1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 28 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A、B 为两个随机事件，且 B A，则下列式子正确的是（ ）（A）P(A+B)=P(A)（B） P(AB)=P(A)（C） P（B|A）=P（B）（D）P（BA）=P （B ）P（A）2 设事件 A、B、C 满足 P（ABC）0，则 P（AB|C）=P（A|C）P（B|C ）的充要条件（A）P（A|C）=P （A）（B） P（B|C）=P（B）（C） P（AB|C）=P（AB）（D）P（B|AC）=P（B|C）3 连续抛掷一枚硬币，第 k（kn）次正面向上在第 n 次
2、抛掷时出现的概率为（ ）4 设函数 F（ x）= 则 F（x）（ ）（A）不是任何随机变量的分布函数（B）是某连续型随机变量的分布函数（C）是某随机变量的分布函数（D）无法确定5 设随机变量 XN（0，1），其分布函数为 （x），则随机变量 Y=minX，0的分布函数为（ ）6 设随机变量 Xi （i=1 ，2）且满足 PX1X2=0=1，则 PX1=X2等于（ ）（A）0（B）（C）（D）17 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N（0，1）和 N（1，1），则（ ）8 设随机变量 X1，X 2，X n（n1）独立同分布，且方差 20，记的相关系数为（ ）（A）1（B）
3、0（C）（D）19 已知随机变量 X 与 Y 的相关系数为 且 0，Z=aX +b，则 Y 与 Z 的相关系数仍为 的充要条件是（ ）（A）a=1 ，b 为任意实数（B） a0，b 为任意实数（C） a0，b 为任意实数（D）a0 ，b 为任意实数10 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且D（X i）=1 ，i=1 ，2，n，则对任意 80，根据切比雪夫不等式直接可得（ ）11 设总体 X 服从正态分布 N（0， 2）， ，S 2 分别为容量是 n 的样本的均值和方差，则可以作出服从自由度为 n1 的 t 分布的随机变量是（ ）二、填空题12 10 个同规格
4、的零件中混入 3 个次品，现在进行逐个检查，则查完 5 个零件时正好查出 3 个次品的概率为_。13 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1和 2，现从由 A 和 B 的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 A 厂生产的概率是_。14 设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，而（0kn）=_。15 已知随机变量 YN（， 2），且方程 x2+x+Y=0 有实根的概率为 ，则未知参数 =_。16 设平面区域 D 由曲线 y= 及直线 y=0，x=1，x=e 2 所围成，二维随机变量（X，Y）在区域 D 上服从均匀分布，则（X，Y）关
5、于 X 的边缘概率密度在 x=2处的值为_。17 已知随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，且都服从标准正态分布，Y1=X1，Y 2=X2 ，则 Y1Y2 服从_ 分布，参数为_。18 设随机变量 X1 的分布函数为 F1（x），概率密度函数为 f1（x），且 E（X 1）=1，随机变量 X 的分布函数为 F（x）=04F 1（x）+06F 1（2x+1），则 E（X ）=_。19 已知随机变量 XN（2，9），Y 服从参数为 05 的指数分布，且 XY=025，则 D（2X3Y）=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设有两箱同类零件，第一箱内装 5 件，其中 1
6、件是一等品，第二箱内装 5 件，其中 2 件是一等品，现在从两箱中随机挑一箱，然后从该箱中先后不放回地随机取出 2 件零件。求：（）先取出的零件是一等品的概率；（）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率。21 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 。设 X 为途中遇到红灯的次数，求随机变量 X的分布律、分布函数和数学期望。22 编号为 1，2，3 的三个球随意放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，每盒仅放一个球，令 求（X 1，X 2）的联合分布。23 设以 X 表示某一推销员一天花费在汽油上的款项（以美
7、元计），以 Y 表示推销员一天所得的补贴（以美元计），已知 X 和 Y 的联合概率密度为 （）求边缘概率密度 fX（x ），f Y（y）； （）求条件概率密度 fY|X（y|x），f X|Y（x|y ）； （）求 x=12 时 Y 的条件概率密度； （）求条件概率 Py8|X=12。24 假设随机变量 X 与 Y 相互独立，如果 X 服从标准正态分布，Y 的概率分布为Py=1= 求：（）Z=XY 的概率密度 fZ（z ）；（）V=|XY|的概率密度 fV（）。25 设随机变量 X 和 Y 的概率分布分别为P（X 2=Y2）=1。（ ）求二维随机变量（X，Y）的概率分布；（）求 Z=XY 的概率
8、分布；（）求 X 与 Y 的相关系数 XY。26 已知总体 X 的数学期望 E（X）=，方差 D（X）= 2，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 容量为 2n 的简单随机样本，样本均值为求 E（Y）。27 设总体 X 的概率密度为 是样本均值。求参数 的矩估计量 。考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 28 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 如图 311 所示，可见 A+B=AB=A，AB=AB=B，BA= ，于是 P（A+B ）=P （A），P（AB）=P（B），P （BA ）=P（ ）=0，故选项 A 正确。C
9、选项只有当 P（A）=1 时才成立。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 P（AB|C）=P（A|C ）P（B|C），只在 C 发生的条件下，A 与 B独立，所以“在 C 发生的条件下，A 发生与否不影响 B 发生的概率”，即P（B|AC）=P（B|C），故选 D。选项 A、B、C 分别是 A 与 C、B 与 C、AB 与C 独立的充要条件。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 依据题意，总共抛掷 n 次，其中有 k 次出现正面，余下的为 nk 次反面。第 n 次必是正面向上，前 n1 次中有 nk 次反面，k1 次正面（如上图所示）。根据伯
10、努利公式，所以概率为【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 由函数 F（x）的表达式可知，F（x）是单调非减的；F（x）是有界的；F（x）是右连续的（主要在 x=0 和 x=2 这两点处），即 F（x）满足分布函数的三条基本性质，所以 F（x）一定是某个随机变量的分布函数。此外，因连续型随机变量的分布函数必为连续函数，而 F（x）在 x=2 处不连续，所以 F（x）不是连续型随机变量的分布函数，故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 F（y）=PYy=Pmin（X，0） y=1P min（X，0）y=1PXy，0y 。当 y0
11、时，PXy，0y=PXy ，F（y）=1 一 PXy=PXy=（y）。当 y0 时，PXy，0y=0，F（y）=1，故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 由 PX1X2=0=1 得知，PX 1X20=0。于是根据 X1，X 2 的分布律，有 PX1=1，X 2=1=0，PX 1=1，X 2=1=0PX 1=1，X 2=1=0， PX1=1，X 2=1=0。再根据联合分布律与边缘分布律的性质及其关系可得（X 1，X 2）的联合分布律如下表。由上表显然可见，X 1=X2 有三种情况，每种情况的概率均为 0，因此 PX1=X2=0，故选项 A正确。【知识模
12、块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 由于 XN（0，1）与 YN（1，1）以及 X 与 Y 相互独立，得 X +YN（1，2），XYN（1，2）。因为，若 ZN（， ， 2），则必有PZ= 比较四个选项，只有选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Xi 独立同分布，所以 D（X i）=2， ，Cov（X 1，X i）=0（i1） ，故选项 B 正确。 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 B【试题解析】 直接计算 Y 与 Z 的相关系数来确定正确选项。由于 Cov（Y，Z）=Cov（ Y，aX+b）=aCov（X，Y）
13、，D（Z）=D（aX+b）=a 2D（X），所以选择 B。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】 由题意知 E（X i）=0，i=1，2，n 。记根据切比雪夫不等式，有故选 C。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 A【试题解析】 根据题设知，X iN （0， 2），故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 记 A=“查完 5 个零件正好查出 3 个次品”，现要求的是 P（A）的值。事实上，事件 A 由两个事件合成：B=“前 4 次检查，查出 2 个次品”和 C=“第 5 次检查，查出的零件为次品”，即 A
14、=BC，由乘法公式 P（A ）=P（BC ）=P（B）P（C|B），事件 B 是前 4 次检查中有 2 个正品 2 个次品所组合，所以 P（B）=已知事件 B 发生的条件下，即已检查了 2 正 2 次，剩下 6 个零件，其中 5 正 1 次，再要抽检一个恰是次品的概率 P（ C|B）=【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A=抽到的产品为工厂 A 生产的，事件 B=抽到的产品为工厂 B 生产的 ，事件 C=抽到的产品是次品，则 P（A）=06，P（B）=0 4， P（C|A）=0 01，P（C|B）=002，根据贝叶斯公式可知【知识模块】 概率论与数理统计14
15、 【正确答案】 【试题解析】 因为 X1 Xi 是一次伯努利试验结果，X i 相互独立。所以X1+X2+Xn 可以看成 n 次独立重复试验。即【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 已知 YN（， 2），且 P方程有实根=P14Y0=【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 区域 D 的面积为【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 正态；【试题解析】 Y 1Y2=X1X2+ 所以Y1Y2 为多个相互独立正态变量和，且服从正态分布。又 E（Y 1Y2）=0， D（Y 1Y2）= 故 Y1Y2【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】
16、04【试题解析】 已知随机变量 X1 的分布函数为 F1（x），概率密度函数为 f1（x），可以验证 F1（2x +1）为分布函数，记其对应的随机变量为 X2，其中 X2 为随机变量 X1 的函数，且 X2= 记随机变量 X2 的分布函数为 F2（x）。概率密度函数为 f2（ x），所以 X 的分布函数为 F（x）=04F 1（x） +0 6F 2（x）两边同时对x 求导得 f（x）=04f 1（x）+06f 2（x），于是 +xf（x）dx=0 4 +xf（x）dx+06 +xf2（x）dx ，即 E（X） =04E（X 1）+ 06E（X 2） =0 4E（X 1） + =04。【知识模块
17、】 概率论与数理统计19 【正确答案】 90【试题解析】 D（2X3Y）=4D（X）+9D（Y）2Cov （2X ，3Y）=4D（X ） + 9D（Y）12 XY 其中 D（X）=9，D（Y）=4，代入得 D（2X 3Y）=90 。【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 设 Hi 表示“ 被挑出的是第 i 箱”，i=1，2，则 H1，H 2 为完备事件组。A 表示“先取的一件是一等品” ，B 表示“ 在同一箱中取的第二件是一等品”。（）由全概率公式得：P （A ）=P （H 1）P（A|H 1）+ P（H 2）P （A| H 2）（）
18、P（B|A）表示的是“在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率”。由条件概率和全概率公式可得【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 根据题意 X 服从二项分布 因此 X 的分布律为因此，X 的分布函数为X 的数学期望是 E（X）=【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 先求出 Xi 的分布，而后再求得联合分布的部分值，从而求得联合分布。如果将 3 个数的任一排列作为一个基本事件，则基本事件总数为3!=6，PX 1=1=P1 号球落入 1 号盒=又 PX1=1，X 2=1=P1 号球落入 1 号盒，2 号球落入 2 号盒= ，依次可求得（X 1，X 2
19、）的联合分布为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 （）如图 335 所示（）（1）当 10x20 时，f X（x）0，条件概率密度 fY|X（y|x）存在。（2）当 10x20 时，有 （3）当5y10 或 10y20，f Y（y）0 ，f X，Y （x|y）存在。当 5y10 时，fX|Y（x|y）是单个自变量 x 的函数，y 是一个固定值。（ ）当 x=12 时 Y 的条件概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 （）根据题意 PY=一 1= ， PY=1= ，X N （0，1）且X 与 Y 相互独立，所以 Z=XY 的分布函数为 FZ（z）=PXYz=PY
20、= 1PXYz|Y=1 +PY=1PXYz|Y=1=PY=一 1PXz|Y=1 +PY=1PXz|Y=1=PY=一 1PX一 z+PY=1PXz即 Z=XY 服从标准正态分布，所以其概率密度为 fZ（z）=（z）= （）由于 V=|XY|只取非负值，因此当 0 时，其分布函数 FV（ ）=P|XY|=0；当 0 时，FV（）=PXY=PY= 一 1PXY|Y=1+PY=1PXY|Y=1由于 FV（）是连续函数，且除个别点外，导数都是存在的，所以 V 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 （）由于 P（X 2=Y2）=1，因此 P（X 2Y2）=0。故P（X=0，Y=1）
21、=0，可知 P（X=1，Y=1）=P（X=1，Y=1 ）+P （X=0 ，Y=1）=P（Y=1）= 。再由 P（X=1，Y=0 ）=0 可知 P（X=0，Y=0）=P（X=1，Y=0）+P（X=0，Y=0）=P（Y=0）= 。同理，由 P（X=0Y=1）=0 可知P（X=1，Y=一 1）=P（X=1，Y= 1） +P （X=0 ，Y=一 1）=P（Y=一 1）= 。这样，就可以写出（X，Y）的联合分布如下：（）Z=XY 可能的取值有1，0，1。其中 P（z= 一 1）=P（x=1，y=一 1）= ，P（z=1）=P（x=1，Y=1）= ,则有 P（Z=0 ）= 。因此，Z=XY 的分布律为（）E（X ）=，E（Y ）=0，E（XY）=0，CoV（X，Y）=E（XY）一 E（x）E （Y ）=0，所以【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 因为总体分布未知，将 Y 化简，根据数字特征性质计算 E（Y）。因为=2n2+ 2n2+ 2n2224n2=2（n1） 2。【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计
