1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知随机向量(X 1，X 2)的概率密度为 f1(x1，x 2)，设 Y1=2X1，Y 2= X2，则随机向量(Y 1， Y2)的概率密度为 f2(y1，y 2)= ( )2 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，则 ( )（A）(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量（B） Z=X+Y 是服从均匀分布的随机变量（C） Z=X Y 是服从均匀分布的随机变量（D）Z=X 2 是服从均匀分布的随机变量3 设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x
2、， y)，则随机变量 Z=YX 的概率密度 fz(z)= ( )（A） f(x，zx)dx（B） f(x，xz)dx（C） f(x，z+x)dx（D） f(x，z+x)dx4 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 12)，YN(0， 22)，则概率PXY1( )（A）随 1 与 2 的减少而减少（B）随 1 与 2 的增加而增加（C）随 1 的增加而减少，随 2 的减少而增加（D）随 1 的增加而增加，随 2 的减少而减少5 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(0，1)，Y B(n，p)(0p1)，则 X+Y的分布函数( )（A）为连续函数（B）恰有 n+1 个间断点（C）
3、恰有 1 个间断点（D）有无穷多个间断点二、填空题6 设随机变量 x 与 y 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 Z=的概率密度为_7 一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为010，020，030，设备部件状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，则 X 的方差 DX 为_8 设随机变量 X 的概率密度为 为_9 设随机变量 y 服从参数为 1 的指数分布，记 则E(X1+X2)为_10 已知离散型随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，即 Px=k= ，k=0 ， 1，2，则随机变量 Z=3X2 的数学期望 EZ=_11 设随机变量 X1，X
4、 2，X 100 独立同分布，且EXi=0，DX i=10，i=1 ，2，100，令= =_12 设随机变量 X 和 Y 均服从 B(1， )，且 D(X+Y)=1，则 X 与 Y 的相关系=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设随机变量 X 的概率密度为 已知EX=2，P(1X3)= ，求(1)a，b，b 的值，(2) 随机变量 Y=ex 的数学期望和方差14 设(X，Y)的概率密度为 求 Z= 的数学期望15 在长为 L 的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差16 设 X，Y 是两个相互独立且均服从正态分布 N(0， )的随机变量，求E(XY )与 D(XY)17
5、设随机变量 X 与 Y 独立同分布，均服从正态分布 N(， 2)，求： (1)maxX，Y的数学期望； (2)min X，Y的数学期望18 设 X，Y 相互独立同分布，均服从几何分布 PX=k)=qk1 p，k=1 ，2，求E(maxX，Y)19 设连续型随机变量 X 的所有可能值在区间a，b之内，证明：(1)aEXb；(2)DX20 对三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别为 p1，p 2，p 3，求产生故障仪器的台数 X 的数学期望和方差21 一商店经销某种商品，每周进货量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间10，20上的均匀分布商店每售出一单位商品
6、可得利润 1 000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润 500 元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值22 袋中有 n 张卡片，分别记有号码 1，2，n，从中有放回地抽取 k 张，以 X表示所得号码之和，求 EX，DX23 设 X 与 Y 为具有二阶矩的随机变量，且设 Q(a，b)=Ey(a+bX) 2，求 a，b 使Q(a，b)达到最小值 Qmin，并证明：24 设 X，Y，Z 是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为零，方差都是 1，求XY 和 YZ 的相关系数25 将数字 1，2，n 随机地排列成新次序，以 X 表示经重排后还在原位置上的
7、数字的个数(1)求 X 的分布律；(2)计算 EX 和 DX26 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求：(1)方差 D(XY)；(2)协方差Cov(3X+Y，X2Y)27 设随机变量 U 在2，2上服从均匀分布，记随机变量求：(1)Cov(X，Y) ，并判定 X 与 Y 的独立性；(2)DX(1+Y)28 设随机变量 X 在(0，3)内随机取值，而随机变量 y 在(X ，3)内随机取值，求协方差 Cov(X，Y)考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 设(X 1，X 2)的分布函数
8、为 F1(x1，x 2)，(Y 1，Y 2)的分布函数为F2(y1，y 2)，则 F2(y1，y 2)=PY 1y1，Y 2y2=P2X 1y1， X2y2= 所以【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 当 X 与 Y 相互独立，且都在0，1上服从均匀分布时，(X，Y) 的概率密度为 所以，(X，Y) 是服从均匀分布的二维随机变量因此本题选(A)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 记 Z 的分布函数为 FZ(z)，则 FZ(z)=PZz =PYXz = (x，y)dxdy= dx x+zf(x，y)dy，其中 Dz=(x，y)yxz如图 3-
9、1的阴影部分所示， x+zf(x，y)dy zf(x，u+x)du 将代入得FZ(z)= dx zf(x，u+x)du= zdu f(x，u+x)dx ：于是 fZ(z)= = f(x，z+x)dx因此本题选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 由 XN(0， 12)，YN(0， 22)且独立知 XYN(0 ， 12+22)，从而 PX Y1=P1XY1=由于 (x)是 x 的单调增加函数，因此当 1 增加时，2( )1 减少；当 2 减少时 2( )1 增加因此本题选(C)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 记 Z=X+Y，则 Z
10、 的分布函数是n+1 个连续函数之和，所以为连续函数因此本题选(A) 【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 f Z(z)=【试题解析】 X 的概率密度为 f(x)= fZ(z)= xf(x)f(xz)dx，其中xf(x)f(xz)= 所以 fZ(z)=【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 046【试题解析】 X 的全部可能取值为 0，1，2，3，且 PX=0=(1 010)(1020)(1030)=0504， PX=1=(1 010)(1 020)0 30+(1010)(1030)020+(1020)(1030)010=0398， PX=2 =(1010)0200
11、30+(1020)010030+(1030)0 10020=0092 P X=3 =010020030=0006 所以EX=00504+10398+20092+30006=0 6， E(X 2)=020 504+120398+2 20092+3 20006=0 82 DX=E(X 2)(EX)2=082 (06) 2=046【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 EX 1=PY1= 1+ey dy=e1 ，EX 2=PY 2= 2+ey dy=e2 ，所以 E(X1+X2)=EX1+EX2=e1 +e2 = 【
12、知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 4【试题解析】 EZ=3EX 2=4【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 990【试题解析】 E(X i )=EXiE =0，故【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 1【试题解析】 由题设 DX=DY= ，D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)= +2Cov(X，Y)=1，于是有 Cov(X，Y)= ，= =1【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 (1) 解方程组得 (2)【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计15
13、 【正确答案】 以线段的左端点为原点建立坐标系，任取两点的坐标分别为X，Y，则它们均在0，L上服从均匀分布，且 X，Y 相互独立E( X Y )= xyf(x，y)dxdy E(X Y) 2所以 D(XY )=【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 设 Z=XY ，则 ZN(0，1)故 E(X Y)=E(Z )= E(X Y) 2=E(Z2)=DZ=1，所以 D(XY)=E(XY 2)(EX Y 2)=1【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (1)设 ，则 U 和 V 独立同服从正态分布N(0，1)，X=U+，Y=V+，maxX，Y=(maxU ，V )+，而maxU，V
14、 = (U+V+UV)，所以 E(maxU，V)=又 U VN(0，2)，故 E(UV)=所以 E(maxX，Y)=+ (2)由(1)得：minX，Y =(minU，V)+，而 minU，V= (U+V UV )则 E(minU ，V )=所以 E(minX，Y)= 【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 PmaxX，Y=n=PX=n，Yn)+PXn，Y=n=PX=nP Yn+P XnPY=nE(maxX， Y)【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 (1)因为 aXb，所以 EaEXEb，即 aEXb(2)因为对于任意的常数 C 有 DXE(XC) 2，取 C= ，则有
15、DX【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 X 的分布为由此计算 EX 和 DX 相当麻烦，我们利用期望的性质进行计算设 Xi=i=1，2，3X i 的分布如下：于是 EXi=Pi，DX i=pi(1p i)，i=1，2，3故EX= =p1+p2+ p3；DX= =p1(1p 1)+p2(1p 2)+p3(1p 3)【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 设 T 为一周内所得利润，则ET=Eg(X，Y)= g(x，y)f(x，y)dxdy，其中所以【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 设 Xi 为“ 第 i 张的号码”，i=1，2，k，则 Xi 的分布为则所以【
16、知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 Q(a，b)=Ey(a+bX) 2=D(YabX)+E(Ya bX)2=DY+b2DX 2bCov(X， Y)+(EYbEXa) 2， =2(EYbEXa)=0， =2bDX2Cov(X，Y)2EX(EY bEX a)=0解方程组得 b= ，a=EYbEX此时Qmin=EY(a+bX) 2=DY+ =DY【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 Cov(XY，YZ)=Cov(X，Y) Cov(X，Z)Cov(Y，Y)+Cov(Y，Z)=Dy=1，D(X Y)=D(Y Z)=2所以 XY 与 YZ 的相关系数为 =【知识模块】 概率论与数理
17、统计25 【正确答案】 (1)记 Ai=数字 i 在原位置上，i=1，2，n，则 Ai 表示至少有一个数字在原位置上则显然有 (2)令 Xi=i=1， 2，n，则有 X= Xi，而 E(Xi2)=EXi=PX i=1=E(XiXj)=PX iXj=1=P X i=1，X j=1= 最后得EX= =1，DX=1+n(n1)P X iXj=11=1+n(n1) 1=1【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 (1)D(XY)=E(X 2Y2)E(XY) 2，其中 E(XY)=E(X2Y2)=所以，D(XY)=(2)Cov(3X+Y，X2y)=3DX5Cov(X ，Y) 2DY=3DX5E(
18、XY)+5EXEY2DY=DX5 +5(EX)2(这里利用 EX=EY，DX=DY)=E(X 2)+4(EX)2(X， Y)关于 X 的边缘概率密度由此得到 EX=于是 Cov(3X+Y，X2y)=【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 (1)X ，Y 的全部可能取值都为1，1，且 PX= 1，Y=1=PU1，U1=PU1= ，PX=1，Y=1=PU 1，U1=0，PX=1，Y=1=P U1，U1=P1U1= ，PX=1，Y=1=P U1，U 1=P U1= ，所以(X，Y) 的分布律及边缘分布律为 从而 E(XY)=(1)(1) +( 1)10+1(1) =0EX=(1)故 Cov
19、(X，Y)=E(XY)EX.EY=00所以 X 与 Y 不独立(2)DX(1+Y)=D(X+XY)=DX+D(XY)+2Cov(X，XY)=DX+D(XY)+2E(X 2Y)2EXE(XY) 其中 EX= E(X 2)=(1) 2 此外，由于XY 及 X2Y 的分布律分别为将代入得 DX(1+Y)=【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 X 的概率密度 fX(x)= 在 X=x(0，3)的条件下，f YX (yx)= 于是(X，Y)的概率密度为 f(x，y)由此可得其中 D 如图 3-15 所示由于 fY(y)= f(x，y)dx所以 EY=03y ln3ln(3y)dy= 03yln3dy+03(3y)ln(3y)3 03ln(3y)dy=所以，Cov(X， Y)=E(XY)EXEY=【知识模块】 概率论与数理统计
