1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 35 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 f(x，y)= 则( ) 2 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且均服从(0，1)上的均匀分布，则下列随机变量中仍服从某区间上均匀分布的是( )（A）XY（B） X+Y（C） X2（D）2X3 设二维随机变量(X，Y)在椭圆 1 上服从均匀分布，则( )（A）X 服从一 a，a上的均匀分布（B） X 与 Y 不相关（C） y 服从一 b，b上的均匀分布（D）X 和 Y 相互独立4 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且均服从两点分布
2、： (p+q=1)，则下列随机变量服从二项分布的是( )（A）X+Y（B） XY（C） +1（D） 一 15 设随机变量 X1，X 2，相互独立且同服从参数为 的指数分布，其中 (x)=，则( ) 6 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值，C 为任意常数，则( ) 7 设 Fn(x)是经验分布函数，基于来自总体 X 的容量为 n 的简单随机样本，F(x)是总体 X 的分布函数，则下列命题错误的为：F n(x)对于每个给定的 x，( )（A）是一分布函数（B）依概率收敛于 F(x)（C）是一个统计量（D）其数学期望是 F(x)8 设 X1，X 2，X n 是来自
3、标准正态总体的简单随机样本， 和 S 相应为样本均值和样本标准差，则( ) （A） 服从标准正态分布（B） Xi2 服从自由度为 n1 的 2 分布（C） 服从标准正态分布（D）(n 1)S2 服从自由度为 n1 的 2 分布9 设总体 X 的概率密度函数为 f(x)，而 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X (1)，X (1/2)和 X(n)相应为 X1，X 2，X n 的最小观测值、中位数和最大观测值，则( ) （A）X 1 的概率密度为 f(x)（B） X(1)的概率密度为 f(x)（C） X(1/2)的概率密度为 f(x)（D）X (n)的概率密度为 f(x)10
4、设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，E(X)未知， 是样本均值，则下列样本的函数中不是统计量的为( )（A）minX 1，X 2，X n（B） maxX1，X 2，X n（C） X1 一 E(X1)（D）X n 一二、填空题11 已知随机变量 X 和 Y 的分布律为 而且P(XY)= ，则 X 与 Y 的相关系数为 _12 设随机变量 X 数学期望 E(X)=11，方差 D(X)=9，则根据契比雪夫不等式估计P5X17_13 设 X1，X 2，X n 是 n 个相互独立的随机变量，且 E(Xi)=，D(X i)=4，i=1，2， ，n，对于+2_三、解答题解答应写出文字说
5、明、证明过程或演算步骤。14 (1)试求X 和 Y 的联合分布律；(2)X 与 Y 是否相互独立?(3)计算协方差 Cov(2X+2 005，Y一 2 008)15 已知随机变量 X 和 Y 独立，X 的概率分布和 Y 的概率密度相应为试求随机变量 Z=X+Y 的概率分布16 设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0x1，x 2 )上服从均匀分布令 (1)写出(X，Y) 的概率密度 f(x，y) ； (2)问 U 与 X 是否相互独立?并说明理由； (3)求 Z=U+X 分布函数 F(x)17 设随机变量 X 和 Y 相互独立，都服从区间(0，a)上的均匀分布，求 Z=XY 的概率密度
6、 g(x)18 设随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率密度为求随机变量 Z=XY的概率密度 g(x)19 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从(一 1，1)上的均匀分布(1)试求 X 和 Y 的联合分布函数；(2)试求 Z=X+Y 的密度函数20 设某个系统由 5 个相同的元件按如图 31 所示的方式联接而成，各元件的工作状态相互独立，而且每个元件的正常工作时间服从参数为 0 的指数分布，试求系统正常工作时间 T 的概率分布21 设(X，Y)服从区域 D=(x，y)1x1，0y1上的均匀分布，试求 Z= 的概率密度22 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，随机变量 Yk= k=1，
7、2令U=Y1+Y2，V=Y 1Y2，试求 U 与 V 的联合分布律23 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 求方差 D(X)和D(X2)24 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)= 25 保险公司设置一险种为：每份保单有效期为一年，有效理赔一次；每份保费500 元，理赔金额为 2 万元统计资料表明，每份保单索赔的概率为 0005假设总共卖出此种保单 800 份，试求公司的期望利润26 假设 X=sinZ，Y=cosZ，其中 Z 在区间一 ，上均匀分布，求随机变量 X 和Y 的相关系数 试说明 X 和 Y 是否独立27 假设 D=(x，y) 0x2，0y1，随机变量 X 和 Y 的联合分
8、布是区域 D 上的均匀分布考虑随机变量 (1)求 X 和Y 的相关系数 ；(2) 求 U 和 V 的相关系数 28 设随机变量 X 与 Y 分别表示将一枚骰子接连抛两次后出现的点数试求齐次方程组： 的解空间的维数(即基础解系所含向量的个数)的数学期望和方差29 每次从 1，2，3，4，5 中任取一个数，且取后放回，用 bi 表示第 i 次取出的数(i=1，2，3)三维列向量 b=(b1，b 2， b 3)T，三阶方阵 A= ，求线性方程组 Ax=b 有解的概率考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 35 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
9、C【试题解析】 E(X)= +xf(x，y)dxdy= 0101x(x+y)dxdy 【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 易求得 2X 服从(0，2)上的均匀分布故选 D【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 根据定积分、重积分的对称性易得 E(X)=0，E(Y)=0，E(XY)=0 ，从而 Cov(X，Y)=E(XY) 一 E(X)E(Y)=0，即 X 与 Y 不相关故选 B【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 由 4 个选项中的 4 个随机变量的可能取值即知(C)为正确答案 事实上， +1，有 P(Z=0)=P(
10、X=一1，Y= 一 1)=P(X=一 1)P(Y=一 1) =(1 一 p)2， P(Z=1)=P(X=一 1，Y=1)+P(X=1，Y=一 1) =2p(1 一 p)， P(Z=2)=P(X=1 ，Y=1)=p 2故 ZB(2，p) 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 故选 A【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 A【试题解析】 经验分布函数 Fn(x)是样本的函数，对给定的 x，具有随机变量的属性故选 A【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 根据正
11、态总体下样本的性质即知(D)为正确答案事实上，N(0，n)故选 D【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 由简单随机样本的定义可知 X1 与总体 X 同分布故选 A【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】 E(X 1)=E(X)未知，故 X1 一 E(X1)中含有未知参数，从而不是统计量，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 一 【试题解析】 由 P(X=Y)=P(X=0，Y=0)+P(X=1，Y=1)以及边缘分布律与联合分布律的关系有【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 P(5 X17)=
12、P(511X111711)=P(6X E(X)6)=P(XE(X) )61【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 1 【试题解析】 因为【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 由于 P(X=一 1，Y=一 1)P(X=一 1)P(Y=一 1)，故 X 与 Y 不独立(3)Cov(2X+2005，Y 一2008)=2Cov(X，Y)=2E(XY) 一 E(X)E(Y)，【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 Z 的分布函数为 FZ(z)=P(Zz)=P(X+Yz) =P(X+Yz，X=0)+P(X+Yz， X=1)
13、=P(Yz，X=0)+P(Yz 一 1，X=1) =P(Yz)P(X=0)+P(Yz 1)P(X=1)【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 (1)易得区域 D 的面积因(X，Y) 为服从区域 D 上的均匀分布所以(X，Y) 的联合概率密度为(3)因为U+Xz=U+Xz，U=0)U+Xz，U=1，于是，Z=U+X 的分布函数为 F(z)=PU+Xz=PU+Xz，U=0+PU+Xz ，U=1 =PXz，U=0)+PXz 一1，U=1 =PXz，XY)+PXz 一 1，XY 下面分别计算上式中的两项概率 (1)当 z0 时，PXz，XY=0， (2)当 0z1 时，【知识模块】 概率论与
14、数理统计17 【正确答案】 如图 37 所示，X 与 Y 的联合密度为【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 X 与 Y 的联合密度为【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 (1)因为【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设 Ti 表示第 i 个元件的正常工作时间，i=1 ，2，5，则 Ti 的分布函数为 且 T1，T 2，T 5 相互独立 由全概率公式得 T 的分布函数为 F T(t)=P(Tt) =P(TtT 3t)P(T3t)+P(TtT 3t)P(T 3t) =P(T1t)(T2t)(T4t)(T5t)P(T3t) +P(T1t)(T4t)(T2t)(T
15、5t)P(T3t) =【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 U 的可能取值为 0，1，2，且 P(U=0)=P(Y 1+Y2=0)=P(Y1=0，Y 2=0) =P(X1，X2)=P(X1) =F(1)， P(U=1)=P(Y)+Y 2=1) =P(Y1=0，Y 2=1)+P(Y1=1，Y 2=0) =P(X1，X 2)+P(X 1，X2) =P(1X2)=F(2)一 F(1)， P(U=2)=P(Y 1+Y2=2)=P(Y1=1，Y 2=1) =P(X1，X2)=P(X2) =1 一F(2)另外， P(U=0 ，V=1)=P(Y
16、1+Y2=0，Y 1Y2=1)=0， P(U=1，V=1)=P(Y1+Y2=1，Y 1Y2=1)=0， P(U=2 ，V=0)=P(Y 1+Y2=2，Y 1Y2=0)=0再由联合分布律与边缘分布律的关系即得【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 E(x)= +xf(x)dx=10x(1+x)dx+01x(1 一 x)dx=0， E(X 2)=10x2(1+x)dx+01x2(1 一 x)dx= ，从而 D(X)=E(X 2)一 E2(X)= 又 D(X 3)=E(X6)一E2(X3)， E(X 3)=10x3(1+x)dx+01x3(1 一 x)dx=0， E(X 6)=10x6(1
17、+x)dx+01x6(1x)dx= ，故 D(X3)=E(X6)一 E2(X3)= 【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 易知 X 为离散型随机变量，其所有可能取值为 F(x)的间断点，即一 1，0，1，且 X 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 设 X 表示需要索赔的保单数，则 X 服从二项分布B(800，0005)，该公司的期望利润为Q=E(80050020 000X)=400 00020 000E(X)=400 000 一 20 0008000005=320 000(元)故公司的期望利润为 32 万元【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 即
18、 X 与 Y 不相互独立【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 于是 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0，即 X 与 Y 的相关系数 =0 (2)先求 U 和 V的联合分布律如图 312 所示，【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 设 Z 表示解空间的维数，A 为系数矩阵，r(A)为 A 的秩由已知可知 X 与 Y 独立且同下列分布于是 r(A)的可能取值为 1，2，3，Z 的可能取值为 3 一 r(A)，即 0，1，2P(Z=0)=P(X 一20，X 24Y0) =1 一 P(X=2)U(X2=4y) =1 一 P(X=2)一 P(X2=4Y)+P(X
19、=2，X 2=4Y) =1 一 P(X=2)一P(X=2，Y=1)+P(X=4，Y=4)+P(X=2，Y=1) =1一 P(X=2)一 P(X=4，Y=4) P(Z=2)=P(X 一 2=0，22Y=0，X 2一 4Y=0) =P(X=2，Y=1)【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 Ax=b有解的充要条件是 r(A)= ，即 b3 一 2b2+b1=0，其中 b1，b 2， b 3 相互独立，且分布律相同： P(b i=k)= ，k=1，2，3，4，5，i=1，2，3所以 Ax=b 有解的概率为 P(b 3 一 2b2+b1=0)=P(2b2=b1+b3) =P(b1=1，b 2=1， b3=1)+P(b1=1，b 2=2，b 3=3) +P(b1=5，b 2=5，b 3=5) (共有 13 项) =13 【知识模块】 概率论与数理统计
