1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 29 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 对事件 A，B，已知 0P(A)1，P(B)0，P(BA)P(B )则： 【 】（A）P(AB)P( B)（B） P(AB)P( B)（C） P(AB)P(A)P(B)（D）P(AB)P(A)P(B)2 设 X 与 Y 独立且 XN(0，1)，YN(1 ，1)，则 【 】（A）PXY0（B） PX Y1（C） PX Y0（D）PXY1二、填空题3 对事件 A，B，已知 则 P(A)_，P(B) _4 对事件 A、B，已知 P( B)075，P( )08，P(B)03，则
2、P(A)_，P(AB)_，P( )_，P(AB)_，P(B A)_，P(A )_5 从 6 双不同的手套中任取 4 只，求(1)恰有一双配对的概率为_；(2)至少有 2 只可配成一双的概率为_6 某城市共有 N 辆汽车，车牌号码从 1 到 N有一人将他所遇到的该城市的 n 辆汽车的车牌号码(可能有重复的号码)全部抄下来，假设每辆汽车被遇到的机会相同，求抄到的最大号码正好是 k(1kN)的概率为_ 7 对目标进行三次独立炮击第一次命中率为 04，第二次命中率为 05，第三次命中率为 07目标中一弹而被击毁的概率为 02，中两弹被击毁的概率为06，中三弹被击毁的概率为 08(1)求目标被击毁的概率
3、_；(2)已知目标被击毁，求目标中两弹的概率_8 在随机地抛掷两枚均匀骰子的独立重复试验中，求两枚骰子点数和为 5 的结果出现在它们的点数和为 7 的结果之前的概率为_9 设两两独立的三事件 A，B，C 满足条件：ABC ，P(A)P(B)P(C) ，P(ABC) 则 P(A)_10 设在 3 次独立试验中，事件 A 出现的概率均相等且 A 至少出现一次的概率为，则在 1 次试验中，A 出现的概率为_ 11 设甲、乙两人独立地射击同一目标，其命中率分别为 06 和 05则已命中的目标是被甲射中的概率为_12 乒乓球比赛采用 5 局 3 胜制，甲、乙两人在比赛中，各局甲胜的概率为 06，且前 2
4、 局皆为甲胜求甲最终赢得比赛胜利的概率为_13 设袋中有 7 红 6 白 13 个球，现从中随机取 5 个球，分不放回和放回两种情形下，写出这 5 个球为 3 红 2 白的概率_；_(写出计算式即可)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 A，B，C 为事件，用它们来表示下列事件：(1)仅 A 发生；(2)A，B ，C 不都发生；(3)A，B ，C 都不发生；(4)A，B ，C 恰一个发生15 一袋中装有 N1 只黑球及 1 只白球，每次从袋中随机地取出一球，并换入一只黑球，这样继续下去、问第 k 次取出的是黑球的概率是多少?16 将 n 个同样的盒子和 n 只同样的小球分
5、别编号为 1，2，n把这 n 只小球随机地投入 n 个盒子中，每个盒子中投入一只小球问至少有一只小球的编号与盒子的编号相同的概率是多少?17 设 X 和 Y 独立同分布，且均服从区间(0，1)上的均匀分布，求 的分布函数 F(u)18 设区域 D1 为以(0，0) ， (1，1) ，(0， )，( ，1)为顶点的四边形，D 2 为以(，0) ，(1，0)，(1， )为顶点的三角形，而 D 由 D1 与 D2 合并而成随机变量(X ， Y)在 D 上服从均匀分布，求关于 X、Y 的边缘密度 fX()、f Y(y)19 设 X 与 Y 独立同分布，P(X1)P(0，1)，P(X0)1P ，令 问
6、P 取何值时，X 与 Z 独立?(约定：0 为偶数)20 设随机变量 X，Y，Z 相互独立，都服从指数分布，参数分别为 1， 2， 3(均为正)，求 PXmin(X，Y ，Z)21 设随机变量(X，Y) 的概率密度为 问 X 与 Y 是否独立?X与Y 是否独立?22 函数 F(，y) 是否是某个二维随机变量(X，Y) 的分布函数?23 设 XN(0，1) ，当给定 X 时，YN(，1 2)，(01)求(X，Y) 的分布以及给定 Yy 时，X 的条件分布24 证明：(1)若随机变量 X 只取一个值 a，则 X 与任一随机变量 Y 独立；(2)若随机变量 X 与自己独立，则存在 C，使得 P(XC
7、) 125 设(X，Y)的分布函数为： F(，y) A(Barctan )(Carctan )，y 求：(1)常数 A，B ，C； (2)(X ， Y)的密度； (3)关于 X、Y 的边缘密度26 设 X 的密度为 f() ， 求：(1)常数 C 和 X 的分布函数 F()； (2)P(0X1)及 Ye X 的密度 fY(y)27 某种产品的次品率为 01，检验员每天独立地检验 6 次，每次有放回地取 10件产品进行检验，若发现其中有次品，则作一次记录(否则不记录)设 X 为一天中作记录的次数，写出 X 的分布列28 设 X 与 Y 独立且 XN(， 2)，Y 服从区间 ，上的均匀分布，求ZX
8、 Y 的密度 fZ(z)29 甲袋中有 2 个白球，乙袋中有 2 个黑球，每次从各袋中分别任取一球交换放入对方袋中，共交换 3 次记 X 为经过 3 次交换后甲袋中的白球数，求 X 的分布列30 设 X 服从参数为 1 的指数分布，求 ye 的密度 fY(y)31 设随机变量 X 的密度为 f() ， ，求 Emin(1，X )32 已知随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从2，4上的均匀分布 YN(2，16)求cov(2XXY，(Y1) 2)考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 29 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】
9、 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题3 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 02；045；045；025；01；09【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 043；0572093023【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】
10、 0936【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 记 A第 i 次取得黑球 ，i1，2，k，则 A1A2Ak-1，故 A 1A2Ak-1 ， P( )P(A 1A2Ak-1 )P( A 1Ak-1)P(Ak-1A 1Ak-2)P(A2A 1)P(A1) ， 得 P(Ak)【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 记 Aii 号小球投入到 i 号盒中 )，i1，2，n则 所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】
11、由题意，(X，Y)的概率密度为 则 F(u)P(u) P( u) u0 时，F(u)0； u0 时，F(u)1； 0u 时， 其中 G 见图 1 中阴影部分： 其中 D 见图 2 中阴影部分【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 易算得 D1 的面积为 ，D 2 的面积为 ，故 D 的面积为 ，(X，Y)的概率密度为 fx() f(，y)dy 当 0 或 1 时，f x()0； 当 0 时，f x() 1； 当 1 时，f x() 12dy1 而fY(y) f(，y)d 当 y0 或 y1 时，f Y(y)0； 当 0y 时，f Y(y) 1； 当 y1 时，f Y(y) 1 故【知
12、识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 P(Z0)P(XY1)P(X0， Y1)P(X1，Y 0)2p(1 p) P(Z1)P(XY0) P(X+Y1)P(X0，Y 0)P(X1，Y1)(1p) 2P 2 而 P(X0，Z0)P(X0，Y1)P(X0)P(Y1)p(1p) 如果 P(X0，Z0) P(X 0)P(Z0)，则须 p(1p)(1p).2p(1 p) 解得 p 不难验算出，p 时，P(X0，Z1)P(X0)P(Z1) ，P(X1，Z0)P(X1)P(Z0) ，P(X1，Z 1)P(X1)P(Z1) 故知当且仅当 P 时，X 与 Z 独立【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确
13、答案】 由已知可得：(X，Y，Z)的概率密度为 PXmin(X，Y，Z)PXY ，XZ f(，y，z)ddydz 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 关于 X 的边缘密度为 fx() f(，y)dy 若1，则fx()0；若 1，则 fx() 关于 Y 的边缘密度为 fY(y) f(，y)d 若y1，则 fY(y)0；若y1，则 fY(y) 即 X 与 Y 不独立 而(X，Y) 的分布函数为 F(，y) PX ，yy 当 0 或y0 时，F(，y)0； 当 0，y0 时，F(，y) P X，yYy duy yf(u，v)dv 当 1，y1 时，F(，y) 1； 当 01 ，y1 时
14、，F(，y) ； 当 1，0y1 时，F(，y) y； 当01，0 y1 时，F( ，y) y 于是，关于X的(边缘)分布函数为： 而关于y的(边缘)分布函数为： 可见 FX ().FY (y)F(， y) (，y) R2，即X与Y相互独立【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 令 ac0，bd2，则 ab，cd，但 F(b，d)F(a，d) F(b，c) F(a，c)11 1010，可见 F(，y)不是随机变量的分布函数【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由题意，X 的概率密度为 () ，而已知 X 条件下，Y的条件概率密度为 fYX (y) ，故(X，Y)的概率密度
15、为 f(，y)()fY X(y) ， 可见(X，Y)服从二维正态分布，且EXEY0， DXDY1，(X ，Y)的相关系数为 ，故 YN(0，1)，Y 的概率密度为 (y)，故 Yy 的条件下 X 的条件概率密度为 f XY (y) ，yR 1，XR 1【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 (1)a 时，P(X)0，故 P(X，Yy) P(X)P(Yy)0；a 时，P(X) 1，故 P(X，Yy)P(Yy)P(X)P(Yy) yR1 即(，y) R2，有 P(X，Yy)P(X)P(Yy)，即 X 与 Y 独立； (2)由已知得：(，y) R2，有 P(X，Yy)P(X)P(Yy)，记
16、 X 的分布函数为 F()，则F()P(X) 前式中令 y 即得 F()F() 2，可见 F()只能取 0 或 1，又由F()0，F()1，知必存在 C(常数)，使得 故 PXC1【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 (1)0 F( ，y) ， yR1，0F(，)A(Barctan )(C )， R1，1F(，) 上边 3 式联立可解得 ； (2)(X，Y)的概率密度为 f( ，y) ，(，y)R 2 (3)关于 X 的边缘分布函数为 Fx()F( ，) ， R1，关于 Y 的边缘分布函数为 FY(y)F(，y) ，yR 1，故关于 X 的边缘概率密度为 fx()F x() ，R
17、1 关于 Y 的边缘概率密度为 fY(y)F Y(y) ，yR 1【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 Y 的分布函数为 FY(y)PYyPe -X y 显然，y0 时，FY(y)0，y1 时，F Y(y)1，这时 fY(y)F Y(y)0；当 0y1 时，F Y(y)p X lnyP X lny1PlnyXIny1 lny-lnyf()d， 则fY(y)F Y(y) ， 注意到 f()是一偶函数，故 即 fY【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 设检验员取出的 10 件产品中有 Y 件次品，则 YB(10，01)(即 Y 服从参数为(10 ，0 1)的二项分布) ，而
18、 X B(6，P) ，其中 pp(Y 11PY0PY11C 100.01 0.09 100 C 101.01 1.09 101 02639，故 P(Xk)C 6k02639 k07361 6-k，k0，1，2，6【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 由题意，X 的概率密度为 fx() ，Y 的概率密度为 故作代换： t(这是 y 与 t 的变换)， 则【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 X 可能取的值是 0，1，2 这三个值记 Ai经过 2 次交换后，甲袋中有 i 个白球，i0 ，1，2则 P(X0A 0)0， P(X0A 1) ， P(X0A 2)0， P(X1A
19、0)1， P(X1A 1) ， P(X1A 2)1， P(X2A 0)0， P(X2A 1) ， P(X2A 2)0 故 P(X0)P(X0A I)P(Ai) ，P(X1) P(X1A 1)P(Ai) ， P(X2) P(X2A i)P(Ai) ， 即 X 的分布列为【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 X 的概率密度为：f x() Y 的分布函数为：F y(y)P(Yy)Pe Xy 若 FY0， 则 FY(y)0，则 fY(y)F Y(y)0； 若 y0， 则 FY(y)PXlnyIny lnyfx()d， 则 故知【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 【知识模块】
20、概率论与数理统计32 【正确答案】 cov(2XXY，(Y 1) 2)cov(2XXY，Y 22Y 1) cov(XY，Y 22Y) cov(XY，Y 2)2cov(XY，Y) E(XY 3)E(XY)E(Y 2)2E(XY 2)E(XY)EY EXEY3EXEYEY 22EXE(Y 2)EX(EY) 2， EX3 ，EY 2，E(Y 2) DY(EY) 2162 220， 而 N(0 ，1)， 所以Y42， 注意 E0，E( 2)D(E) 21， E( 3) 0， E(Y 3)E(4 2) 364E() 96E()48E 8 6409614808104， 代回得cov(2XXY，(Y1) 2)96【知识模块】 概率论与数理统计
