1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 现有 10 张奖券，其中 8 张为 2 元的，2 张为 5 元的今从中任取 3 张，则奖金的数学期望为( )（A）6（B） 78（C） 9（D）1122 设随机变量 X 取非负整数值，PX=n)=a n(n1)，且 EX=1，则 a 的值为 ( )3 设 X1，X 2，X 3 相互独立，且均服从参数为 的泊松分布，令 Y= (X1+X2+X3)，则 Y2 的数学期望为 ( )4 设 X 为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数 C 和 0，必有 ( )（A）PXC =E(
2、XC)（B） PXCE(XC)（C） PXCE(XC)（D）PXC DX 25 设随机向量(X，Y) 的概率密度 f(x，y)满足 f(x， y)= f (x，y)，且 XY 存在，则XY=( )（A）1（B） 0（C） 1（D）1 或 1二、填空题6 设(x， y)的概率密度为 则 Cov(X，Y)=_ 7 已知随机变量 XN(3，1)，YN(2 ，1)，且 X，Y 相互独立，设随机变量Z=X2Y+7 ，则 Z_8 若 X1，X 2，X 3 两两不相关，且 DXi=1(i=1，2，3)，则 D(X1+X2+X3)=_9 设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为：则
3、随机变量 Z=maxX，Y 的分布律为_10 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，且，则 EX1(X1+X2X 3)为_11 设随机变量 X 与 Y 的分布律为 且相关系数 ，则(X，Y)的分布律为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 X 为随机变量，E( X r)(r0)存在，试证明：对任意 0 有13 若 DX=0004，利用切比雪夫不等式估计概率 PXEX0214 用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬币时，需掷多少次，才能保证正面出现的频率在 04 至 06 之间的概率不小于 0915 若随机变量序列 X1，X 2，X n，满足条件 证明：X n)服从大数定律
4、16 某计算机系统有 100 个终端，每个终端有 20的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有 10 个或更多个终端在使用的概率17 设 X1，X 2，X n 为总体 X 的一个样本，EX=，DX= 2 ，求 和E(S2)18 从装有 1 个白球，2 个黑球的罐子里有放回地取球，记 这样连续取 5 次得样本 X1，X 2，X 3，X 4，X 5记 Y=X1+X2+X5，求：(1)Y 的分布律，EY ，E(Y 2)；(2) 分别为样本 X1，X 2，X 5 的均值与方差)19 若 X 2(n)，证明：EX=n，DX=2n 20 已知 Xt(n) ，求证：X 2F(1，n)21 设 X1，
5、X 2，X m， Y1，Y 2，Y n 独立X iN(a， 2)，i=1，2 ， m，Y iN(b， 2)，i=1，22 一个罐子里装有黑球和白球，黑、自球数之比为 a：1现有放回的一个接一个地抽球，直至抽到黑球为止，记 X 为所抽到的白球个数这样做了 n 次以后，获得一组样本：X 1，X 2，X n基于此，求未知参数 a 的矩估计 和最大似然估计23 罐中有 N 个硬币，其中有 个是普通硬币(掷出正面与反面的概率各为 05)，其余 N 个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复 n 次，若掷出 0 次、1 次、2 次正面的次数分别为
6、 n0，n 1，n 2，利用(1)矩法；(2) 最大似然法，求参数 的估计量24 设总体 X 的概率密度为 又设 X1，X 2，X n 是来自 X 的一个简单随机样本，求未知参数 的矩估计量25 设总体 X 的概率密度为 试用样本X1，X 2，X n 求参数 的矩估计和最大似然估计26 设 X1，X 2，X n 是来自对数级数分布的一个样本，求 p 的矩估计27 设总体 X 服从参数为 N 和 p 的二项分布，X 1，X 2，X n 为取自 X 的样本，试求参数 N 和 p 的矩估计28 设总体 X 的分布列为截尾几何分布 从中抽得样本 X1，X 2，X n，其中有 m 个取值为 r+1，求
7、的极大似然估计考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 记奖金为 X，则 X 全部可能取的值为 6，9，12，并且所以，EX=因此本题选(B)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 得到a=(1a) 2，a 23a+1=0，a= ，但 a1，于是 a= ，选(B)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 X1，X 2，X 3 相互独立且均服从 P()，所以 X1+X2+X3P(3) ，E(X1+X2+X3)=D(X1+X2+X3)=3
8、，EY=E (X1+X2+X3)=，=E(Y2)(EY) 2=E(Y2) 2故E(Y2)=2+ ，选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 故选(C)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 E(XY)= ydy xf(x，y)dx ydy (t)f(t，y)dt= ydy (t)f(t，y)dt= ydy xf(x，y)dx=E(XY)，所以 E(XY)=0同理，EX= x f(x，y)dydx=0，所以 XY=0同理，当f(x，y)=f(x，y)时， XY=0【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 0【试题解析】 由于
9、 D：0yx1 是由 y=x，y=x，x=1 三条线围成的，关于x 轴对称，所以 E(XY)= xydxdy=0，EY= ydxdy=0，故 Cov(X，Y)=E(XY)EXEY=0【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 N(0，5)【试题解析】 Z 服从正态分布， EZ=E(X 2Y+7)=EX 2EY+7=34+7=0， DZ=D(X2Y+7)=DX+2 2DY=1+4=5【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 3【试题解析】 因为 X1，X 2，X 3 两两不相关，所以 Cov(Xi，X j)=0(ij)，于是 D(X1+X2+X3)=D(X1+X2)+X3 =D(X1+
10、X2)+DX3+2Cov(X1+X2，X 3) =DX1+DX2+DX3+2Cov(X1，X 2)+2Cov(X1，X 3)+2Cov(X2，X 3) =DX1+DX2+DX3=3【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 PZ=0=PX=0，Y=0 =PX=0 P Y=0 = PZ=1 =1P Z=0 =【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 EX 1(X1+X2X 3)=E(X12+X1X2X 1X3)=E(X12)+EX1EX2EX 1EX3=DX1+(EX1)2+EX1EX2EX 1EX3=【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试
11、题解析】 设(X，Y) 的分布律为 (X，Y) 的边缘分布律也表示于表中)，则 E(XY)=p11，从而有由此得所以(X，Y)的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 若 X 为离散型，其概率分布为 PX=x i=P i，i=1，2，则PX= 若 X 为连续型，其概率密度为 f(x)，则 PX=【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 由切比雪夫不等式 PXEX021=09【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 设需掷 n 次，正面出现的次数为 Yn，则 YnB(n， )，依题意应有 P04 06 09而 所
12、以 n250【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 由切比雪夫不等式，对任意的 0 有所以对任意的 0，故X n服从大数定律【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 设 Xi= (i=1，2，)，则同时使用的终端数X= XiB(100，02)，所求概率为 Px101 =1(25)=(25)=0 993 8【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 EX i=，DX i=2， =， 进而有 E(Xi2)=DXi+(EXi)2=2+2，【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 (1)Y 是连续 5 次取球中取得黑球的个数，所以 YB(5， )从而 EY=5 E(Y2
13、)=DY+(EY)2=5 (2)由于 X 的分布律为，所以【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 因 X 2(n)，所以 X 可表示为 ，其中 X1，X 2，X n 相互独立，且均服从 N(0，1) ，于是【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 Xt(n) ，则 X 可表示为 X= ，其中 ZN(0 ，1) ，Y 2(n)且 Z，Y 相互独立，又 Z2 2(1)，于是 X2= F(1 ，n)【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由于 XiN(a ， 2)，i=1，2，m，Y iN(b ， 2)，i=1，2 ， n，且 X1，X 2，X m，Y 1，Y 2，Y n
14、 相互独立，则也服从正态分布所以而，且 S12 与 S22 独立，则(mS12+nS22) 2(m+n 2)【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由题意知，随机变量 X 的分布律为 PX=k= ，k=0 ， 1，2，EX=令 对于给定的样本 X1，X 2，X n，似然函数为取对数，得 lnL(a)=nlnaln(a+1) ln(a+1)，令 lnL(a)=0，得解得【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 设 X 为“连掷两次正面出现的次数”，A= 取出的硬币为普通硬币，则 PX=0=P(A)PX=0A+ PX=1=P(A)PX=1A+ Px=2=P(A)PX=2A + =
15、 即 X 的分布为(1)1= ，解得 =N(2 1)， 的矩估计为 (2)L(X1，X n；)=lnL=n0.lnln(4N)+n 1lnln(2N)+n 2ln(4N3)ln(4N)， 解得 的最大似然估计【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 X 的数学期望为 EX= xf(x；)dx= 0x 用样本均值 代替中的 EX 得 此方程的解即为 的矩估计量【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 先求矩估计： 1=EX=01(+1)x+1= 解得 =所以 的矩估计为 再求极大似然估计：L(x 1，x n；)= (+1)xia=(+1)n(x1x2xn)lnL=nln(+1)+ lnxi，解得 的极大似然估计：【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 1=EX= 因为 p 很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩所以得 p 的矩估计【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 解之得 N=1p，(1p)+Np= ，即，所以 N 和 p 的矩估计为【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 解似然方程 得 的极大似然估计【知识模块】 概率论与数理统计
