1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 40 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 假设 X 是只可能取两个值的离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，且 X 与 Y相互独立，则随机变量 X+Y 的分布函数（A）是连续函数（B）是阶梯函数（C）恰有一个间断点（D）至少有两个间断点2 设随机变量 X 与 Y 独立同分布，记 U=XY， V=X+Y，则随机变量 U 与 V（A）不独立 （B） 独立（C）相关系数不为零（D）相关系数为零3 设随机变量 Xt(n)(n1) ，Y= ，则（A）Y 2(n) （B） Y 2(n 一 1)（C） YF(n，1)（D）YF
2、(1，n)二、填空题4 对同一目标接连进行 3 次独立重复射击，假设至少命中目标一次的概率为78，则单次射击命中目标的概率 P=_5 已知 X，Y 为随机变量且，设 A=max(X ，Y)0，B=max(X，Y)0，min(X，Y) 0，C=max(X，Y)0 ，min(X，Y)0，则 P(A)=_，P(B)=_ ，P(C)=_6 袋中有 8 个球，其中有 3 个白球，5 个黑球，现从中随意取出 4 个球，如果 4 个球中有 2 个白球 2 个黑球，试验停止，否则将 4 个球放回袋中重新抽取 4 个球，直至取到 2 个白球 2 个黑球为止，用 X 表示抽取次数，则 PX=k=_(k=1，2，)
3、7 已知(X，Y)在以点(0，0) ，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X ， Y)作 4 次独立重复观察，观察值 X+Y 不超过 1 出现的次数为 Z，则EZ2=_8 将一枚骰子重复掷 n 次，则当 n时，n 次掷出点数的算术平均值 依概率收敛于_9 设 X1，X 2，X 100 是独立同服从参数为 4 的泊松分布的随机变量， 是其算术平均值，则 P 4392_10 设 X 一 N(， 2)，其中 和 2(0)均为未知参数，从总体 X 中抽取样本X1，X 2，X n 样本均值为 ，则未知参数 和 2 的矩估计量分别为 11 已知总体 X 服从参数为 p(0p1)的几
4、何分布： PX=x=(1 一 p)x1 p(x=1，2，)，X 1，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数 p 的矩估计量为_；最大似然估计量为_12 已知 X1，X 2，X 3 相互独立且服从 N(0， 2)，则 服从的分布及参数为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 抛掷两枚骰子，在第一枚骰子出现的点数能够被 3 整除的条件下，求两枚骰子出现的点数之和大于 8 的概率14 设平面区域 D 是由坐标为(0，0)，(0，1) ，(1，0)，(1，1)的四个点围成的正方形，今向 D 内随机地投入 10 个点，求这 10 个点中至少有 2 个点落在曲线 y=x2 与
5、直线 y=x 所围成的区域 D1 内的概率15 随机变量 X 在 上服从均匀分布，令 Y=sinX，求随机变量 Y 的概率密度16 随机地向半圆 0y (a 为正常数) 内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，用 X 表示原点到该点连线与 x 轴正方向的夹角，求 X 的概率密度17 设离散型随机变量 X 服从参数为 P(0P1)的 0-1 分布(I)求 X 的分布函数 F(x)； ()令 Y=F(X)，求 Y 的分布律及分布函数 F(y)17 已知随机变量 XN(0，1)，求：18 Y= 的分布函数；19 Y=eX 的概率密度；20 Y=X的概率密度( 结果可以用标准正态分布
6、函数 (x)表示)21 在时刻 t=0 时开始计时，设事件 A1，A 2 分别在时刻 X，Y 发生，且 X 与 Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 fX(x)=求 A1 先于 A2 发生的概率22 假设有 10 只同种电子元件，其中有 2 只废品，装配仪器时，从这 10 只元件中任取一只，如是废品，则扔掉后再重新任取一只；如仍是废品，则扔掉后再任取一只，求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差22 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 f(x， y)= ，一x，y+，记 Z=X2+Y2求：23 Z 的密度函数；24 EZ，DZ；25 PZ126 设随机变量 X 的概率密度
7、为 f(x)，已知 D(X)=1，而随机变量 Y 的概率密度为f(一 x)，且 XY= ，记 Z=X+Y，求 E(Z)，D(Z)26 已知总体 X 是离散型随机变量，X 可能取值为 0，1，2，且 PX=2=(1)2，EX=2(1 )( 为未知参数)27 试求 X 的概率分布；28 对 X 抽取容量为 10 的样本，其中 5 个取 1，3 个取 2，2 个取 0，求 的矩估计值、最大似然估计值考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 40 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 设 X 的概率分布为 PX=a=p，PX=b=1p=
8、q(ab)，而 Y 的分布函数为 F(y)，U=X+Y，因为 X 与 Y 相互独立，故由全概率公式有F()=PX+Y =pPX+YX=a+qPX+Y X=b=pPY 一 a+qPY 一 b=PF( 一 a)+qF( 一 b)由此可见 X+Y 的分布函数 F()是连续函数，故选 (A)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 X 与 Y 独立同分布，因此 E(X)=E(Y)，E(X 2)=E(Y2)，又 E(U)=E(XY)=E(X)一 E(Y)=0，E(UV)=E(XY)(X+Y)=E(X 2 一 Y2)=E(X2)一 E(Y2)=0， Cov(U，V)=E(UV)
9、一 E(U)E(V)=0，从而可知 U 与 V 的相关系数为零，故选(D)由 X 与 Y 独立可知 XY=0如果 X 与 Y 都服从正态分布，则 U=X1，和V=X+Y 也都服从正态分布，从而 U 与 V 相互独立， (A)不正确，如果 X 与 Y 服从同一 0-1 分布：P X=0 =PY=0= ，PX=1=P Y=1= ，则 PU=一 1=PX=0 ，Y=1=P X=0PY=1= ，PV=2=PX=1，Y=1=PX=1 PY=1= ，PU= 一 1，V=2=P =0由于 PU=一1，V=2PU=1PV=2，故 U 与 V 不相互独立，(B)不正确【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案
10、】 C【试题解析】 根据 t 分布的性质，如果随机变量 Xt(n) ，则 X2F(1 ，n) ，又根据 F 分布的性质，如果 X2F(1，n)，则 F(n，1)，故应选(C)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 引进事件 Ai=第 i 次命中目标(i=1，2，3)，由题设知，事件A1，A 2，A 3 相互独立，且其概率均为 p，由 3 次独立重复射击至少命中目标一次的概率【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 【试题解析】 首先要分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，而后应用概率性质计算概率由于 A=max(X，Y)0= X，Y 至少有一个大于
11、等于0= X0 Y0，故 P(A)=PX0+P Y0一 PX0 ，Y0=；又max(X，Y)0 min(X ，Y) 0，则B=max(X，Y)0，min(X，Y)0=max(X，Y) 0= 从而 P(B)=由全集分解式知：A=max(X，Y)0 =max(X ，Y)0，min(X，Y)0+max(X ，Y)0 ，min(X，Y)0 =C+X0，Y0，故 P(C)=P(A)一 PX0，Y0 = 【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 【试题解析】 若记 Ai=“第 i 次取出 4 个球为 2 个白球，2 个黑球”，由于是有放回取球，因而 Ai 相互独立，根据超几何分布知 P(Ai)= ，
12、再由几何分布即得 PX=k= 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 5【试题解析】 由题设知(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)=若记 A=“X+Y1”，则 Z 是 4 次独立重复试验事件 A 发生的次数，故 ZB(4，P)，其中 p=P(A)=PX+Y1= f(x，y)dxdy=2所以 EZ2=DZ+(EZ)2= =5【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 72【试题解析】 设 X1，X 2，X n 是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望 EX=216=72，因此，根据辛钦大数定律， 依概率收敛于 72【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】
13、 0975【试题解析】 由于 EXk=DXk=4， =02，因为 n=100 充分大，故由列维-林德伯格定理知， 近似地服从正态分布 N(4，02 2)，因此，有(196)=0 975【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 由于待估计参数有 2 个：， 2，故考虑一阶、二阶矩，由于 E(X)=， E(X2)=D(X)+E(X)2=2+2，令 解得 和 2 的矩估计量分别为 ，=B2【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 由几何分布的期望公式即得 ，则由上式解得 p 的矩估计量 又样本 X1，X n 的似然函数【知识模块】 概率论与数理统计12 【
14、正确答案】 【试题解析】 记 Y1=X2+X3，Y 2=X2 一 X3，则 Y1N(0 ，2 2)，Y 2N(0，2 2)，由于 Cov(Y1，Y 2)=E(Y1Y2)一 E(Y1)E(Y2)=E(X2+X3)(X2 一 X3)=E(X22)一 E(X32)=2一 2=0，所以 Y1 与 Y2 相互独立，且与 X1 独立，又由X1+X2+X3=X1+Y1N(0，3 2)，可知 (X1+X2+X3)N(0 ，1)， 2(1)，且 X1+X2+X3 与 X2 一 X3 相互独立，于是按 t 分布定义有【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】
15、 设 A 表示事件“第一枚骰子出现的点数能够被 3 整除”，B 表示事件“两枚骰子出现的点数之和大于 8”，抛掷两枚骰子所出现的点数为 (i，j)(i，j=1，2，6)，其中 i，j 分别表示抛掷第一枚骰子和抛掷第二枚骰子出现的点数，共有 62=36 种结果，即有 36 个基本事件，抛掷第一枚骰子出现 3 点或 6 点时，才能被 3 整除，因此事件 A 包含 2 个基本事件，从而 P(A)= 事件A 和事件 B 的交 4B=(3， 6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6) ，即包含 5 个基本事件，因此 P(AB)= 所求概率即为条件概率 P(BA)= 【知识模块】 概率论与数理统
16、计14 【正确答案】 设事件 A 表示“任投的一点落在区域 D1 内” ，则 P(A)是一个几何型概率的计算问题，样本空间 =(x，y)0x1，0y1 ，有利于事件 A 的样本点集合为 D1=(x，y) x 2yx(如图 13) ，依几何型概率公式 P(A)=其中 SD=1，S D=01(x 一 x2)dx= 设事件 Bk 表示“10个点中落入区域 D1 的点的个数为 k”，k=0 ，10，这是一个十重伯努利概型问题，应用伯努利公式 P(B2B3B10)=1 一 P(B0)一 P(B1)=1 一(1 一 p)10C101p(1一 p)9=1 一 052【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确
17、答案】 由于 y=sinx 在 上是 x 的单调可导函数，其反函数x=arcsiny 存在、可导且导数恒不为零，因此可以直接用单调函数公式法求出 Y 的概率密度，在这里 h(y)=arcsiny，h (y)= 于是 FY(y)=【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 设比例系数为 ，而点落在半圆这个区域的概率为 1，它应等于比例系数 与半圆面积 ，因此，当 0x时，事件Xx的概率是两个面积之比，其中分母为半圆面积 a2；分子面积S 是扇形 ABC 与三角形 BOA 的面积之和，即所求的 X 的概率密度为 f(x)=【试题解析】 由图 21 看出，X 取值在(0， )内，由于 X 是一
18、个连续型随机变量，我们通过它的分布函数 F(x)求其概率密度 f(x)【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (I) F(x)=PXx= () Y=F(X)=PY=0=PX0=0，PY=1 一 P=P0X1=PX=0=1 一 P，PY=1=PX1=PX=1=P，于是 Y 的分布律与分布函数分别为【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 先用定义法求分布函数，而后再求概率密度由题设知 Y 是离散型随机变量，其概率分布为 PY=一 1=PX1=(1)，PY=1=PX1=1 一PX1=1 一 (1)=(一 1)，故 Y 的分布函数 F(y)=PYy=【
19、知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 Y=e X 的分布函数 F(y)=PYy=PeXy，故当 y0 时，F(y)=0；当 y0 时，F(y)=PXlny=(lny)，即【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 Y=X的分布函数 F(y)=PXy，当 y0 时，F(y)=0；当y0 时，F(y)=PXy=P一 yXy=(y)一 (一 y)=2(y)一 1，即 F(y)=所以概率密度 f(y)=F(y)=【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由 X 和 Y 的独立性，知 X 和 Y 的联合概率密度为 F(x，y)=按题意需求概率 PXY，如图 32，则有PXY= 8
20、y2e2(x y) dxdy=0 dy0y8y2e2(xy) dx=一 40 y2e2y (e2x ) 0ydy=一40 y2(e4y e2y )dy【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 设 X 表示在取到正品之前已取出的废品只数，则 X 的可能取值是0，1，2，其概率分布为 PX=0=于是由随机变量的数学期望的定义式(41)及随机变量的函数的数学期望的定义式(43)分别可得 E(X)=E(X 2)=02 所以X 的方差为 D(X)=E(X2)一E(X) 2= 【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 当 z0 时，F(z)=0；当 z0 时，
21、F(z)=PZz=PX 2+Y2z=于是 fZ(z)=F(z)= 由此可以看出， Z 服从参数为 的指数分布【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 由 f(x，y)= 可知，X 与 Y 相互独立，且 X2 与 Y2 也独立，又 XN(0， 2)，YN(0， 2)，故 EZ=E(X2+Y2)=EX2+EY2=2DX=22，DZ=D(X 2+Y2)=DX2+DY2=2DX2，EX 4= =34DX 2=EX4 一(EX 2)2=34 一4=24，DZ=4 4【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 P Z1= 01 或Pz1=F(1)=1 (Z 服从参数为 的指数分布)【知识模块
22、】 概率论与数理统计26 【正确答案】 E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)= xf(x)dx+ yf(一 y)dy，令 y=一 x，则 yf(一 y)dy= (一 x)f(x)d(x)= xf(x)dx，所以 E(Z)=0又D(Y)=E(Y2)一E(Y) 2=E(Y2)一一 E(X)2，而 E(Y2)= y2f(一 y)dy= (一 x)2f(x)d(一 x)= x2f(x)dx=E(X2)，所以 D(Y)=E(Y2)一 一 E(X)2=E(X2)一E(X)2=D(X)=1于是 D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=D(X)+D(Y)+=1+1+ 【知识模块】
23、 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 设 X 的概率分布为 PX=0=p0，PX=1=p 1，PX=2=p 2，由题设知 p2=(1)2，又 EX=2(1)=0p0+1p1+2p2=p1+2p2=p1+2(1)2，解得p1=2(1)一 2(1)2=2(1)，而 p0+p1+p2=1，所以 p0=1 一 p1p2=2，X 的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 应用定义求矩估计值、最大似然估计值，令 =EX=2(1 一 )，解得 =1 ，将样本值代入得 的矩估计值为又样本值的似然函数 L(x1，x 10；)= PX=xi，=2(1 一 )5(1 一 )64=259(1 一 )11，lnL=5ln2+9ln+11ln(1)，令【知识模块】 概率论与数理统计
