1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 39 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0， =P(BA)，则必有（A）P(AB)= （B） P(AB) （C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(AB)P(A)P(B) 2 某射手的命中率为 p(0P1)，该射手连续射击 n 次才命中 k 次(kn)的概率为（A）P k(1 一 P)nk （B） Cnkpk(1 一 P)nk （C） Cn1 k 1pk(1 一 P)n k（D）C n1 k1 pk1 (1p)nk 3 已知(X，Y)的联合密度函数 f(
2、x，y)=g(x)h(y)，其中 g(x)0，h(y)0，a= g(x)dx，b= h(y)dy 存在且不为零，则 X 与 Y 独立，其密度函数 fX(x)，f Y(y)分别为（A）f X(x)=g(x)，f Y(y)=h(y) （B） fX(x)=ag(x)，f Y(y)=bh(y)（C） fX(x)=bg(x)，f Y(y)=ah(y)（D）f X(x)=g(x)，f Y(y)=abh(y)4 设随机变量序列 X1，X n，相互独立，根据辛钦大数定律，当 n 一时依概率收敛于其数学期望，只要X n，n1（A）有相同的数学期望（B）有相同的方差（C）服从同一泊松分布（D）服从同一连续型分布，
3、f(x)= (一x+)5 设 X1，X 2，X n 是来自标准正态总体的简单随机样本， 和 S2 为样本均值和样本方差，则（A） 服从标准正态分布（B） Xi2 服从自由度为 n1 的 2 分布（C） 服从标准正态分布 （D）(n 一 1)S2 服从自由度为 n 一 1 的 2 分布二、填空题6 设随机事件 A，B 满足条件 AC=BC 和 CA=CB，则=_7 设 A、B 是两个随机事件，且=_8 已知某自动生产线加工出的产品次品率为 001，检验人员每天检验 8 次，每次从已生产出的产品中随意取 10 件进行检验，如果发现其中有次品就去调整设备，那么一天至少要调整设备一次的概率为_(099
4、 8004475)9 设离散型随机变量 X 的概率分布为则随机变量Y=3X2 一 5 的概率分布为_10 已知随机变量 X 与 Y 的联合概率分布为 又PX+Y=1=04，则 =_；=_； PXY 1 =_； PX2Y 2=1=_11 将一颗骰子连续重复掷 4 次，以 X 表示 4 次掷出的点数之和，则根据切比雪夫不等式，P10X18_12 已知随机变量 X1 与 X2 相互独立且分别服从参数为 1， 2 的泊松分布，PX1+X20=1 一 e1 ，则 E(X1+X2)2=_13 设随机试验成功的概率 p=020，现在将试验独立地重复进行 100 次，则试验成功的次数介于 16 和 32 次之
5、间的概率 =_14 已知 2 2(n)，则 E(2)=_15 假设 X1，X 2，X 16 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本， 为其均值，S 为其标准差，如果 P +aS=095，则参数 a=_(t 005 (15)=17531)16 已知总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2n 是来自总体 X 容量为 2n 的简单随机样本，当 2 未知时，Y= (X2iX2i1 )2 的期望为 2，则C=_， DY=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 已知袋中有 3 个白球 2 个黑球，每次从袋中任取一球，记下它的颜色再将其放回，直到记录中出现 4 次白球为止，
6、试求抽取次数 X 的概率分布18 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)= 已知 Y=，求Y的分布函数18 已知随机变量 X 的分布函数 FX(x)= (0)，Y=lnX19 求 Y 的概率密度 fY(y)；20 计算 PYK21 设二维离散型随机变量只取(一 1，一 1)，(一 1，0)，(1，一 1)，(1 ，1)四个值，其相应概率分别为 (I)求(X ，Y)的联合概率分布；() 求关于 X 与关于 Y 的边缘概率分布；()求在 Y=1 条件下关于 X 的条件分布与在 X=1 条件下关于 Y 的条件分布22 设二维随机变量(X，Y)的分布律为 ()求常数a；() 求两个边缘分布律；()说明
7、 X 与 Y 是否独立；()求 3X+4Y 的分布律；()求 PX+Y123 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从参数为 p 的几何分布，即 PX=m=pqm 1，m=1，2，0p1，q=1 一 p，Y 服从标准正态分布 N(0，1)求： ()U=X+Y 的分布函数； ()V=XY 的分布函数23 投篮测试规则为每人最多投三次，投中为止，且第 i 次投中得分为(4 一 i)分，i=1，2 ，3若三次均未投中不得分，假设某人投篮测试中投篮的平均次数为156 次24 求该人投篮的命中率； 25 求该人投篮的平均得分26 设随机变量 X 在区间一 1，1上服从均匀分布，随机变量 ()Y=，
8、试分别求出 DY 与 Cov(X，Y) 26 设总体 XN(0， 2)，参数 0 未知，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本(n 1) ，令估计量27 求 的数学期望；28 求方差 考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 39 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由题设条件可知，无论事件 A 发生与否，事件 B 发生的概率都相同，即事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，因此可以确认 A 与 B 是相互独立的，应该选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 n 次射击视
9、为 n 次重复独立试验，每次射击命中概率为 P，不中概率为 1 一 P，设事件 A=“射击 n 次才命中 k 次”=“前 n 一 1 次有 k 一 1 次击中，且第n 次也击中”，则 P(A)=Cn1 k1 pk1 (1 一 P)n1(k 1) P=C n1 k1 pk(1 一 p)nk ，应选(C)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 显然我们需要通过联合密度函数计算边缘密度函数来确定正确选项，由于 f X(x)= f(x，y)dy= g(x)h(y)dy=g(x) h(y)dy=bg(x)， f Y(y)= g(x)h(y)dx=ah(y)， 又 1= f(x，y
10、)dxdy= g(x)dx h(y)dy=ab， 所以 f(x，y)=g(x)h(y)=abg(x)h(y)=bg(x)ah(y)=f X(x)fY(y)，X 与 Y 独立，故选(C)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 辛钦大数定律要求：X n，n1独立同分布且数学期望存在，选项(A)、(B)缺少同分布条件，选项 (D)虽然服从同一分布但期望不存在，因此选(C)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 显然，(n 一 1)S2 服从自由度为 n 一 1 的 2 分布，故应选(D)，其余选项不成立是明显的，对于服从标准正态分布的总体，由于 X1，
11、 X2，X n 相互独立并且都服从标准正态分布，可见 Xi2 服从自由度为 n 的 2 分布【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 根据乘法公式再应用减法公式【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 0.55【试题解析】 如果用 X 表示每天要调整的次数，那么所求的概率为 P每天至少调整设备一次=PX1=1PX=0，显然 0X8，如果将 “检验一次”视为一次试验，那么 X 就是 8 次试验，事件 A=“10 件产品中至少有一件次品 ”发生的次数，因此XB(8，p)，其中 p=P(A)，如果用 Y
12、 表示 10 件产品中次品数，则YB(10，001)，p=P(A)=PY1=1PY=0 =1 一(1001) 10=1099 10 所求的概率为 PX1=1一 PX=0=1 一(1 一 p)8=1 一 099 80=104475055【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 由于 PX=一 2=PY=3X25=PY=3(一 2)25=PY=7=0 1， PX=一 1=PY=一 2=02，PX=0=PY=一 5=01，PX=1=PY=一2=03，PX=2=PY=7=02，PX=3=PY=22=01，因此 Y 可能取值为一5，一 2，7，22，其概率分布为 PY=一 5=01，
13、PY=一 2=0 2+03=05，PY=7=01+02=03，PY=22=01，于是 Y=3X25 的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 03；01；04；03；【试题解析】 由 01+02+01+02=1 及 PX+Y=1=PX=0，Y=1+PX=1，Y=0=+0 1=04 解得 =03，=0 1，于是 PX+Y1= X=i，Y=j=PX=0，Y=一 1+PX=0， Y=0+PX=1，Y=一 1=0 1+02+01=04； PX2Y2=1=PX=1，Y= 一 1+PX=1，Y=1=0 1+02=03【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 以 X
14、k(k=1，2，3，4)表示第 k 次掷出的点数，则 Xk 独立同分布：P=X k=i= (i=1，2，6)，所以 EXk=，DX k=EXk2 一(EX k)2= 又由于 X=X1+X2+X3+X4，而 Xk(k=1，2，3，4)相互独立，所以EX= 因此，根据切比雪夫不等式，有P10x18=P一 4x 一 144=Px 一 14 4=P X EX41 一【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 2【试题解析】 已知 XiP( i)且相互独立，所以 EXi=DXi=i，i=1，2E(X 1+X2)2=E(X12+2X1X2+X22)=EX12+2EX1EX2+EX22=1+12+21
15、2+2+22=1+2+(1+2)2为求得最终结果我们需要由已知条件求得 1+2，因为 PX1+X20=1 一PX1+X20=1一 PX1+X2=0=1 一 PX1=0，X 2=0=1 一 PX1=0PX 2=0=1 一=1 一 e1 所以 1+2=1，故 E(X1+X2)2=1+1=2【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 084【试题解析】 以 X 表示“在 100 次独立重复试验中成功的次数 ”，则 X 服从参数为(n，p)的二项分布，其中 n=100，p=020，且EX=np=20， =4由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，知随机变量 Un= 近似服从标准正态分布 N(0，1)，因
16、此试验成功的次数介于 16 和 32 次之间的概率 =P16X32= (3)一 (一 1)=(3)一1 一 (1)=09987 一(10 8413)=084，其中 ()是标准正态分布函数【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 n【试题解析】 由 2 分布的典型模式 2=X12+X22+Xn2=，而 XiN(0 ，1)，且 Xi 相互独立，由于 E(Xi2)=D(Xi)+E(Xi)2=1+0=1，所以 E(2)= =n【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 一 04383【试题解析】 由于总体 XN(， 2)，故与 S2 独立，由 t 分布典型模式得：t= t(15)，所以=
17、Pt4a=0 95由此知 4a 为 t(15)分布上 095 分位数，即 4a=t095 (15)=一 t1095 (15)=一 t005 (15)=一 17531， a=一 04383【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 通过 EY=2 求得 C，为此需先求得 X2iX2i1 分布，由于XiN(， 2)，且相互独立，故 X2iX2i1 N(0， 22)，E(X 2iX2i1 )2=D(X2iX2i1 )+E(X2i 一 X2i1 )2=22所以由 EY= E(X2iX2i1 )2=Cn22=2，解得C= 又 N(0，1)且相互独立，故W= 2(n)Y=C2 2 =2
18、C2W，DW=2n，所以 DY=4C2 4DW= 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 显然 X 可能取的值为 4，5， k，由于是有放回的取球，因此每次抽取“ 取到白球”的概率 p 不变，并且都是 p= ，又各次取球是相互独立的，因此根据伯努利概型得 PX=4=P4，PX=5=P前 4 次抽取取到 3 个白球 1 个黑球，第 5 次取到白球=C 43p3(1 一 p)43 P=C43(1 一 P)P4，同理 PX=6=C53p3(1 一p)53 P=C53(1 一 p)53 P4，Px=K=C k1 3(1 一 p)(k1)3 P
19、4=Ck1 3(1 一 p)K4 P4(K4)，故 X 的概率分布为 PX=k=Ck1 3(1 一 p)k4 p4，其中 k=4，5，且 p= 【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 从 X 的分布函数 F(X)可知：X 只取一 2，一 1 与 1 三个值，其概率分别为 03，03，04，因此随机变量，其相应概率分别为 03，03 与04因此Y的分布律为 =03，Y 的分布函数为 FY (y)=PYy=【试题解析】 显然 X 是离散型随机变量，Y= 也是离散型随机变量，要求Y的分布函数，应先求 Y的分布律，而 Y 又是 X 的函数，因此我们应通过 X 的分布律求解【知识模块】 概率论
20、与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 由题设知 X 的概率密度 fX(x)= ，所以 Y 的分布函数 FY(y)=PYy=PlnXY(yR)由于 PX1=1，故当 y0 时 FY(y)=0；当 Y0 时，F Y(y)=P1Xe y= 1eyx1 dx=1ey 于是 FY(y)=故 Y=lnX 的概率密度 fY(y)= 可见，Y 服从参数为 的指数分布【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 P Yk = k ey dy=ek ，由于 0，0e 1，故【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 (I)依题意，(X ，Y)的联合概率分布如下表所示()关于 X 与
21、关于 Y 的边缘概率分布分别为表中最右一列与最后一行()由于，且在 Y=1 条件下， X 只取 1，因此关于 X 的条件概率分布为 PX=1Y=1= =1；在 X=1 条件下，Y 取一 1 和 1 两个值，其条件概率分布为。【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 () 由 1=()由(X，Y) 的分布律，得 所以，两个边缘分布律分别为()因为 PX=一 1，Y=3= ，故 X 与 Y 不独立()由(X，Y)的分布律，得 所以3X+4Y 的分布律为(V)由()可得 X+Y 的分布律为 所以 PX+Y1=PX+Y=2+PX+Y=3= 【试题解析】 先由联合概率分布的性质求出 a，再由式(
22、32)与(33)求 X，Y 的边缘分布律，然后由列表法求出 3X+4Y，X+Y 的分布律，从而可解()与(V)，而由式(3 11) 可判断 X 与 Y 是否独立【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 () 根据全概率公式有()【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设该投篮人投篮次数为 X，投篮得分为 Y；每次投篮命中率为P(0P1) ，则 X 的概率分布为 PX=1=P，PX=2=pq，PX=3=q 2， EX=P+2pq+3q2=P+2p(1 一 P)+3(1 一 P)2=P2 一 3p+3 依题意 P2 一 3p+3=156， 即 P2
23、一 3p+144=0 解得 P=06(P=24 不合题意，舍去)【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 Y 可以取 0，1，2，3 四个可能值，且 PY=0=q3=04 3=0064，PY=1=pq 2=0604 2=0096，PY=2=pq=0604=024，PY=3=P=06，于是 EY= PY=i=2376(分) 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 显然 Y 是 X 的函数：Y=g(x)，因此计算 DY 可以直接应用公式EY=Eg(x)，或用定义计算()已知 Xf(x)= ，则EY=Eg(X)= g(x)f(x)dx= 0(一 1)f(x)dx+0 f(x)dx=
24、1 0 dx=0，EY 2=Eg2(X)= g2(x)f(x)dx= f(x)dx=1，故DY=EY2 一(EY) 2=10=1或者 EY=1PY=1+0PY=0+(一 1)PY=一 1=PX 0 PX0= 01 dx=0，又 Y2= 所以DY=EY2 一(EY) 2=EY2=PX0=PX0+PX0=1，cov(X，Y)=EXY EXEY=EXY= xg(x)f(x)dx=1 0 ()【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 由于 X1，X 2，X n 相互独立且与总体 x 同分布，故 EXi=0， DXi=2， ，【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 根据抽样分布有关结论知再由 2 分布随机变量的方差公式有：Y 2(n)，则 DY=2n所以【知识模块】 概率论与数理统计
