1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 43 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机事件 A 与 B 互不相容，且 P(A)0，P(B)0，则下列结论中一定成立的是（A）A，B 为对立事件（B） A，B 互不相容（C） A，B 不独立（D）A，B 相互独立2 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，已知 X=Y，且都服从标准正态分布，如有 F(a，b)= ，则（A）a=0 ，b=0（B） a=0，b0（C） a=0，b0（D）min(a，b)=03 设随机变量 X 与 Y 独立，且 XB(1， )，YN(0，1)，则概率 PXY0的值为
2、二、填空题4 在一个盒子中放有 10 个乒乓球，其中 8 个是新球，2 个是用过的球，在第一次比赛时，从该盒子中任取 2 个乒乓球，比赛后仍放回盒子中在第二次比赛时从这个盒子中任取 3 个乒乓球，则第二次取出的都是新球的概率为_5 抛掷一枚匀称的硬币，设随机变量 X= ，则随机变量 X 在区间上取值的概率为_。6 已知随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则概率 Pmax(X ， )2=_7 若 aex2x 为随机变量 X 的概率密度函数，则 a=_8 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)= 已知 P一1X1= ，则 a=_，b=_ 9 已知随机变量 YN(， 2)，且方程 x2+x+Y=0
3、 有实根的概率为 ，则未知参数=_10 设 G=(x， y)0x3 ，0y1是一矩形，向矩形 G 上均匀地掷一随机点(X ，Y)，则点(X，Y) 落到圆 x2+y24 上的概率为_ 11 已知随机变量 X 在(1，2)上服从均匀分布，在 X=x 条件下 Y 服从参数为 x 的指数分布，则 E(XY)=_12 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= (一x+)，则随机变量X 的二阶原点矩为_13 设盒子中装有 m 个颜色各异的球，有放回地抽取 n 次，每次 1 个球，设 X 表示n 次中抽到的球的颜色种数，则 EX=_14 设总体 XP()，则来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n
4、 的样本均值的概率分布为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质率分别为 08，07 与 09已知如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为 02；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合卡各率为 06；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为 09()求该仪器的不合格率；()如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大15 一条自动生产线连续生产 n 件产品不出故障的概率为e ，n=0，1，2，似设产品的优质品率为 p(0p1)，如果各件产品是
5、否为优质品相互独立16 计算生产线在两次故障问共生产 k 件(k=0，1，2，)优质品的概率；17 若已知在某两次故障间该生产线生产了 k 件优质品，求它共生产 m 件产品的概率17 设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，当 X 取到 x(0x1)时，随机变量 Y 等可能地在(x，1) 上取值，试求：18 (X， Y)的联合概率密度；19 关于 Y 的边缘概率密度函数；20 PX+Y 121 设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0，1)，在 X=x(一x+) 的条件下，随机变量 Y 服从正态分布 N(x，1)，求在 Y=y 条件下关于 X 的条件概率密度21 设甲、乙两人随机决定次
6、序对同一目标进行独立地射击，并约定：若第一次命中，则停止射击，否则由另一人进行第二次射击，不论命中与否，停止射击，设甲、乙两人每次射击命中目标的概率依次为 06 和 0522 计算目标第二次射击时被命中的概率；23 设 X，Y 分别表示甲、乙的射击次数，求 X 与 Y 的相关系数 XY24 已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)=记 U=()求(U，V) 的概率分布； ()求U 和 V 的相关系数 25 设 X1，X 2，X n，相互独立，其概率分布为(i=1，2，)令 Yn= Xi，讨论当 n时，Yn 的依概率收敛性26 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 X 的简单随机
7、样本，EX=，DX=4，试分别求出满足下列各式的最小样本容量 n：27 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知总体 X 的概率密度为f(x)= ，一x+ ， 0试求 的矩估计量和最大似然估计量考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 43 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 A，B 互不相容，只说明 AB= ，但并不一定满足 AB=，即互不相容的两个事件不一定是对立事件，又因 AB= 不一定成立，故亦不一定成立，因此选项(A)与 (B)均不能选，同时因 P(AB)=0，但是 P(A)P(B)0，即 P(
8、AB)P(A)P(B)，故 A 与 B 一定不独立，应选(C)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知，X 与 Y 的分布函数为 (x)，据二维随机变量分布函数的定义及已知条件有 F(x， y)=PXx，Yy=PXx，Xy =P Xmin(x，y)=(min(x，y) ，又 F(a，b)=(min(a，b)= ，则有 min(a，b)=0 ，故选(D)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 X ，可以将事件“X=0”和事件“X=1”看成一完备事件组，由全概率公式有 PXY0=PXY0，X=0+PXY0，X=1=PX=0+PY0，X=1=其
9、中 (x)是标准正态分布 N(0，1)的分布函数，(0)= ，选(D)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题4 【正确答案】 0.218【试题解析】 在第一次比赛时从盒子中任取的 2 个乒乓球之中，可能全是用过的球，可能有 1 个新球 1 个用过的球，也可能全是新球，设 Ai 表示事件“在第一次比赛时取出的 2 个球中有 i 个是新球，其余是用过的球 ”(i=0，1，2) ，B 表示事件“在第二次比赛时取出的球全是新球”，则有由于 A0，A 1，A 2构成完备事件组，因此由全概率公式可得 P(B)=0218【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 【试题解析】 随机变量 X 的概率分布
10、为【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 【试题解析】 由题设知 PX0=1，PX0=0，应用全概率公式得【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 依题意有 aex2x dx=1，又【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 由于 F(x)在任何一点都是右连续的，于是有 F(一 1+0)=F(一 1)，即【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 已知 YN(， 2)，且 P方程有实根=P14Y0=，即 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 依题设，二维随机变量(X，Y)在矩形 G 上服从均匀分布，且SG
11、=3，于是(X，Y) 的联合概率密度为 f(x，y)=又矩形 G 上的点 (x，y)落到圆 x2+y24 上的区域如图 31 所示，分成三角形和扇形两部分，则有 PX 2Y 24=【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 1【试题解析】 由题设知 fYX (yx)= 所以(X，Y) 的联合密度函数f(x，y)=f X(x)fYX (yx)= 由二维连续型随机变量(X， Y)的函数的数学期望的定义式(46) 可知，随机变量 X=g(X，Y)=XY 的数学期望为 E(XY)= xyf(x，y)dxdy= 12dx0 xyxexy dy=12x dx=1【知识模块】 概率论与数理统计12 【
12、正确答案】 【试题解析】 依题设，即求 EX2，首先对所给概率密度作变换：对于 x(一x+)，有 由此可知随机变量 X 服从正态分布，从而 EX= ，于是 EX2=DX+(EX)2= 【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 m1(1 )n【试题解析】 令 Xi= 则X=X1+X2+Xm事件“X i=0”表示 n 次中没有抽到第 i 种颜色的球，由于是有放回抽取，n 次中各次抽取结果互不影响，因此有【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 由泊松分布的可加性可知，当 X1， X2 独立时，X 1+X2P(2) ，继而有 X1，X 2，X n 独立同为 P()分布时
13、，的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 记事件 8=“仪器不合格”，A i=“仪器上有 i 个部件不是优质品”，i=0，1 ，2， 3，显然 A0，A 1，A 2，A 3 构成一个完备事件组，且 P(BA 0)=0， P(BA 1)=0 2， P(BA 2)=06， P(B A 3)=09，P(A 0)=080709=0504 ，P(A 1)=020709+080309+080 701=0398，P(A 3)=020301=0006 ，P(A 2)=1P(A0)一 P(A1)一 P(A3)=0092()应用全概率公式，有
14、 P(B)= P(Ai)P(BA i)=05040+039802+00920 6+000609=01402()应用贝叶斯公式，有 P(A0B)=0，P(A 1B)= ，P(A 2B)=，P(A 3B)= 从计算结果可知，一台不合格的仪器中有一个部件不是优质品的概率最大，事实上，根据条件概率的性质： P(AiB)=1，在我们计算出 P(A1B)= 05 之后，即可以确定对于 i=2，3，P(A i B)都小于 05，从而不必再计算 P(A2B)与 P(A3B)就可以得到问题() 的答案【试题解析】 依题意，仪器的不合格率与组装该仪器的三个部件的质量有关，即三个部件是否为优质品是导致“仪器不合格”
15、发生的全部因素，因此我们要对导致“仪器不合格”这一事件发生的所有可能因素进行全集分解，再应用全概率公式计算出仪器不合格的概率；如果在发现了仪器不合格，从而返回来追溯分析当初组装仪器上三个部件的优质品数量，则需要应用贝叶斯公式【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 应用全概率公式，有【试题解析】 记事件 Bk=“两次故障间共生产 k 件优质品”，B k 显然与两次故障间生产的产品总数有关，记 An=“两次故障间共生产 n 件产品”，n=0，1，2，A 0，A 1，A 2，构成一个完备事件组，在应用全概率公式时，条件概率 P(BkA n)的计算是一个 n 重
16、伯努利概型问题，这是因为每件产品的质量均有优质品与非优质品之分，并且各件产品是否为优质品是相互独立的，又每件产品的优质品率都是 p，因此当 nk 时，P(B kA n)=0，当 nk 时，P(B kA n)=Cnkpkqnk 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 当 mk 时，P(A mB k)=0；当 mk 时，【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 根据题设 X 在(0，1)上服从均匀分布，其概率密度函数为 fX(x)=而变量 Y，在 X=x 的条件下，在区间(x，1)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为 fYX (yx)= 再根据条件概
17、率密度的定义，可得联合概率密度 f(x，y)=f X(x)fYX (yx)=【试题解析】 欲求密度函数，通常是先求分布函数，这对一维和二维随机变量都是一样的，但是本题所给的是 X 在(0，1)区间上服从均匀分布，而且条件 “当 X 取到 x(0 x1)时，Y 可能地在 (x，1) 上取值”意味着，在 X=x 的条件下，Y 在(x，1)上服从均匀分布，这相当于给出的是条件概率密度，所以可以直接写出联合概率密度【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 利用求得的联合概率密度，不难求出关于 Y 的边缘概率密 fY(y)= f(x，y)dx= 0y =一 ln(1 一 y)故 fY(y)=【知
18、识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 由图 35 可以看出【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 依题意，X 的概率密度为 fX(x)= 在 X=x 的条件下，关于 Y 的条件概率密度为 fYX (yx)= 根据条件概率密度的定义可得 X 与 Y 的联合概率密度为 f(x，y)=f X(x)f YX (yx)=根据二维正态分布的性质可知，二维正态分布(X，y)的边缘分布是一维正态分布，于是 y 的概率密度为 fY(y)=根据条件密度的定义可得 fXY (xy)=进一步分析，可将fX Y(xy)改写为如下形式： fXY (xy)= 从上面式子可以看出，在 Y=y 条件下关于 X
19、 的条件分布是正态分布 【试题解析】 依题意已知 X 的分布及关于 Y 的条件分布，因此我们很容易求出 X与 Y 的联合分布，然后直接应用条件密度公式求 fXY (xy)【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 设 A 表示甲先射击，则 表示乙先射击，又设 Bi 表示在第 i 次射击时目标被命中(i=1，2)，则由题意，有 P(A)= ，P(B 24)=0405=02，P(B 2 )=050 6=03由全概率公式即得 P(B2)=P(A)P(B2A)+ =025【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由题意知 PX=0，Y=0=0，PX=1，Y=
20、0=P(AB 1)=03， PX=0，Y=1= =025，PX=1，Y=1=045，所以(X ，Y)的分布律及边缘分布律为 计算得EX=075，EY=07，DX=0250 75，DY=0307，E(XY)=045，于是XY 【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 () 由题设易求得 U，V 的概率分布进而可求出(U，V) 的概率分布，由于故(U ， V)的概率分布为 ()由(U，V)的概率分布可求得 U 与 V 的相关系数 ，由于 U，V 均服从 0-1 分布，故【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 EX i=0,DXi=EXi2= ，对任何 i=1，2，DX i1，且题设X1，X 2，X n，相互独立，因此随机变量序列 X1，X 2，X n，满足切比雪夫大数定律，即对任何 0，Y n=1因此当 n 时，Y n 依概率收敛于 0【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 依题意，XN(，4)， N(0 ，1) 【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 () x2f(x)dx= =20 t2et dt=22，又样本的二阶矩为，可得 的矩估计量为 ()【试题解析】 待估计参数只有 ，但总体 X 的一阶原点矩 E(X)= f(x)dx=0，故考虑总体 X 的二阶原点矩 E(X2)= x2f(x)dx【知识模块】 概率论与数理统计
