1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机向量(X，Y) 服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1 ，1)，Y N(2 ，4) ，X 与 Y 的相关系数为 XY= ，且概率 PaX+bY1= ，则 ( )2 设 X 是随机变量，EX0 且 E(X2)=07，DX=02，则以下各式成立的是 ( )3 已知随机变量 Xn(n=1，2，)相互独立且都在(1，1)上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有 =( )(结果用标准正态分布函数 (x)表示)（A）(0)（B） (1)（C） ( )（D）(2)4 设 X
2、1，X 2，X n 是总体 N(， 2)的样本， 是样本均值，记则服从自由度为 n1 的 t 分布的随机变量是 ( )5 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2， Xn 是取自总体的简单随机样本，样本均值为 ，样本方差为 S2，则服从 2(n)的随机变量为 ( )6 设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0， 2)，已知 X1，X 2，X m 与Y1，Y 2，Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的两个相互独立的简单随机样本，统计量=( )7 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2， Xn(n1)是取自总体的简单随机样本，样本均值为 ( )（A）与 及 n 都有
3、关（B）与 及 n 都无关（C）与 无关，与 n 有关（D）与 有关，与 n 无关二、填空题8 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(0 ，3)，Y N(0 ，4) ，相关系数 XY= ，则(X ，Y) 的概率密度 f(x，y)为_9 设二维随机变量(X，Y)的分布律为 则 X 与 Y的协方差 Cov(X，Y)为_10 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则随机变量 U=X+2Y，V= X 的协方差 Cov(U，V)为_11 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 则随机变量 Z=XY 的方差 DZ 为_12 设随机变量 X 的数学期望 EX=75，方差 DX=5，由切比雪夫不等式
4、估计得PX75k 005，则 k=_13 设 X1，X 2，X n，是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为 的泊松分布，则 =_14 设总体 XP()，X 1， X2，X n 是来自 X 的简单随机样本，它的均值和方差分别为 和 S2，则 E( )和 E(S2)分别为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2， ，X n 是其样本16 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的一个样本， (X1，X n)是 的一个估计量，若 = 是 的相合(一致)估计量17 设 X1，X 2，X n 是取自均匀分布在0，上的一个样本，试
5、证：Tn=max(X1，X 2，X n)是 的相合估计18 已知 X 具有概率密度求未知参数 的矩估计和最大似然估计19 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X 3 是来自 X 的样本，证明：估计量都是 的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效20 设 X1，X 2，X n 为总体 X 的一个样本，设 EX=，DX= 2，试确定常数 C，使 为 2 的无偏估计21 设总体服从 u0， ，X 1，X 2，X n 为总体的样本，证明： 为 的一致估计22 设从均值为 ，方差 20 的总体中分别抽取容量为 n1，n 2 的两个独立样本，样本均值分别为 证明：对于任何满足条件 a+b=1 的常数 a，
6、b，T= 是 的元偏估计量，并确定常数 a，b，使得方差 DT 达到最小23 设 X1，X 2，X n 独立同分布，X 1 的取值有四种可能，其概率分布分别为：p1=1 ，p 2= 2，p 3=2 3，p 4 =3，记 Nj 为 X1，X 2，X n 中出现各种可能的结果的次数，N 1+N2+N3+N4=n确定 a1，a 2，a 3，a 4 使 为 的无偏估计24 设总体 XN( 1， 2)， YN( 2， 2)从总体 X，Y 中独立地抽取两个容量为m，n 的样本 X1，X m 和 Y1，Y n记样本均值分别为 若是 2 的无偏估计求：(1)C；(2)Z 的方差 DZ25 设有 k 台仪器，已
7、知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为i， i=1，2，k，用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到X1，X 2，X k，设仪器都没有系统误差，即 E(Xi)=，i=1，2，k，试求：a1，a 2，a k 应取何值，使用 是无偏的，并且 最小?26 设X n是一随机变量序列，X n 的密度函数为：27 设 X1，X 2，X n，是独立同分布的随机变量序列，EXi=，DX i=2，i=1 ，2，令 证明：随机变量序列Y n依概率收敛于 28 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量 50 千克，标准差为 5 千克，若用最大载重为 5 吨的汽车承运，试用中
8、心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0977(2)=0977)29 用概率论方法证明：30 截至 2010 年 10 月 25 日，上海世博会参观人数超过了 7000 万人游园最大的痛苦就是人太多假设游客到达中国馆有三条路径，沿第一条路径走 3 个小时可到达；沿第二条路径走 5 个小时又回到原处；沿第三条路径走 7 个小时也回到原处假定游客总是等可能地在三条路径中选择一个，试求他平均要用多少时间才能到达中国馆考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为(X，
9、Y)服从二维正态分布 aX+bY 服从一维正态分布，又EX=1，EY=2 则 E(aX+bY)=a+2b，于是 PaX+bY1=显然，只有 1(a+2b)=0 时，PaX+bY1= 才成立，只有选项(D)满足此条件【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 EX= ，于是由切比雪夫不等式知因此本题选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知 EXn=0，DX n= 由中心极限定理，对任意 x 有【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 故选(B)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 由于总
10、体 XN(， 2)，所以 与 S2 独立，由2 分布的可加性，我们仅需确定服从 2(1)的随机变量因为N(0，1)， 2(1)，选择(D) 【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 应用 t 分布的典型模式由于 ，而 N(0 ，1) ，且相互独立，所以 V= 2(n)，U 与 V 相互独立，由 t分布的典型模式 t(n)由题意知【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 由题设有，XN(， 2)， N(0 ，1)，N(0，1) ，于是 PX a)=P b，即所以 因此比值与 无关，与 n 有关【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题8 【正确答案】 【
11、试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 关于 X 与关于 Y 的边缘分布律分别为所以，【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 Cov(U，V)=Cov(X+2Y，X)=DX2Cov(X，Y)=DX2E(XY)+2EXEY， 其中 E(XY)=关于 X 的边缘概率密度为 所以EX=EY= E(X2)=将代入得Cov(U，V)=【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 DZ=DX+DY 2Cov(X，Y)=DX+DY2E(XY)+2EXEY， E(XY)=其中D=(x，y) 0x1，0yx如图 3-5 阴影部分所示关于
12、 X 的边缘概率密度为EX=01x.3x2dx= ，E(X 2)=01x2.3x2dx= DX=E(X2)(EX) 2= 关于 Y 的边缘概率密度为DY=E(Y2)(EY) 2=将 代入得 DZ=【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 10【试题解析】 PX75k=PXEXk ，于是由题设得=0 05，即 k=10【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 (x)【试题解析】 由列维-林德伯格中心极限定理即得【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 +2，【试题解析】 ，E(S 2)=DX=【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
13、15 【正确答案】 (1)可见当 C=(Xi+1X i)2 是 2 的无偏估计量因为 于是故当 k= 是 的无偏估计【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 由切比雪夫不等式，对任意的 0 有于是 0 =0即 依概率收敛于 ，故 是 的相合(一致)估计量【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 T n=X(n)的分布函数为 FT(t)=Fn(t)= Tn 的密度为 fT(t)=FT(t)=nf(t)Fn1 (t)= 所以由切比雪夫不等式有当 n时，故 Tn 是 的相合估计【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 先求矩估计 再求最大似然估计得 的最大似然估计【知识模块】
14、 概率论与数理统计19 【正确答案】 故 都是 的无偏估计 所以 最有效【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 由题意知：E( CS 2)=2,则此时 C= 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 ，由切比雪夫不等式有：0(n+)因此得 为 的一致估计【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由题意得： ，所以 ET=(a+b)=，故 T 是 的无偏估计量又 DT=，令 f(a)= 2，对 a 求导并解方程如下：f(a)= 2=0，得到0，所以 f(a)= 处取得极小值，此时 b=1a= ，方差 DT 达到最小【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由于
15、NiB(n，p i)，i=1，2，3， 4，所以 E(Ni)=npi，从而有：ET=a1n(1)+a 2n( 2)+a3n(2 3)+a4n3=na1+n(a2a 1)+n(a3a 2)2+n(a4a 3)3若使 T 是 的无偏估计，即要求 解之得：a1=0，a 2=a3=a4= 即 T= 是 的无偏估计【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 同理故 则 C= (2)因 则有【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 (1) =，即当是无偏的(2) 令函数g(a1，a 2， ，a k)= ，问题归结为求多元函数 g(a1，a 2，a k)在条件 ai=1之下的最小值作拉格朗日函
16、数：G(a 1，a 2，a k，)=g(a 1，a 2，a k)+(a1+a2+ak1) 若令，则 =2 02，由此得：【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 对任意给定的 0，由于【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 由切比雪夫不等式得：PY nE(Y n)=PY n ，所以【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 设 Xi 是“ 装运的第 i 箱的重量”，n 表示装运箱数则EXi=50，DX i=52=25，且装运的总重量 Y=X1+X2+Xn，X n独立同分布，EY=50n，DY=25n由列维林德伯格中心极限定理知 YN(50n，25n)于是PY5000 =
17、 0977=(2)故2=n98010 99，也就是最多可以装 98 箱【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 设X n为一独立同分布随机变量序列，每个 Xk 服从参数为 1的泊松分布，则 EXk=1，DX k=1， Xk 服从参数为 n 的泊松分布故有由列维林德伯格中心极限定理知：【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 设游客需要 X 小时到达中国馆，则 X 的可能取值为3，5+3 ，7+3，5+5+3，5+7+3，7+7+3，要写出 X 的分布律很困难，所以无法直接求 EX为此令 Y=第一次所选的路径，即Y=i表示“选择第 i 条路径”则 PY=1=PY=2=PY=3= 因为 E(XY=1)=3，E(XY=2)5+EX，E(XY=3)=7+EX，所以 EX= 3+(5+EX)+(7+EX)=5+ Ex故 EX=15，即该游客平均要 15 个小时才能到达中国馆【知识模块】 概率论与数理统计
