[考研类试卷]考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷23及答案与解析.doc

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1、考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 随机事件 A 与 B 互不相容,0P(4)1,则下列结论中一定成立的是( )(A)AB=(B)(C) A=B(D)2 设 A,B 是任意两个随机事件,则(A)0(B)(C)(D)13 设 A、B、C 是三个相互独立的随机事件,且 0P (C)1,则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( )4 设随机变量 X 的分布函数为 F(x),其密度函数为其中 A 为常数,则 的值为( )5 设随机变量 XN(, 2),0,其分布函数 F(x)的曲线的拐点为(a,b),则( a,b)

2、为( )(A)(,)(B)(C)(D)(0,)6 设随机变量 X 与 Y 相互独立,XB(1, ),y 的概率密度 f(y)=的值为( )7 设随机变量 X 与 Y 相互独立,其分布函数分别为 FX(x)与 FY(y),则Z=maxX, Y的分布函数 fZ(z)是( )(A)maxF X(z ),F Y(z)(B) FX(z )+F Y(z)F X(z)F Y(z)(C) FX(z )F Y(z)(D) FX(z )+F Y(z)8 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布,且 E(X1)(X 2)=1,则 =( )9 假设二维随机变量(X 1,X 2)的协方差矩阵为 其中ij=Cov(X i,

3、 Xj)(i,j=1,2),如果 X1 与 X2 的相关系数为 ,那么行列式|=0 的充分必要条件是( )(A)p=0(B)(C)(D)|=110 设 X1,X 2,X 3,X 4,x 5 是取自总体 N(0,1)的简单随机样本,已知+ a(X 1X2+X3X4),a1 服从 2(n),则n+a=( )(A)5(B) 4(C) 3(D)2二、填空题11 设 10 件产品中有 4 件不合格品,从中任取两件,已知所取的两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率为_。12 已知事件 A 与 B 相互独立,P(A)=a ,P(B)=b 。如果事件 C 发生必然导致事件 A 与 B 同时发生

4、,则事件 A、B、C 均不发生的概率为_。13 设随机变量 X 的密度函数 f(x)= 且 P1X 2=P2X3,则常数 A=_;B=_;概率 P2X4=_;分布函数 F( x)=_。14 已知随机变量 X 服从参数为 的指数分布, =_。15 已知 X 且 n 维向量 1, 2, 3 线性无关,则1+2, 2+23,X 3+Y1 线性相关的概率为_。16 设随机量 X 和 y 相互独立,其概率密度为则 E(XY)=_。17 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= (x+ ),则随机变量X 的二阶原点矩为_。18 D(X)=2,则根据切比雪夫不等式有 P|XE(X )|2_。19 设 X1,

5、X 2,X 3,X 4 是取自正态总体 N(0,2 2)的简单随机样本, Y=a(X 12X2) 2+6(3X 34X4) 2,则当 a=_,b=_时,统计量服从 2 分布,自由度为 _。20 设 X1,X 2,X n 为来自区间a,a 上均匀分布的总体 X 的简单随机样本,则参数 a 的矩估计量为 _。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 袋中有 a 只白球,6 只红球, k(ka+b )个人依次在袋中取一只球,( 1)作放回抽样;(2)做不放回抽样。求第 i(i=1,2,k)人取到白球(记为事件B)的概率。22 已知连续型随机变量 X 的概率密度为 又知 E(X)=0,求

6、 a,b 的值,并写出分布函数 F(x)。23 设随机变量 X 的概率密度为 求随机变量 Y=eX 的概率密度 fy(y)。24 已知随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的。1 分布,即 PX=0=PX=1= ,PY=0=PY=1= ,定义随机变量 Z= 求Z 的分布;(X,Z )的联合分布;并问 X 与 Z 是否独立。25 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=Ae 2x+2xy 一 y2,x+,y+,求常数 A 及条件概率密度 fY|X(y|x)。26 设二维随机变量(X,Y)在区域 G=(x,y)|1x+y2,0y1上服从均匀分布。试求: ()(X,Y)的边缘概率

7、密度 fX( x)和 fY(y); ()Z=X+Y的概率密度 fZ(z)。27 将 3 个球随机地放入四个盒子中,以随机变量 X 表示有球的盒子数,求E(X), D(X)。28 某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0p1),各产品合格与否相对独立,当出现 1 个不合格产品时即停机检修。设开机后第 1 次停机时已生产了的产品个数为 X,求 X 的数学期望 E(X)和方差 D(X)。29 设总体 X 的概率密度为X1,X 2,X n 为来自 X 的一个简单随机样本,求 p 的矩估计量。考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目

8、要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 AB= =,应选 B。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 由事件运算法则的分配律知故选 A。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查多个随机事件间的独立性的关系。由 A、B 、C 相互独立可知,事件 A、B 的和、差、积(或其逆)与事件 C 或 必相互独立,因此选项A、C、D 均被排除,选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意得,f(x)关于 x=故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 X N(, 2)

9、,其密度函数 f(x )= ,故曲线拐点在(, ),故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 x B(1, ),x 取值只能是 X=0 或 X=1,将 X=0 和 X=1 看成完备事件组,用全概率公式有故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(z )=P max(X,Y)z=PXz,Yz =PXzPYz=FX(z)F y(z), 故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 A【试题解析】 因 X 服从参数为 的泊松分布,故 E(X )= ,D (X )=。则 E(X1)(X2)=E(X

10、 23X +2)=E (X 2) 3E(X) +2 , 其中 E(X 2)=D(X)+E (X) 2=+2, 代入得 22+1=0,故 =1。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 | |=0 1122=1221 D(X 1)D(X 2) =Cov 2(X 1,X 2)选择 D。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】 + a(X 1X2+X3X4)则n+a=3,选 C。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A:所取的两件产品中至少有一件是不合格品。事件 B:所取的两件都是不合格品。因为 P(A)=1且

11、 P(A )P(B),所以【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 (1a)(1b)【试题解析】 所求的概率为 已知“事件 C 发生必导致 A、B 同时发生”,显然是用于化简 的。已知又因为 A 与 B 独立,故所求的概率为【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 由于 1=+f(x)dx= 12 Axdx+ 23Bdx= +B,又 P1X 2=P2X3,即 12Axdx=23Bdx,【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 e ;1 +e【试题解析】 已知 Xf(x)= 所求的概率为 PX+Y=0=PY=一X=P|X|1=PX 1+PX 1= 1 exd

12、x=e。根据全概率公式,可得【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 因为 1, 2, 3 线性无关,所以“ 1+2, 2+23,X 3+Y1 线性相关” =X+2Y=0”,故所求的概率为 PX +2Y=0=PX +2Y=0,Y=PX=1,Y=【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 4【试题解析】 E(X)= +xf(x)dx= 01x2xdx= E(Y)= +yg(y)dy=5+ye (y5) dy=6,又由于 X 和 Y 相互独立,故 E(XY)=E(X)E(Y)=4。【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 根据题意,即求 E(X 2

13、)。首先对所给概率密度作变换:对于 x(一x+ ),有 由此可知随机变量X 服从正态分布,从而 E(X)= 于是 E(X 2)=D(X ) + E2X=【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 根据切比雪夫不等式,有【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 根据题意 XiN (0,2 2)且相互独立,所以 X12X2N (0,20),3X34X4N(0,100),故 且它们相互独立,根据 2 分布典型模式及性质知 (3X 34X4)2 2(2),所以 Y 2(2),所以自由度为 2。【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 因为

14、 E(X)=0,不能用一阶矩来估计。E(X 2)=D(X )+E 2(X )= 样本二阶矩为【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 (1)放回抽样的情况,显然有 P(B)= (2)不放回抽样的情况,每人取一只球,每种取法是一个基本事件,共有(a+b)(a +b1)(a+bk+1)=A a+bk 个基本事件,且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同。当事件 B 发生时,第 i 人取的应该是白球,它可以是 a 只白球中的任一只,有 a 种取法。其余被取的 k1 只球可以是其余 a+b1 只球中的任意 k1 只,共有(a+b1)(a+b2)

15、a+b1(k1)+1=A a+b1k1 种取法,于是事件 B包含 aAa+b1k1 个基本事件,故【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 1= +=0aexdx+02 0=E(X )= +xf(x)dx=axexdx+02 解方程组【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 根据分布函数的定义,有 FY(y)=PYy=Pe Xy=于是当 y1 的时候,满足 FY(y)=PXlny= 0lnyexdx。因此所求概率密度函数为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 由于(X,Y)是二维离散随机变量,故由边缘分布及相互独立可求得联合分布;应用解题一般模式,即可求得 Z 及(

16、 X,Z)的分布,进而判断X、Z 是否独立。由题设知 的 01分布;所以(X,Z)的联合概率分布为因PX=i,Z=j= =PX=iPZ=j(i,j=0 ,1),故 X 与 Z 独立。【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 根据概率密度的性质 +f(x,y)dxdy=1,可知( +Ae2x2+2xyy2dxdy=A+ex2dx+e(xy) 2 dy=1,【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 区域 G 如图 336 所示:可知区域 G 是菱形,其面积为 1。故【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 X 可能的取值是 1,2,3,其中【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 令 q=1p,所以 X 的概率分布为 PX=k=qk1p(k=1 ,2,),故 X 的数学期望为【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 E(X)= 所以 p 的矩估计量【知识模块】 概率论与数理统计

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