1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是 ( )2 以下 4 个结论：(1)教室中有 r 个学生，则他们的生日都不相同的概率是 ；(2)教室中有 4 个学生，则至少两个人的生日在同一个月的概率是 ；(3)将C，C，E ，E，J，N，S 共 7 个字母随机地排成一行，恰好排成英文单词 SCIENCE的概率是 ；(4)袋中有编号为 1 到 10 的 10 个球，今从袋中任取 3 个球，则 3 个球的最
2、小号码为 5 的概率为 正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 设 A，B 是任意两个事件，且 A B，P(B)0，则必有 ( )（A）P(A)P(AB)（B） P(A)P(AB)（C） P(A)P(AB)（D）P(A)P(AB)4 一种零件的加工由两道工序组成第一道工序的废品率为 p1，第二道工序的废品率为 p2，则该零件加工的成品率为 ( )（A）1p 1p 2（B） 1p 1p2（C） 1p 1p 2+p1p2（D）(1 p 1)+(1p 2)二、填空题5 设两个相互独立的事件 A 与 B 至少有一个发生的概率为 ，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的
3、概率相等，则 P(A)=_6 事件 A 与 B 相互独立，P(A)=a，P(B)=b，如果事件 C 发生必然导致 A 与 B 同时发生，则 A，B，C 都不发生的概率为 _7 设事件 A，B，C 两两独立，三个事件不能同时发生，且它们的概率相等，则P(ABC)的最大值为_8 设 A，B 是任意两个事件，则 =_9 在区间(0 ，1) 中随机地取两个数，则事件“ 两数之和小于 65” 的概率为_10 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设有大小相同、标号分别为 1
4、，2，3，4，5 的五个球，同时有标号为1，2，10 的十个空盒将五个球随机放入这十个空盒中，设每个球放入任何一个盒子的可能性都是一样的，并且每个空盒可以放五个以上的球，计算下列事件的概率：(1)A=某指定的五个盒子中各有一个球；(2)B=每个盒子中最多只有一个球 ；(3)C=某个指定的盒子不空 12 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率13 设 AB C试证明： P(A)+P(B)P(C)114 设 P(A)0，P(B)0证明：A，B 互不相容与 A，B 相互独立不能同时成立15 证明：若三事件 A，B，C 相互独立，
5、则 AB 及 AB 都与 C 独立16 袋中有 5 只白球 6 只黑球，从袋中一次取出 3 个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率17 甲袋中有 3 个白球 2 个黑球，乙袋中有 4 个白球 4 个黑球，今从甲袋中任取 2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率18 有两名选手比赛射击，轮流对同一个目标进行射击，甲命中目标的概率为 ，乙命中目标的概率为 甲先射，谁先命中谁得胜问甲、乙两人获胜的概率各为多少?19 某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的某彩民每周买一次彩票，坚持十年(每年 52 周)，那么他从未中奖的可能性是多少?20 设有甲、乙
6、两名射击运动员，甲命中目标的概率是 06，乙命中目标的概率是05，求下列事件的概率：(1)从甲、乙中任选一人去射击，若目标被命中，则是甲命中的概率；(2)甲、乙两人各自独立射击，若目标被命中，则是甲命中的概率21 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24 只装统计资料表明，每箱最多有 2 只残品，且含 0，1，2 件残品的箱各占 80，15，5现在随意抽取一箱，随意检验其中 4 只；若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换试求(1)一次通过验收的概率；(2)通过验收的箱中确实无残品的概率22 甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为04，05，07设飞机中一弹而被击落的概率为 02，
7、中两弹而被击落的概率为 06，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率23 某考生想借张宇编著的张宇高等数学 18 讲，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率24 设昆虫产 k 个卵的概率为 ，又设一个虫卵能孵化成昆虫的概率为 p，若卵的孵化是相互独立的，问此昆虫的下一代有 L 条的概率是多少?25 盒子中有 n 个球，其编号分别为 1，2，n，先从盒子中任取一个球，如果是 1 号球则放回盒子中去，否则就不放回盒子中；然后，再任取一个球，若第二次取到的是 k(1kn
8、)号球，求第一次取到 1 号球的概率26 甲、乙两人比赛射击，每个射击回合中取胜者得 1 分，假设每个射击回合中，甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 (+=1)，比赛进行到一人比另一人多 2 分为止，多 2 分者最终获胜求甲、乙最终获胜的概率比赛是否有可能无限地一直进行下去?27 向半径为 r 的圆内随机抛一点，求此点到圆心之距离 X 的分布函数 F(x)，并求考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设 A=两件产品中有一件是不合格品)，A 1=两件产品中一件是不合格品，另一件也是不合格品
9、)，A 2=两件产品中一件是不合格品，另一件是合格品)，则 A=A1A2，A 1A2= ，求概率 P(A1A)P(A 1A)=P(A1)= P(A)=P(A1)+P(A2)= 所以 P(A1A)= 故应选(C)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 对于 4 个结论分别分析如下：(1)这是古典概型中典型的随机占位问题任意一个学生在 365 天中任何一天出生具有等可能性，此问题等价于“有 365个盒子，每个盒子中可以放任意多个球，求将 r 个球随机放入不同的 r 个盒子中的概率”设 A1=他们的生日都不相同)，则 P(A1)= ，正确；(2)设A2=至少有两个人的生日在同
10、一个月)，则考虑对立事件，P(A 2)=1，正确；(3)设 A3=恰好排成 SCIENCE，将 7 个字母排成一列的一种排法看做基本事件，所有的排法：字母 C 在 7 个位置中占两个位置，共有 C72 种占法，字母 E 在余下的 5 个位置中占两个位置，共有 C52 种占法，字母I，N，S 剩下的 3 个位置上全排列的方法共 3！种，故基本事件总数为C72C523！=1260，而 A3 中的基本事件只有一个，故 P(A3)= ，错误；(4)设 A4=最小号码为 5，则 P(A4)= ，正确综上所述，有 3 个结论正确，选择(C)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 由
11、于 A B，因此 AB=A，而 0P(B)1 ，所以 P(A)=P(AB)=P(B)P(AB)P(AB)故选(A) 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 设 A=(成品零件，A i=第 i 道工序为成品)，i=1，2 P(A 1)=1 p1，P(A 2)=1p 2， P(A)=P(A 1A2)=P(A1)P(A2)=(1p 1)(1p 2)=1 p1p 2+p1p2 故选(C)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 已知事件 A 与 B 独立，且 P(AB)= ，P(A B)=P(B A)，故 P(A)P(AB)=P(B)P(AB)=P
12、(A)=P(B)， ，所以 1P(A B)=即【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 (1a)(1b)【试题解析】 “事件 C 发生必然导致 A 与 B 同时发生”AB ，于是=(1a)(1 b)【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 P(A BC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(A)P(B)P(A)P(C) P(B)P(C)+P( )=3P(A)3P(A) 2=故 P(ABC)的最大值为【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正
13、确答案】 【试题解析】 设 A=两数之和小于 65，两数分别为 x，y，由几何概率如图3-2 所示【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 A i 表示“第 i 次取的是次品”，i=1， 2则有由全概率公式得 P(A2)=P(A1)P(A2A 1)+【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 每个球都有 10 种放法，所以，基本事件总数(放法总数)n=105 (1)5 个球放入指定的 5 个盒子中，事件 A 包含的基本事件数为 5！个，所以 P(A)= =00012；(2)事件 B 是从 10 个盒子中任选 5 个(
14、 共有 C105 种选法) ，然后将选定的 5 个盒子中各放入一个球(共有 5！种放法)，由乘法法则，事件 B 包含C1055！个基本事件，所以 P(B)= =03024；(3)事件 C 的逆事件 表示“某个指定的盒子内无球” ，即 “5 个球都放入其他 9 个盒子中 ”， 包含的基本事件数为95，所以 P(C)=1 =040951【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 设事件 A=从 10 件产品中任取两件，有 i 件不合格品，i=0，1 ，2记 B=A1A2，按题意所求概率为 P(A2B)而 P(A1)= ， P(A2)= P(B)=P(A1A2)=P(A1)+P(A2)= 因为
15、 B A2，所以P(A2B)=P(A2)，应用条件概率公式得 P(A2B)= =02【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 因为 AB C，所以 P(C)P(AB)=P(A)+P(B)P(A B)P(A)+P(B)1，故 P(A)+P(B)P(C)1【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 一方面，若 A、B 互不相容，则 AB= ，于是 P(AB)=0P(A)P(B)0，所以 A、B 不相互独立；另一方面，若 A、B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B)0，于是 AB ，即 A、B 不是互不相容的【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 P(AB)C)=P(A
16、C BC)=P(AC)+P(BC)P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)=P(A)+P(B)P(AB)P(C)=P(A B)P(C)，即 AB 与 C 独立P(AB)C)= =P(AB)P(C) ，即 AB与 C 相互独立【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 设 A=发现是同一颜色， B=全是白色， C=全是黑色，则 A=B+C，所求概率为 P(CA)=【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 设 A=从乙袋中取出的是白球，B i=从甲袋中取出的两球恰有 i 个白球，i=0，1，2由全概率公式 P(A)=P(B0)P(AB 0)+P(B1)
17、P(AB 1)+P(B2)P(A B2)=【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 令 Ai=第 i 次命中目标，i=1；2，所以故 P乙获胜=1P(甲获胜)=1【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 令 Ai=第 i 次中奖(i=1 ，2，520)，p=P在一次购买彩票中中奖则事件 A1，A 2，A 520 相互独立，且 p=105 所以 P连续购买十年从未中奖= = =(1p) 520=(110 5 )520=0994 8【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 (1)该随机试验分为两个阶段：选人，A 甲 ，A 乙 ； 射击，B=目标被命中则 P(A 甲 B)(2
18、)该随机试验不分阶段，A 甲=甲命中，A 乙 =乙命中，B= 目标被命中，则 P(A 甲 B)【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 (1)设 Ai=抽取的一箱中含有 i 件次品i=0，1，2，则A0，A 1，A 2 构成完备事件组，且 P(A0)=08，P(A 1)=015，P(A 2)=005设B=一次通过验收，则 P(BA 0)=1，P(BA 1)=由全概率公式得(2)由贝叶斯公式得【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 设 A=飞机被击落， Bi=飞机中 i 弹，i=1，2，3则 P(A)=P(B1)P(A B1)+P(B2)P(AB 2)+P(B3)P(AB 3)
19、=02P(B 1)+06P(B 2)+P(B3)设Ci=第 i 个人命中， i=1，2，3，则 P(B1)= =040503+0605 07+060503=036，P(B 2)= =040503+040507+06050 7=0 41，P(B 3)=P(C1C2C3)=04050 7=014，所以 P(A)=02036+06041+014=0458【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 设 A=该生能借到此书， Bi=从第 i 馆借到，i=1，2 ，3则 P(B1)=P(B2)=P(B3)=P第 i 馆有此书且能借到= 于是P(A)=【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】
20、设 A=下一代有 L 条，B k=产 k 个卵，k=L，L+1，则【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 设 A=第一次取到 1 号球，B= 第二次取到 k 号球，C=第一次取到 k 号球，则有 P(A)= (1)当 k=1 时，因为所以(2)当 k1 时，因为所以【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 设 A=甲最终获胜， B=乙最终获胜在前两次比赛中，若“甲连胜两个回合 ”，记为 C1，则 P(AC 1)=1；若“乙连胜两个回合”，记为 C2，则 P(AC 2)=0；若“ 甲、乙各胜一个回合”，记为 C3，则前两个回合打平，从第三回合起，比赛相当于从头开始一样，所以 P(AC 3)=P(A)显然 P(C1)=2，P(C 2)=2，P(C 3)=2，由全概率公式 P(A)=P(AC 1)P(C1)+P(AC 2)P(C2)+P(AC 3)P(C3)=2+0+2P(A)得 P(A)= 同理有 P(B)=P(BC 1)P(C1)+P(BC 2)P(C2)+P(BC 3)P(C3)=0+2+2P(B)，可得 P(B)= 因 P(A)+P(B)=1，所以以概率为 1 地相信：比赛不会无限地一直进行下去，或甲最终获胜，或乙最终获胜【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 如图 3-6 所示，F(x)=PXx)= ，0xr，所以【知识模块】 概率论与数理统计
