1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设事件 A，B 满足 AB= ，则下列结论中一定正确的是 ( )（A） 互不相容（B） 相容（C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(AB)=P(A)2 以下结论，错误的是 ( )（A）若 0P(B)1，P(AB)+P( )=1，则 A，B 相互独立（B）若 A，B 满足 P(B A)=1，则 P(AB)=0（C）设 A，B ，C 是三个事件，则 (AB) B=AB（D）若当事件 A，B 同时发生时，事件 C 必发生，则 P(C)P(A)+P(B)13 设 0P(B)
2、1，P(A 1)P(A2)0 且 P(A1A2B)=P(A 1B)+P(A 2B)，则下列等式成立的是 ( )（A）（B） P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)（C） P(A1A2)=P(A1B)+P(A 2B)（D）P(B)=P(A 1)P(BA 1)+P(A2)P(BA 2)4 设 P(B)0，A 1，A 2 互不相容，则下列各式中不一定正确的是 ( )5 设 X1，X 2 为独立的连续型随机变量，分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，则一定是某一随机变量的分布函数的为 ( )（A）F 1(x)+F2(x)（B） F1(x)F 2(x)（C） F1(x)F2(x)（D）F 1
3、(x)F 2(x)二、填空题6 一射手对一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 ，则该射手的命中率为_7 将一枚硬币重复掷五次，则正面、反面都至少出现两次的概率为_8 设对于事件 A，B，C 有 P(A)=P(B)=P(C)= ，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)= ，则A，B，C 三个事件至少出现一个的概率为_9 已知每次试验“ 成功” 的概率为 p，现进行 n 次独立试验，则在没有全部失败的条件下，“成功 ”不止一次的概率为 _10 设 X 服从参数为 的指数分布，对 X 作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为 ，则 =_11 设随机变量 X 的分布函数为 则
4、 A，B 的值依次为_12 设随机变量 X 服从泊松分布，且 PX1=4PX=2)，则 PX=3=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 随机地取两个正数 x 和 y，这两个数中的每一个都不超过 1，试求 x 与 y 之和不超过 1，积不小于 009 的概率14 一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为 ，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率分布15 一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第 i 个零件是不合格品的概率(i=1，2，3)，以 X
5、表示三个零件中合格品的个数，求 X 的分布律16 设随机变量 X 的概率密度为 求：(1)常数 A；(2)使PXa=PXa成立的 a17 设随机变量 X 的分布函数为F(x)=A+Barctanx，x+求：(1)系数 A 与 B；(2)P1X1；(3)X 的概率密度18 设随机变量 X 的概率密度为 求 X 的分布函数19 设电子管寿命 X 的概率密度为 若一台收音机上装有三个这种电子管，求：(1)使用的最初 150 小时内，至少有两个电子管被烧坏的概率；(2)在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数 y 的分布律；(3)Y 的分布函数20 设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X(单位：分)服
6、从参数为 的指数分布若等待时间超过 10 分钟，他就离开设他一个月内要来银行 5 次，以 Y 表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求 Y 的分布律及 PY121 设随机变量 X 的概率密度为 求 Y=ex 的概率密度 fY(y)22 假设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，求随机变量 Y=1e x 的概率密度函数 fy(y)23 设随机变量 X 的概率密度为 求 y=sinX 的概率密度24 设 X 在0，2上服从均匀分布，求 Y=cosX 的密度函数25 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= F(x)是 X 的分布函数，求随机变量 Y=F(X)的分布函数26 设随机变量 X 在
7、0， 上服从均匀分布，求 Y=sinX 的密度函数27 已知随机变量 X1 与 X2 的概率分布， 而且PX 1X2=0=1(1)求 X1 与 X2 的联合分布；(2)问 X1 与 X2 是否独立?为什么?28 设随机变量 X 与 Y 相互独立，概率密度分别为求随机变量 Z=2X+Y 的概率密度FZ(z)考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 用文氏图，如果 A，B 满足 ，则 相容，所以(A)错误如果 A，B 满足 ，则 ，所以(B) 错误由于 AB=P(AB)=0，而 P(A)P
8、(B)不一定为 0，所以(C) 错误但是，P(AB)=P(A)P(AB)=P(A)，故选择(D)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 对于(A) ，即 P(B)P 2(B)=P(AB)+P(B)P(A)P(B)P 2(B)故 P(AB)=P(A)P(B)，故(A) 正确对于(B)，P(BA)= =1=P(AB)=P(A)=P(A)P(AB)=0=P(AB)=0 ，故(B)正确对于(C)，(AB)B= =AB，(C)正确对于(D) ，AB C=P(C)P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P(A)+P(B)1，(D) 错误，故选(D)【知识模块】 概率论与数理统计3
9、【正确答案】 B【试题解析】 由 P(A1A2B)=P(A 1B)+P(A 2B)=P(A 1A2B)=P(A 1B)+P(A2B)可得 P(A1A2B)=0，即 P(A1A2B)=0 P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)P(A 1A2B)=P(A1B)+P(A2B)， 故选(B)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 由 A1A2= ，得 P(A1A2)=0，于是 P(A1A2B)= =0，(A)正确；P(A 1A2B)=P(A 1B)+P(A 2B)P(A 1A2B)=P(A 1B)+P(A 2B)，(B)正确； =1P(A 1 A2 B)=1P(A 1B
10、)P(A 2B)1，(C) 错误； =1P(A 1A2B)=10=1 ，(D) 正确故选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 用排除法因为 F1(x)，F 2(x)都是分布函数，所以=1+1=2，故(A)不正确=11=0，故(B)不正确对于(D)，由于 ，所以， 型未定式极限，因此，不能保证 =0，故(D)不正确【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 独立重复试验至少命中一次的对立事件是四次都没有命中四次都没有命中的概率是 ，所以该射手的命中率为【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 这是独立重复试验概型，
11、设 X=掷五次硬币，正面出现的次数，则 XB(2， )，而 Y=5X 为 5 次中反面出现的次数记 A=正面、反面都至少出现两次，则 P(A)=P2X5，2Y5=P2X5，25X5 =P2X5，0X3 =P X=2 X=3=【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 P(A BC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)=【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 1【试题解析】 这是独立重复试验概型，记 A=成功，则 P(A)=p，X=(n 次试验中 A 发生的次数)，则 XB(n，p)，“在没有全部失败的条件下，成功不止一次”的概率为
12、【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 ln2【试题解析】 Xf(x)= 记 A=X2，Y=对 X 作三次独立重复观察 A 发生的次数，YB(3，p)，p=PX2)= 2+ex dx=e2 ，由题意PY1)=1PY=0)=1(1p) 3= ，于是 1P=【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 1，0【试题解析】 由 F(x)右连续的性质得 ，即 A+B=1又(Asinx+B)=B=0，于是，B=0 ，A=1【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 PX1=PX=0+PX=1=e +e ，PX=2= e 由PX1)=4PX=2)知 e +e =22e ，
13、即 221=0 ，解得 =1，故 PX=3=e1 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 如图 3-7 所示，有 P(A)= =04018ln302【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 P X=0=P第一个路口即为红灯= PX=1=P第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯= 以此类推，得 X 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 设 Ai=第 i 个零件是合格品，i=1，2，3，则 PX=0=PX=1PX=2PX=3=P(A 1A2A3)=即 X 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】
14、 (1)1= f(x)dx=A0sinxdx=Acosx 0=2A，A= (2)Pxa= PX a=可见 cosa=0，故 a=【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (1)由分布函数的性质 于是，所以 X 的分布函数为 F(x)= arctanx，x+ (2)P1X1=F(1)F(1)= (3)X 的概率密度为 f(x)=F(x)= ，x+【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 f(x)的图形如图 3-8 所示，则 X 的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 y 为“ 在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数” ，YB(3，p)，其中 P=PX15
15、0 = (1)所求概率为 PY2=PY=2+PY=3=(2)y 的分布列为 PY=k= ，k=0 ，1 ，2，3，即 (3)Y 的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 由题意 YB(5，p)，其中 P=P X10=于是 Y 的分布为 PY=k=C 5K(e2 )K(1e 2 )5K (K=0，1，2，3，4，5)，PY1=1PY=0=1(1e 2 )50516 7【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 用分布函数法设 y 的分布函数为 FY(y)，则 FY(y)=PYy =Pe xy=【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由题设条件知，X 的密度函数
16、与分布函数分别为所以当 y0 时，F Y(y)=PYy =P1e x y=0，F Y(y)=0；当 0y1 时，F Y(y)=PYY=P 1e x Y= fY(y)=1；当 y1时，F Y(y)=P Yy=P1e x y=1 ，f Y(y)=0从而可得即随机变量 Y=1e x 服从区间(0，1)上的均匀分布【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 设 y 的分布函数为 FY(y)，则 FY(y)=PYy =PsinXY=P0Xarcsiny Xaresiny=P 0Xarcsiny+1PX arcsiny=F X(arcsiny)+1F X(arcsiny)，所以【知识模块】 概率论与
17、数理统计24 【正确答案】 当1y1 时，F Y(y)=PcosXy=ParccosyX2arccosy= 则 fY(y)=FY(y)=【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 对 X 的密度函数积分得 X 的分布函数设 G(y)是 Y=F(X)的分布函数当 y0 时，G(y)=PYy=PF(X)y=0；当 y1 时，G(y)=P Yy=PF(X)y=1；当0y1 时，G(y)=PYy=PF(X)y=P 1y=P X(y+1) 3=F(y+1)3=y，或 G(y)=Px(y+1) 3= =y于是，Y=F(X)的分布函数为 即 Y=F(X)服从区间0，1 上的均匀分布【知识模块】 概率论
18、与数理统计26 【正确答案】 由题设条件 Xf X(x)= 函数 y=sinx 在 上单调增加，在 上单调减少，其反函数分别为 x=arcsin y，0y1； x=arcsin y，0y1所以，当 0y1 时，于是【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 (1)由联合分布与边缘分布的关系可知，X 1 与 X2 的联合分布有如下形式： 其中 p12=p32=0 是由于PX 1X2=0=1，所以， PX 1X20=0 再根据边缘分布与联合分布的关系可写出联合分布如下： (2)由联合分布表可以看出PX 1=1，X 2=0= ，而 PX 1=1PX 2=0= 所以，X 1 与 X2不独立【知识
19、模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 本题可以按以下公式先算出 Z 的分布函数 FZ(z)：F Z(z)= fX(x)fY(y)dxdy(其中 Dz=(x ，y)2x+yz)，然后对 FZ(z)求导算出 fZ(z)，但较麻烦记 U=2X，则由随机变量的函数的概率密度计算公式得于是，Z=2X+Y=U+Y(其中 U 与 Y 相互独立)的概率密度fZ(z)= fU(u)fY(zu)du由于 fU(u)fY(zu)=即 fU(u)fY(zu)仅在Dz=(u ，z) 0u2， zu0(如图 3-9 的阴影部分)上取值 ，在 uOz平面的其他部分都取值为 0，所以当 z0 时， fU(u)fY(zu)du= 0du=0；当 0z2 时， fU(u)fY(zu)du=当 z2 时， fU(u)fY(zu)du=由此得到【知识模块】 概率论与数理统计
