2(1 一 )一 2(1 一 )2=2(1)，而 p0+p1+p2=1，所以 p0=1 一 p1 一 p2=2，X 的概率分布为 ()根据定义求矩估计值、最大似然估计值设 =E(X)=2(1 一 )，解得 ，于是 的矩估计量 将样本值代入得 的矩估计值为所以样本值的似然函数()根据定义得经验分布函数【知识模块】 概率论与数理统计41 【正确答案】 (I)直接根据公式 Eg(X)=-+g(x)f(
30、x)dx 计算E(Y)=E(X 2)=2+x2e-(x-2)dx 0+(t+2)2e-tdt=0+t2e-tdt+40+te-tdt+40+e-tdt=()令 =E(X)，其中样本 X1，X n 的似然函数为()因为 是 的单调连续函数，有单值反函数，根据最大似然估计不变原理，b 的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计42 【正确答案】 考虑事件 A：“试验直至时间 T0 为止，有 k 只器件失效，而有 n一 k 只未失效” ，的概率，设 T 的分布函数为 F(t)，即有一只器件在 t=0 时投入试验，则在时间 T0 以前失效的概率为 PTT0=F(T0)=1 一 ；而在时间 T0 未失效的概率为 PTT 0=1一 F(T0)= 因为各只器件的试验结果是相互独立的，所以事件 A 的概率为这就是所求的似然函数取对数得【知识模块】 概率论与数理统计43 【正确答案】 已知 ， 最大似然估计分别为 (I)a+f(x;， 2)dx=F(+；， 2)一 F(a；， 2)= 其中，F 为 X 的分布函数【知识模块】 概率论与数理统计44 【正确答案】 直接根据定义求解 (I)根据题意总体 X 的密度函数、分布函数分别为 又样本 X1,Xn 的似然函数为
