1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 A，B 为随机事件，0P(A)1，0P(B)1，则 的充要条件是( )2 若事件 A 和 B 同时出现的概率 P(AB)=0，则( )（A）A 和 B 不相容(互斥)（B） AB 是不可能事件（C） AB 未必是不可能事件（D）P(A)=0 或 P(B)=03 设 A，B 为随机事件，0P(A)1，0P(B)1，则 A，B 相互独立的充要条件是( )4 对于任意两个事件 A 和 B，有 P(A 一 B)=( )5 设随机事件 A 与 B 互不相容，则( )6 以 A
2、表示事件“ 甲种产品畅销，乙种产品滞销” ，则其对立事件 为( )（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”（B） “甲、乙两种产品均畅销”（C） “甲种产品滞销”（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”7 对任意两个互不相容的事件 A 与 B，必有( )（A）如果 P(A)=0，则 P(B)=0（B）如果 P(A)=0，则 P(B)=1（C）如果 P(A)=1，则 P(B)=0（D）如果 P(A)=1，则 P(B)=18 设 A、B 为两个随机事件，且 ，则下列式子正确的是 ( )（A）P(A+B)=P(A)（B） P(AB)=P(A)（C） P(B|A)=P(B)（D）P(BA)=P(B)一 P(A
3、)9 设 A，B 为随机事件，P(B)0，则( )（A）P(AB)P(A)+P(B)（B） P(AB)P(A)一 P(B)（C） P(AB)P(A)P(B)（D）10 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论肯定正确的是 ( )（A）（B）（C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(AB)=P(A)11 设随机事件 A，B，C 两两独立，且 P(A)，P(B)，P(C)(0，1)，则必有( ) （A）C 与 AB 独立（B） C 与 AB 不独立（C） AC 与 B 独立（D）A C 与 B 不独立12 设 A，B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0， =P(
4、B|A)，则必有( )（A）（B）（C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(AB)P(A)P(B) 13 设事件 A 与 B 满足条件 则( )（A）A B=（B） A B=（C） A B=A（D）AB=B14 设随机事件 A 与 B 互不相容，且 P(A)0，P(B)0，则下列结论中一定成立的有( )（A）A，B 为对立事件（B）（C） A，B 不独立（D）A，B 相互独立15 已知事件 A 发生必导致 B 发生，且 0P(B)1，则 =( )（A）0（B）（C）（D）116 设 A，B 是任意两个随机事件，又知 ，且 P(B)0，则一定有( )（A）P(B | A)P(A) （B） P
5、(B | A)P(A)（C） P(B | A)P(B) （D）P(B | A)P(B)17 设 A，B 是任意两个随机事件，又知 ，且 P(A)P(B) 1，则一定有( )（A）P(A B)=P(A)+P(B)（B） P(AB)=P(A)一 P(B)（C） P(AB)=P(A)P(B | A)（D）P(A | B)P(A)18 某射手的命中率为 p(0P1)，该射手连续射击 n 次才命中 k 次(kn)的概率为( )（A）p k(1 一 p)n-k（B） Cnkpk(1 一 p)n-k（C） Cn-1k-1pk(1 一 p)n-k（D）C n-1k-1p-k-1(1 一 p)n-k19 设 A
6、，B，C 是任意三个事件，事件 D 表示 A， B，C 中至少有两个事件发生，则下列事件中与 D 不相等的是( )20 对于任意两事件 A 和 B，若 P(AB)=0，则( )（A）（B）（C） P(A)P(B)=0 （D）P(AB)=P(A)21 设 A 和 B 为任意两不相容事件，且 P(A)P(B)0，则必有( )22 设 A1，A 2 和 B 是任意事件，且 0P(B)1，P(A 1A2)|B)=P(A1|B)+P(A2|B)，则( )（A）P(A 1A2)=P(A1)+P(A2)（B） P(A1A2)=P(A1|B)+P(A2|B)（C） P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B
7、)（D）23 设 A，B 是任意两个随机事件，则 P =( )（A）0（B）（C）（D）124 随机事件 A 与 B 互不相容，0P(A)1，则下列结论中一定成立的是( )（A）A B=（B）（C） A=B（D）二、填空题25 已知事件 A 与 B 相互独立，P(A)=a，P(B)=b如果事件 C 发生必然导致事件A 与 B 同时发生，则事件 A，B，C 均不发生的概率为_26 已知事件 A、B 仅发生一个的概率为 03，且 P(A)+P(B)=05，则 A，B 至少有一个不发生的概率为_27 10 个同规格的零件中混人 3 个次品，现在进行逐个检查，则查完 5 个零件时正好查出 3 个次品的
8、概率为_28 设 A，B，C 是两两相互独立的随机事件，且这三个事件不能同时发生，它们的概率相等，则 P(ABC)的最大值为_29 将一枚硬币重复掷五次，则正、反面都至少出现两次的概率为_30 在区间(0,1) 中随机地取出两个数，则“ 两数之积小于 ”的概率为_31 设每次射击命中概率为 03，连续进行 4 次射击，如果 4 次均未击中，则目标不会被摧毁；如果击中 1 次、2 次，则目标被摧毁的概率分别为 04 与 06；如果击中 2 次以上，则目标一定被摧毁那么目标被摧毁的概率 p=_32 从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为Y，则 PY=2=_3
9、3 设 A、B 是两个随机事件，且=_34 三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球与 1 个白球，第二个箱中有 3 个黑球和 3个白球，第三个箱子中有 3 个黑球与 5 个白球现随机地选取一个箱子，从中任取1 个球，则这个球为白球的概率是_；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是_35 每箱产品有 10 件，其中次品数从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收,由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2，一件次品被误判为正品的概率为 10,则随机检验一箱产品，通过验收的概率 p=_36 甲、乙两人轮流投篮，游戏规则规定
10、为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜，设甲、乙每次投篮的命中率分别是 p 与 05，则p=_时，甲、乙胜负概率相同三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。37 为了减少比赛场次，把 20 个球队任意分成两组(每组 10 队)进行比赛，求最强的两队被分在不同组内的概率38 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率39 设 P(A)0，P(B)0，将下列四个数：P(A)，P(AB)，P(A B)，P(A)+P(B)，按由小
11、到大的顺序排列，用符号联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 已知选项 A、B是 A 与 B 相互独立的充要条件，因此不能选由 “对称性”可知选项 C 正确，故选C事实上， P(A)+P(B)=1选项 D 未必成立，这是因为【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点是不可能事件与概率为 0 的随机事件之间的区别和联系这两者之间的关系为：不可能事件 的概率 P()=0，但概率为零的随机事件 A 未必是不可能事
12、件，也就是说，由 P(A)=0 不能推出 A=，故选项 C 正确.【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由于 0P(A)1，0P(B) 1，所以 A 与 B 相互独立正确选项是 C【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 如图 11 所示，可知 A=(A 一 B)+AB，(A 一 B)(AB)=所以P(A)=P(A 一 B)+P(AB)，进而 P(A 一 B)=P(A)一 P(AB)故选项 C 正确【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 已知 AB= 无法断言 因此选项 A、B 不能选由于 AB= 所以 ，故选 D【知识模
13、块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 设 A1=甲种产品畅销，A 2=乙种产品滞销，则 A=A 1A2由德摩根定律得 =甲种产品滞销乙种产品畅销，即 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”，故选项 D 正确 选项 A，B 中的事件与事件 A 都是互斥但非对立(互逆) 的；选项 C 中事件的逆事件显然包含事件 A，故选项 A，B，C 都不正确【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 A【试题解析】 如图 12 所示，可见 A+B=A B=A AB=AB=B BA= 于是P(A+B)=P(A)，P(AB)=P(B)，
14、P(BA)=P()=0，故选项 A 正确C 选项只有当P(A)=1 时才成立【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 B【试题解析】 根据概率运算性质可知，P(A B)=P(A)+P(B)一 P(AB)P(A)+P(B)，选项 A 不成立P(A B)=P(A)一 P(AB)P(A)一 P(B)，故正确选项为 B而P(A|B)= 所以选项 D 不成立至于选项 C，它可能成立也可能不成立，如果 AB=，P(A) 0，P(B)0，则 P(AB)=0P(A)P(B)；如果 ，则P(AB)=P(A)P(A)P(B)【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB=，所以
15、 AB=AAB=A 一 =A，从而 P(AB)=P(A)，故选项 D 正确对于选项 A、B 可用反例排除，如取 =1，2，3，A=1，B=2，则 AB=，但 故选项 A 不正确；如果取 A=1，B=2，3 ，显然 AB=，但 选项B 也不正确对于选项 C，由于 AB=，所以 P(AB)=0，但由题设知 P(A)P(B)0，因此选项 C 不正确【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项 A、B：P(C(AB)= =P(AC)一 P(ABC)=P(A)P(C)一 P(ABC)， P(C)P(AB)=P(C)P(A)一 P(AB)=P(A)P(C)一 P(A)P(B)
16、P(C) 尽管A，B，C 两两独立，但未知 A，B，C 是否相互独立，从而不能判定 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立，故选项 A、B 均不正确与题设 P(A)，P(B) ，P(C)(0 ，1)矛盾，所以排除 C 选项，故选 D【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 C【试题解析】 根据题设条件可知，无论事件 A 发生与否，事件 B 发生的概率都相同，即事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，因此可以确认 A 与 B 是相互独立的应该选 C【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 B【试题解析】 由对称性可知选项 C、D 都不成立(否则，一个成立另一个必成
17、立)，而若选项 A 成立 这与已知 相矛盾，所以正确选项是 B【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 C【试题解析】 A，B 互不相容，只说明 AB=，但并不一定满足 A B=，即互不相容的两个事件不一定是对立事件，又因 AB= 不一定成立，故亦不一定成立，因此选项 A、B 都不成立同时因为 P(AB)=P()=0，但是 P(A)P(B)0，即 P(AB)P(A)P(B)，故 A 与 B 一定不独立，应选 C【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 C【试题解析】 根据 知 AB=B，又因 0P(B)P(A)1
18、，于是有故选 C【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 D【试题解析】 由于 ，则 AB=B，AB=A当 P(A)0，选项 A 不成立；当P(A)=0 时，条件概率 P(B|A)不存在，选项 C 不成立；由于任何事件概率的非负性，而题设 P(A)P(B) ，故选项 B 不成立对于选项 D，根据题设条件 0P(A)P(B)1，可知条件概率 P(A|B)存在，并且 故应选 D【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 C【试题解析】 n 次射击视为 n 次重复独立试验，每次射击命中概率为 p，没有命中的概率为 1 一 p，设事件 A=“射击 n 次命中 k 次”=“前 n 一 1
19、次有 k 一 1 次击中，且第 n 次也击中 ”，则 P(A)=C n-1k-1pk-1(1 一 p)n-1-(k-1).p=Cn-1k-1pk(1 一 p)n-k 应选 C【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 A【试题解析】 事件 D 表示 A、B、C 中至少有两个事件发生，即 A、B、C 三个事件恰好只有两个发生或者三个事件同时发生而选项 A 仅表示三个事件只有两个发生与事件 D 不相等，应选 A【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 D【试题解析】 因为 P(AB)=P(A)一 P(AB)=P(A)故应选 D 不难证明选项A、B、C 不成立设 XN(0，1)，A=X
20、0，B=X0，则 P(AB)=0，P(A)P(B)0 且 从而 A 项和 C 项不成立若 A 和 B 互为对立事件，则 故选项 B 也不成立【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 C【试题解析】 因为故应选 C【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知，P(A 1A2|B)=0，但是这不能保证 P(A1A2)=0 和 P(A1A2|B)=0，故选项 A 和 D 不成立由于 P(A1|B)+P(A2|B)=P(A1A2)|B)未必等于P(A1+A2)，因此 B 一般也不成立由 P(B)0 及 P(A1A2)|B=P(A1|B)+P(A2|B)，可见选项
21、C 成立：【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 A【试题解析】 由事件运算法则的分配律知故选 A【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 B【试题解析】 因 AB=，所以 应选 B【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题25 【正确答案】 (1 一 a)(1b)【试题解析】 所求的概率为 ，已知“事件 C 发生必导致 A、B 司时发生”，显然是用于化简 已知又因为 A 与 B 独立，故所求的概率为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 09【试题解析】 P(A)+P(B)=0 5，于是解得 P(AB)=01，所以所求的概率为【知识模块】 概率论与数理统计27 【正
22、确答案】 【试题解析】 记 A=“查完 5 个零件正好查出 3 个次品”，现要求的是 P(A)的值事实上，事件 A 由两个事件合成：B=-“前 4 次检查，查出 2 个次品”和C=“第 5 次检查，查出的零件为次品”，即 A=BC，由乘法公式 P(A)=P(BC)=P(B)P(C|B)，事件 B 是前 4 次检查中有 2 个正品 2 个次品所组合，所以 P(B)=已知事件 B 发生的条件下，也就是已检查了 2 正 2 次，剩下 6 个零件，其中 5 正 1 次，再要抽检一个恰是次品的概率【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 【试题解析】 P(A B C) =P(A)+P(B)+P(
23、C)一 P(AB)一 P(BC)一 P(AC)+P(ABC) =P(A)+P(B)+P(C)一 P(A)P(B)一 P(B)P(C)一 P(A)P(C)+P() =3P(A)一 3P(A)2【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 【试题解析】 该试验为独立重复试验序列概型，记 A=“正、反面都至少出现两次”，X 为将硬币投掷五次正面出现的次数，则 。而 Y=5 一 X 为 5 次投掷中反面出现的次数，那么 A=2X5，2Y5 =2X5，25 一 X5 =2X5，0X3 =X=2X=3，所以 P(A)=PX=2+PX=3=【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 【试题解析】
24、记(0，1) 中任取的两个数为 X，Y，则(X，Y) =(x，y)|0x 1，0 y1 ， 为基本事件全体，并且取 中任何一点的可能性都一样，故该试验是几何概型，如图 13 所示，事件 A=“两数之积小于(X，Y) A=(x，y)|xy ，0x1，0y1，由几何概型可得【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 04071【试题解析】 设事件 Ak=“射击 4 次命中 k 次”;k=0，1，2，3，4，B=“ 目标被摧毁”，则根据 4 重伯努利试验概型公式，可知 P(Ai)=C4i03 i，07 4-i，i=0，1，2 ，3，4，则 P(A0)=07 4=02401，P(A 1)=041
25、16，P(A 2)=02646， P(A3)=00756 ，P(A 4)=00081 由于 A0，A 1，A 2，A 3，A 4 是一完备事件组，且根据题意得 P(B|A 0)=0，P(B|A 1)=04，P(B|A 2)=06，P(B|A 3)=P(B|A4)=1应用全概率公式，有 =P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)+P(A4)=04071【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 【试题解析】 由于事件X=1，X=2，X=3，X=4是一个完备事件组，且PX=i= i=1，2，3，4所以条件概率 PY=2|X=1=0，PY=2|X=i= i=2 ，3 ，4
26、根据全概率公式【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 【试题解析】 根据乘法公式 根据减法公式，有【知识模块】 概率论与数理统计34 【正确答案】 【试题解析】 设事件 Ai=“取到第 i 箱”，i=1，2，3，B=“取到白球”，则第一个空应为 P(B)，第二个空应为 显然 A1，A 2， A3 是一完备事件组，由题意可得 i=1，2，3，P(B|A 1)= 根据全概率公式和贝叶斯公式，可得【知识模块】 概率论与数理统计35 【正确答案】 0892【试题解析】 设事件 A=“一件产品能够通过验收”，则 P(A)=p事件 B=“任取一件产品为正品” =“任取一件产品为次品”，则 A=B
27、A 根据题设可知显然 P(B)与该箱产品中有几件次品有关，利用全概率公式计算 P(B)设 Ci=“每箱产品含 i 件次品”(i=0，1，2)，则 C0，C 1，C 2 是一完备事件组，P(C i)= ，故B=C0BC1BC2B，且 P(B)=P(C 0)P(B|C0)+P(C1)P(B|C1)+P(C2)P(B | C2)=故 p=01+0 880 9=0892【知识模块】 概率论与数理统计36 【正确答案】 【试题解析】 根据题意，如果要使得甲乙的取胜概率相同，则必定有 P=(1 一 P)0 5+(1 一 P)050 5 解得 甲乙胜负的概率相同【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应
28、写出文字说明、证明过程或演算步骤。37 【正确答案】 先考虑总的基本事件数是从 20 个球队里任意选取 10 个，再考虑有利事件的基本事件数，即从 2 个强队里任意选出一组，再从剩余的 18 个队中任意选出 9 组的选法数 从 20 个球队里任意选出 10 个队分成一组，剩余的 10 个队为第二组的总的基本事件数为 N=C2010 用事件 A 表示两个强队不在同一组内，则可以先从这两个强队中任意选出一队，再从剩余的 18 个队中任意选出 9 组，则事件 A 的基本事件数为 M=C21C18/9，则最强的两队被分在不同组内的概率为【知识模块】 概率论与数理统计38 【正确答案】 设甲乙两艘船到达
29、的时间分别为 x，y，并把(x，y) 视为直角坐标系里的一个点的坐标，则 x，y 满足条件 0x24，0y24 所以总的基本事件数为坐标系中边长为 24 的正方形的面积，如图 14 所示用事件 A 表示 “两艘船中任何一艘都不需要等候码空出” ，则 x，y 满足不等式 y 一 x1，xy2 则上述不等式组表示的区域为图中阴影部分的面积，即事件 A 的基本事件数容易求得正方形面积为S=242，阴影部分面积为 s= 根据几何概型，可得【知识模块】 概率论与数理统计39 【正确答案】 A、AB、A B 之间的所属关系为 故有 P(AB)P(A)P(A B)，根据概率的加法公式 P(A B)=P(A)+P(B)一 P(AB)，得 P(A B)P(A)+P(B)，因此四个数由小到大排列为 P(AB)P(A)P(A B)P(A)+P(B) P(AB)=P(A)成立的条件是 AB=A，即 P(A)=P(A B)成立的条件是 A=A B，即 P(A B)=P(A)+P(B)成立的条件是 P(AB)=0，即 AB=【知识模块】 概率论与数理统计
