1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 45 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 以 A 表示事件“ 甲种产品畅销，乙种产品滞销” ，则其对立事件 为( )（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”（B） “甲、乙两种产品均畅销”（C） “甲种产品滞销”（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”2 设 A，B 是任意两个随机事件，又知 B A，且 P(A)P(B)1，则一定有( )（A）P(AB)=P(A)+P(B)（B） P(AB)=P(A)一 P(B)（C） P(AB)=P(A)P(B|A)（D）P(A|B)P(A)3 设随机事件 A 与 B 互不相容，且 P
2、(A)0，P(B)0，则下列结论中一定成立的有( )（A）A，B 为对立事件（B） A，B 互不相容（C） A，B 不独立（D）A，B 相互独立4 在最简单的全概率公式 P(B)=P(A)P(B|A)+P( )P(B| )中，要求事件 A 与 B 必须满足的条件是( )（A）0P(A)1，B 为任意随机事件（B） A 与 B 为互不相容事件（C） A 与 B 为对立事件（D）A 与 B 为相互独立事件5 设 X1 和 X2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则( )（A）f 1(x)+f2(x)必为某一
3、随机变量的概率密度（B） F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数（C） F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数（D）f 1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度6 设随机变量 XN(，4 2)，YN( ，5 2)；记 p1=PX 一 4，p 2=PY+5，则( )（A）p 2=p2（B） p1p 2（C） p2p 2（D）因 未知，无法比较 p1 与 p2 的大小7 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是( )（A）X 2（B） XY（C） X+Y（D）(X，Y)8 已知随机变量 X1 与 X2 相互独
4、立且有相同的分布：PX i=一 1=PXi=1= (i=1，2)，则( )（A）X 1 与 X1X2 独立且有相同的分布（B） X1 与 X1X2 独立且有不同的分布（C） X1 与 X1X2 不独立且有相同的分布（D）X 1 与 X1X2 不独立且有不同的分布9 设随机变量 x 服从参数为 A 的泊松分布，且 E(X 一 1)(X 一 2)=1，则 =( )10 假设二维随机变量(X 1，X 2)的协方差矩阵为= ，其中 ij=Cov(Xi， Xj)(i，j=1，2)，如果 X1 与 X2 的相关系数为 p，那么行列式 |=0 的充分必要条件是( )（A）=0（B）（C）（D）|=111 设
5、 X1，X 2，X n 是取自总体 N(0，1)的简单随机样本，记则 E(T)=( )（A）0（B） 1（C） 2（D）4二、填空题12 将一枚硬币重复掷五次，则正、反面都至少出现两次的概率为_。13 假设盒内有 10 件产品，其正品数为 0，1，10 个是等可能的，今向盒内放入一件正品，然后从盒内随机取出一件产品发现它是正品，则原来盒内有 7 件正品的概率 =_。14 设离散型随机变量 X 的分布律为 PX=i=Pi+1，i=0，1，则 P=_。15 已知随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则概率 Pmax(X， )2)=_。16 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，随机变量函数
6、Y=1 一 eX 的分布函数为 FY(y)，则 FY( )=_。17 设随机变量 X 与 Y 独立同分布，且都服从 p= 的 0 一 1 分布，则随机变量Z=maxX，Y的分布律为_。18 设随机量 X 和 Y 相互独立，其概率密度为则 E(XY)=_。19 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= (一x+)，则随机变量 X 的二阶原点矩为_。20 假设随机变量 X1，X 2，X n 独立同分布，且 E(Xi)=D(Xi)=1(1i2n)，如果Yn= 则当常数 c=_时，根据独立同分布中心极限定理，当 n充分大时，Y n 近似服从标准正态分布。21 设随机变量 X 服从 n 个自由度的 t
7、分布，定义 t满足 PXt=1(0 1)。若已知 P|X|x=b(b0)，则 x=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，现将每只球随机地放入四个盒子，记 X 为至少有一只球的盒子的最小号码。()求 X 的分布律；()若当 X=k(k=1，2，3，4)时，随机变量 y 在0，k上服从均匀分布，求 PY2。23 已知随机变量 X，Y 的概率分布分别为 PX=一 1= ，PX=0= ，PX=1= ，PY=0= ，PY=1 = ，PY=2= ，并且 PX+Y=1=1，求：()(X，Y)的联合分布；()X 与 Y 是否独立? 为什
8、么?24 设随机变量 X 与 Y 独立，X 在区间0，2上服从均匀分布，Y 服从参数为 2 的指数分布，求：()二维随机变量 (X，Y)的联合概率密度；()概率 PXY。25 设随机变量 X 的概率密度为 令 Y=X2，F(x，y)为二维随机变量(X，Y) 的分布函数。() 求 Y 的概率密度 fY(y)；26 将 3 个球随机地放入四个盒子中，以随机变量 X 表示有球的盒子数，求 E(X)，D(X)。27 某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0p1)，各产品合格与否相对独立，当出现 1 个不合格产品时即停机检修。设开机后第 1 次停机时已生产了的产品个数为 x，求 x 的数学期望 E(X)
9、和方差 D(X)。28 设总体 X 的分布函数为 其中未知参数1，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，求： () 的矩估计量；() 的最大似然估计量。29 设总体 X 的概率分布为其中(0 )是未知参数，利用总体 X 的如下样本值 3，1，3，0，3，1，2，3。求 的矩估计和最大似然估计值。考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 45 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 设 A1=甲种产品畅销，A 2=乙种产品滞销，则 A=A1A2。由德摩根定律得 =甲种产品滞销乙种产品畅销，即 为“甲种产品滞销或乙种
10、产品畅销”，故选项 D 正确。选项 A，B 中的事件与事件 A 都是互斥但非对立(互逆)的；选项 C 中事件的逆事件显然包含事件 A，故选项 A，B，C 都不正确。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 B A，则 AB=B，AB=A。当 P(A)0，选项 A 不成立；当P(A)=0 时，条件概率 P(B|A)不存在，选项 C 不成立；由于任何事件概率的非负性，而题设 P(A)P(B) ，故选项 B 不成立。对于选项 D，根据题设条件 0P(A)P(B)1，可知条件概率 P(A|B)存在，并且 故应选D。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析
11、】 A，B 互不相容，只说明 AB= ，但并不一定满足 AB=，即互不相容的两个事件不一定是对立事件，又因 AB=不一定成立，故亦不一定成立，因此选项 A、B 都不成立。同时因为 P(AB)=P()=0，但是 P(A)P(B) 0，即 P(AB)P(A)P(B)，故 A 与 B 一定不独立，应选C。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件，有 F 1(x)F2(x)=PX1xPX2x =PX1x，X 2x(因 X1与 X2 相互独立)。 令 X=maxX1，X 2，并考虑到 PX
12、 1x，X 2x=Pmax(X1，X 2)x， 可知， F1(x)F2(x)必为随机变量 X 的分布函数，即 F X(x)=PXx。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 p 1=PX4= =（1）=1(1) ，p 2=PY+5=1PY+5=1 =1 一 (1)。计算得知 p1=p2，故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 根据 X，Y 的独立性可知，(X，Y)的联合密度 f(x，y)=因此(X，Y)服从区域 D=(x，y)|0 x1，0y1上的二维均匀分布，故选项 D 正确。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 A【
13、试题解析】 根据题设知 X1X2 可取一 1，1，且 PX1X2=一 1=PX1=一 1，X 2=1+PX1=1，X 2=一 1=PX1=一 1PX2=1+PX1=1PX2=一 1 又 PX1=一 1，X 1X2=一 1=PX1=一 1，X 2=1= 所以 X1 与 X1X2 的概率分布为从而 X1 与 X1X2 有相同的分布且相互独立，故选项 A正确。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 因 X 服从参数为 的泊松分布，故 E(X)=，D(X)=。则 E(X 一 1)(X 一 2)=E(X2 一 3X+2)=E(X2)一 3E(X)+2， 其中 E(X2)=D(X)
14、+E(X)2=+2， 代入得 22+1=0，故 =1。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 |=0 1122=1221 D(X1)D(X2)=Cov2(X1，X 2)选择 D。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 C【试题解析】 =0，E(S 2)=1，且 和 S2 相互独立。故 E(T)=E( +1)(S2+1)=E( +1)E(S 2+1)=1(1+1)=2。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 该试验为独立重复试验序列概型，记 A=“正、反面都至少出现两次”，X 为将硬币投掷五次正面出现的次数，则 XB(5， )
15、，而 Y=5 一 X 为 5 次投掷中反面出现的次数，那么 A=2X5，2Y5=2X5 ，25 一 X5=2X5，0X3=X=2X=3 ，所以 P(A)=PX=2+PX=3=【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 设事件 Ai=“盒内原有 i 件正品”，i=0，1，10；事件 B=“取出的产品是正品”，所以 A0，A 1，A 10 构成一个完备事件组，依题意有 P(Ai)= ， P(B|Ai)= ，i=0，1，10。所求概率 P(A2|B)可直接应用贝叶斯公式：或先应用全概率公式求出 P(B)= ，再根据条件概率定义计算出 P(A2|B)。【知识模块】 概率论与数理统计
16、14 【正确答案】 【试题解析】 由于 PX=0+PX=1=P+p2=1，所以 p2+P 一 1=0，解得p= 。【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 根据题设知 PX0=1，PX0=0，应用全概率公式得【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 根据题意显然 Z 也是离散型随机变量，只取 0，1 两个值，且PZ=0=Pmax(X，Y)=0=PX=0 ，Y=0=PX=0PY=0= ，PZ=1=1 一 PZ=0= 所以 Z 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 4【
17、试题解析】 E(x)= +xf(x)dx=01x2xdx= ，E(Y)= +yg(y)dy=5+ye (y5)dy=6，又由于 X 和 Y 相互独立，故 E(XY)=E(X)E(Y)=4。【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 根据题意，即求 E(X2)。首先对所给概率密度作变换：对于 x(一x+)，有 由此可知随机变量 X 服从正态分布，从而 E(X)= ，D(X)= 。于是 E(X2)=D(X)+E2X=【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 记 Zi=X2i 一 X2i1，则 Zi(1in)独立同分布，且 E(Zi)=0，D(Z i)=2。
18、由独立同分布中心极限定理可得，当 n 充分大时，近似服从标准正态分布，所以【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 根据 t 分布的对称性以及 b0，可知 x0。所以 PXx=1一PXx=1 一 P|X|x=1 一 根据题干“t 满足 PXt =1 一 (01)”可知，x= 。【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 () 随机变量 X 可能取值为 1，2 ，3，4，设事件Ai(i=1，2，3，4)表示第 i 个盒子是空的，则于是 X 的分布律为 ()由于当 X=k时，随机变量 Y 在0，k上服从均匀分布，故 PY
19、2 | X=1=PY2 | X=2=1，PY2 | X=3= ，PY2 | X=4= 。由全概率公式即得【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 () 根据题设 PX+Y=1=1，即 PX=一 1，Y=2+PX=0，Y=1+PX=1，Y=0=1 ，故其余分布值均为零，即 PX=一 1，Y=0=PX= 一 1，Y=1=PX=0，Y=0=PX=0，Y=2=P X=1，Y=1=PX=1，Y=2=0，由此可求得联合分布为 ()因为 PX=一 1， Y=0=0JPX=一 1PY=0= 故 X 与 Y 不独立。【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 () 已知 X 在区间0，2 上服从均
20、匀分布，Y 服从指数分布 e(2)，因此可得 根据随机变量独立的性质，可得 ()当 x0 或者 x2 时，f(x，y)=0，因此区域 xy 为 y 轴和 x=2 之间，且在直线 y=x 上方的无界区域，所以其对概率密度在积分区域上进行二重积分，所以可表示为 P(XY)= e2ydxdy=02dxx+e2ydy= (1 一 e4)0245。【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 () 设 Y 的分布函数为 FY(y)，即 FY(y)=P(Yy)=P(X2y)，则(1)当 y0 时，F Y(y)=0；(2)当 0Y1 时，F Y(y)=P(X2y)=(3)当 1y4 时，F Y(y)=P
21、(X2y)=P(一 1X ）(4)当 y4，F Y(y)=1。所以根据题设的X 概率密度，上式=【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 X 可能的取值是 1，2，3，其中D(X)=E(X2)一E(X) 2=【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 令 q=1 一 p，所以 X 的概率分布为 PX=k=qk1p(k=1，2，)，从而 XG(p) 所以【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 X 的概率密度为 ()因为 E(X)=+xf(x，)dx= 1+x 令 所以参数 的矩估计量为 其中 是随机样本的数学期望。()似然函数为当xi1(i=1，2，n)时，L()0，取对数可得 lnL()=nln 一(+1) 两边对 求导，即得 令 =0，可得 的最大似然估计量为【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 E(X)=0 2+12(1 一 )+22+3(12)=34，= 3 一 EX。 的矩估计量为 根据给定的样本观察值计算(3+1+3+0+3+1+2+3)=2。因此 的矩估计值 对于给定的样本值似然函数为 L()=46(1)2(12)4，令 得方程 122 一14+3=0，解得 于是 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计
