1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 随机事件 A 与 B 互不相容，0P（4）1，则下列结论中一定成立的是（ ）（A）AB=（B）（C） A=B（D）2 设 A，B 是任意两个随机事件，则（A）0（B）（C）（D）13 设 A、B、C 是三个相互独立的随机事件，且 0P （C）1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（ ）4 设随机变量 X 的分布函数为 F（x），其密度函数为其中 A 为常数，则 的值为（ ）5 设随机变量 XN（， 2），0，其分布函数 F（x）的曲线的拐点为（a，b），则（ a，b）
2、为（ ）（A）（，）（B）（C）（D）（0，）6 设随机变量 X 与 Y 相互独立，XB（1， ），y 的概率密度 f（y）=的值为（ ）7 设随机变量 X 与 Y 相互独立，其分布函数分别为 FX（x）与 FY（y），则Z=maxX， Y的分布函数 fZ（z）是（ ）（A）maxF X（z ），F Y（z）（B） FX（z ）+F Y（z）F X（z）F Y（z）（C） FX（z ）F Y（z）（D） FX（z ）+F Y（z）8 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 E（X1）（X 2）=1，则 =（ ）9 假设二维随机变量（X 1，X 2）的协方差矩阵为 其中ij=Cov（X i，
3、 Xj）（i，j=1，2），如果 X1 与 X2 的相关系数为 ，那么行列式|=0 的充分必要条件是（ ）（A）p=0（B）（C）（D）|=110 设 X1，X 2，X 3，X 4，x 5 是取自总体 N（0，1）的简单随机样本，已知+ a（X 1X2+X3X4），a1 服从 2（n），则n+a=（ ）（A）5（B） 4（C） 3（D）2二、填空题11 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为_。12 已知事件 A 与 B 相互独立，P（A）=a ，P（B）=b 。如果事件 C 发生必然导致事件 A 与 B 同时发生
4、，则事件 A、B、C 均不发生的概率为_。13 设随机变量 X 的密度函数 f（x）= 且 P1X 2=P2X3，则常数 A=_；B=_；概率 P2X4=_；分布函数 F（ x）=_。14 已知随机变量 X 服从参数为 的指数分布， =_。15 已知 X 且 n 维向量 1， 2， 3 线性无关，则1+2， 2+23，X 3+Y1 线性相关的概率为_。16 设随机量 X 和 y 相互独立，其概率密度为则 E（XY）=_。17 设随机变量 X 的概率密度为 f（x）= （x+ ），则随机变量X 的二阶原点矩为_。18 D（X）=2，则根据切比雪夫不等式有 P|XE（X ）|2_。19 设 X1，
5、X 2，X 3，X 4 是取自正态总体 N（0，2 2）的简单随机样本， Y=a（X 12X2） 2+6（3X 34X4） 2，则当 a=_，b=_时，统计量服从 2 分布，自由度为 _。20 设 X1，X 2，X n 为来自区间a，a 上均匀分布的总体 X 的简单随机样本，则参数 a 的矩估计量为 _。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 袋中有 a 只白球，6 只红球， k（ka+b ）个人依次在袋中取一只球，（ 1）作放回抽样；（2）做不放回抽样。求第 i（i=1，2，k）人取到白球（记为事件B）的概率。22 已知连续型随机变量 X 的概率密度为 又知 E（X）=0，求
6、 a，b 的值，并写出分布函数 F（x）。23 设随机变量 X 的概率密度为 求随机变量 Y=eX 的概率密度 fy（y）。24 已知随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的。1 分布，即 PX=0=PX=1= ，PY=0=PY=1= ，定义随机变量 Z= 求Z 的分布；（X，Z ）的联合分布；并问 X 与 Z 是否独立。25 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=Ae 2x+2xy 一 y2，x+，y+，求常数 A 及条件概率密度 fY|X（y|x）。26 设二维随机变量（X，Y）在区域 G=（x，y）|1x+y2，0y1上服从均匀分布。试求： （）（X，Y）的边缘概率
7、密度 fX（ x）和 fY（y）； （）Z=X+Y的概率密度 fZ（z）。27 将 3 个球随机地放入四个盒子中，以随机变量 X 表示有球的盒子数，求E（X）， D（X）。28 某流水线上每个产品不合格的概率为 p（0p1），各产品合格与否相对独立，当出现 1 个不合格产品时即停机检修。设开机后第 1 次停机时已生产了的产品个数为 X，求 X 的数学期望 E（X）和方差 D（X）。29 设总体 X 的概率密度为X1，X 2，X n 为来自 X 的一个简单随机样本，求 p 的矩估计量。考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
8、要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 AB= =，应选 B。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 由事件运算法则的分配律知故选 A。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查多个随机事件间的独立性的关系。由 A、B 、C 相互独立可知，事件 A、B 的和、差、积（或其逆）与事件 C 或 必相互独立，因此选项A、C、D 均被排除，选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意得，f（x）关于 x=故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 X N（， 2）
9、，其密度函数 f（x ）= ，故曲线拐点在(, )，故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 x B（1， ），x 取值只能是 X=0 或 X=1，将 X=0 和 X=1 看成完备事件组，用全概率公式有故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 F Z（z ）=P max（X，Y）z=PXz，Yz =PXzPYz=FX（z）F y（z）， 故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 A【试题解析】 因 X 服从参数为 的泊松分布，故 E（X ）= ，D （X ）=。则 E（X1）（X2）=E（X
10、 23X +2）=E （X 2） 3E（X） +2 ， 其中 E（X 2）=D（X）+E （X） 2=+2， 代入得 22+1=0，故 =1。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 | |=0 1122=1221 D（X 1）D（X 2） =Cov 2（X 1，X 2）选择 D。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】 + a（X 1X2+X3X4）则n+a=3，选 C。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A：所取的两件产品中至少有一件是不合格品。事件 B:所取的两件都是不合格品。因为 P（A）=1且
11、 P（A ）P（B），所以【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 （1a）（1b）【试题解析】 所求的概率为 已知“事件 C 发生必导致 A、B 同时发生”，显然是用于化简 的。已知又因为 A 与 B 独立，故所求的概率为【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 由于 1=+f（x）dx= 12 Axdx+ 23Bdx= +B，又 P1X 2=P2X3，即 12Axdx=23Bdx，【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 e ；1 +e【试题解析】 已知 Xf（x）= 所求的概率为 PX+Y=0=PY=一X=P|X|1=PX 1+PX 1= 1 exd
12、x=e。根据全概率公式，可得【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 因为 1， 2， 3 线性无关，所以“ 1+2， 2+23，X 3+Y1 线性相关” =X+2Y=0”，故所求的概率为 PX +2Y=0=PX +2Y=0，Y=PX=1，Y=【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 4【试题解析】 E（X）= +xf（x）dx= 01x2xdx= E（Y）= +yg（y）dy=5+ye （y5） dy=6，又由于 X 和 Y 相互独立，故 E（XY）=E（X）E（Y）=4。【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 根据题意，即求 E（X 2
13、）。首先对所给概率密度作变换：对于 x（一x+ ），有 由此可知随机变量X 服从正态分布，从而 E（X）= 于是 E（X 2）=D（X ） + E2X=【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 根据切比雪夫不等式，有【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 根据题意 XiN （0，2 2）且相互独立，所以 X12X2N （0，20），3X34X4N（0，100），故 且它们相互独立，根据 2 分布典型模式及性质知 （3X 34X4）2 2（2），所以 Y 2（2），所以自由度为 2。【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 因为
14、 E（X）=0，不能用一阶矩来估计。E（X 2）=D（X ）+E 2（X ）= 样本二阶矩为【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 （1）放回抽样的情况，显然有 P（B）= （2）不放回抽样的情况，每人取一只球，每种取法是一个基本事件，共有（a+b）（a +b1）（a+bk+1）=A a+bk 个基本事件，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同。当事件 B 发生时，第 i 人取的应该是白球，它可以是 a 只白球中的任一只，有 a 种取法。其余被取的 k1 只球可以是其余 a+b1 只球中的任意 k1 只，共有（a+b1）（a+b2）
15、a+b1（k1）+1=A a+b1k1 种取法，于是事件 B包含 aAa+b1k1 个基本事件，故【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 1= +=0aexdx+02 0=E（X ）= +xf（x）dx=axexdx+02 解方程组【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 根据分布函数的定义，有 FY（y）=PYy=Pe Xy=于是当 y1 的时候，满足 FY（y）=PXlny= 0lnyexdx。因此所求概率密度函数为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 由于（X，Y）是二维离散随机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联合分布；应用解题一般模式，即可求得 Z 及（
16、 X，Z）的分布，进而判断X、Z 是否独立。由题设知 的 01分布；所以（X，Z）的联合概率分布为因PX=i，Z=j= =PX=iPZ=j（i，j=0 ，1），故 X 与 Z 独立。【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 根据概率密度的性质 +f（x，y）dxdy=1，可知（ +Ae2x2+2xyy2dxdy=A+ex2dx+e（xy） 2 dy=1，【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 区域 G 如图 336 所示：可知区域 G 是菱形，其面积为 1。故【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 X 可能的取值是 1，2，3，其中【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 令 q=1p，所以 X 的概率分布为 PX=k=qk1p（k=1 ，2，），故 X 的数学期望为【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 E（X）= 所以 p 的矩估计量【知识模块】 概率论与数理统计
