1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 46 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论肯定正确的是 ( )（A） 不相容（B） 相容（C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(A 一 B)=P(A)2 对于任意两事件 A 和 B，若 P(AB)=0，则( )（A）（B）（C） P(A)P(B)=0（D）P(AB)=P(A)3 袋中有 5 个球，其中白球 2 个，黑球 3 个。甲、乙两人依次从袋中各取一球，记A=“甲取到白球”，B=“乙取到白球 ”。 若取后放回，此时记 p1=P(A)，p 2=
2、P(B)； 若取后不放回，此时记 p3=P(A)，p 4=P(B)。 则( )（A）p 1p2p3p4（B） p1=p2p3p4（C） p1=p2=p3p4（D）p 1=p2=p3=p44 在全概率公式 P(B)= P(Ai)P(B|Ai)中，除了要求条件 B 是任意随机事件及 P(Ai)0(i=1，2，n)之外，还可以将其他条件改为( )（A）A 1，A 2，A n 两两独立，但不相互独立（B） A1，A 2，A n 相互独立（C） A1，A 2，A n 两两互不相容（D）A 1，A 2，A n 两两互不相容，其和包含事件 B，即5 设 F1(x)，F 2(x)为两个分布函数，其相应的概率密
3、度 f1(x)与 f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )（A）f 1(x)f2(x)（B） 2f2(x)F1(x)（C） f1(x)F2(x)（D）f 1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)6 设随机变量 X 服从正态分布 N(1， 12)，Y 服从正态分布 N(2， 22)，且 P|X一 1|1P|Y 一 2| 1则必有( )（A） 1 2（B） 1 2（C） 1 2（D） 1 27 设随机变量 X 与 Y 相互独立，XB(1， )，Y 的概率密度 f(y)=的值为( )8 设随机变量 X 与 Y 相互独立，其分布函数分别为 FX(x)与 FY(y)，则Z=maxX，Y的分布函数
4、FZ(z)是( )（A）maxF X(z)，F Y(z)（B） FX(z)+FY(z)一 FX(z)FY(z)（C） FX(z)FY(z)（D） FX(z)+FY(z)9 已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)=24，D(X)=144，则二项分布的参数 n，P 的值为 ( )（A）n=4，p=0 6（B） n=6，p=04（C） n=8，p=03（D）n=24，p=0 110 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且方差 D(X)0，D(Y)0，则( )（A）X 与 X+Y 一定相关（B） X 与 X+Y 一定不相关（C） X 与 XY 一定相关（D）X 与 XY 一定不相关11 设 X1，
5、X 2，X n 和 Y1，Y 2，Y n 是分别取自总体都为正态分布 N(， 2)的两个相互独立的简单随机样本，记它们的样本方差分别为 SX2 和 SY2，则统计量T=(n 一 1)(SX2+SY2)的方差 D(T)=( )（A）2n 4（B） 2(n 一 1)4（C） 4n4（D）4(n 一 1)4二、填空题12 甲、乙两人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜，设甲、乙每次投篮的命中率分别是 p 与 05，则p=_时，甲、乙胜负概率相同。13 设随机变量 X 的分布函数为 已知 P1X1= ，则 a=_，b=_。14 设随机变量 X 服从参数为
6、 1 的泊松分布，则 PX=E(X2)=_。15 随机变量 X 在 上服从均匀分布，令 Y=sinX，则随机变量 Y 的概率密度函数 fY(Y)=_。16 已知 ，且 n 维向量 1， 2， 3 线性无关，则1+2， 2+23，X 3+Y1 线性相关的概率为_。17 将 10 双不同的鞋随意分成 10 堆，每堆 2 只，以 X 表示 10 堆中恰好配成一双鞋的堆数，则 E(X)=_。18 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 XN(0，1)，Y N(0 ，2)，则 E(X2+Y)=_。19 设随机试验成功的概率 p=020，现在将试验独立地重复进行 100 次，则试验成功的次数介于 16 与
7、32 之间的概率 a=_。(3)=0998 7，(1)=0 8413)20 假设总体 X 服从标准正态分布，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，则统计量 Y1= 都服从 _分布，且其分布参数分别为_和_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 已知在 10 件产品中有 2 件次品，在其中任取两次，做不放回抽样。求下列事件的概率：()两件都是正品；()两件都是次品；()一件是正品，一件是次品；()第二次取出的是次品。22 设离散型随机变量 X 服从参数 p(0p1)的 0 一 1 分布。()求 X 的分布函数 F(x)；()令 Y=F(x)，求 Y 的分布律及
8、分布函数 G(y)。23 已知随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的 0 一 1 分布，即 PX=0=PX=1= ，PY=0=PY=1= ，定义随机变量 Z= 求 Z 的分布；(X，Z)的联合分布；并问 X 与 Z 是否独立。24 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= ，一 x+，一y+，求常数 A 及条件概率密度 fX|Y(y|x)。25 设二维随机变量(X，Y)在区域 G=(x，y)|1x+y2，0y1 上服从均匀分布。试求： ( )(x，y)的边缘概率密度 fX(x)和 fY(y)； ( )Z=X+Y 的概率密度 fZ(y)(z)。26 设 和 是独立同分布的两
9、个随机变量。已知 的分布律为 P=i= ，i=1，2， 3，又设 X=max，Y=min，。()写出二维随机变量(X， Y)的分布律； ()求 E(X)。27 设随机变量 X 的概率密度为 对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 的次数，求 Y2 的数学期望。28 设总体 X 的概率密度为 其中 是未知参数(01) ，X 1，X 2， Xn 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值x1，x 2，x n 中小于 1 的个数，求 的最大似然估计。29 设总体 X 服从参数为 p 的几何分布，如果取得样本观测值为 x1，x 2，x n，求参数 p 的矩估计值与最大似然估计值。
10、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 46 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB= ，所以 A 一 B=AAB=A =A，从而 P(AB)=P(A)，故选项 D 正确。对于选项 A、B 可举反例排除，如取 =1，2，3，4=1，B=2 ，则 AB= ，但 =2，3 ， =1，3， =3 ，故选项 A 不正确；如果取A=1，B=2，3 ，显然 AB= ，但 =B，B=A，故 不相容，选项 B 也不正确。对于选项 C，由于 AB= ，所以 P(AB)=0，但由题设知 P(A)P(B)0，因此选项 C 不正确。【知识模
11、块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 P(AB)=P(A)一 P(AB)=P(A)。故应选 D。不难证明选项A、B、C 不成立。设 XN(0，1)，A=X0，B=X0，则 P(AB)=0， P(A)P(B)0 且 ，从而 A 项和 C 项不成立。若 A 和 B 互为对立事件，则 和 为对立事件， ，故选项 B 也不成立。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 依据取球方式知 p1=p3=p3，又因为“抽签结果与先后顺序无关”，得p3=p4，所以正确答案是 D。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 如果 A1，A 2，A
12、n 两两互不相容，则 A1B，A 2B，A nB 亦两两互不相容，且因 ，故 P(B)=P( AiB)。应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即 P(B)= P(Ai)P(B|Ai)。应选 D。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f1(x)与 f2(x)均为连续函数，故它们的分布函数 F1(x)与 F2(x)也连续。根据概率密度的性质，应有 f(x)非负，且 +f(x)dx=1。在四个选项中，只有 D 项满足。 +f2(x)F2(x)+f2(x)F1(x)dx =+F1(x)F2(x)dx =F1(x)F2(x)|+=10=1， 故选项 D 正确。【知识模块
13、】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 根据题干可知即 其中 （x）是服从标准正态分布的分布函数。因为 （x）是单调不减函数，所以 ，即 1 2。故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 A【试题解析】 XB(1， )，X 取值只能是 X=0 或 X=1，将 X=0 和 X=1 看成完备事件组，用全概率公式有故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(z)=Pmax(X，Y)z=PXz ，Yz =PXzPYz=FX(z)F Y(z)， 故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 B【试题解
14、析】 因为 XB(n，p)，所以 E(X)=np，D(X)=np(1 一 p)，将已知条件代入，可得 解此方程组，得 n=6，p=04，故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 A【试题解析】 直接根据计算协方差来判断，已知 X 与 Y 独立，故 Cov(X，Y)=0， Cov(X，X+Y)=Cov(X，X)+Cov(X，Y)=D(X)0。所以 X 与 X+Y 一定相关，应选 A。又由于 Coy(X，XY)=E(X 2Y)一 E(X).E(XY)=E(X2).E(Y)一(EX) 2.E(Y)=E(X2)一 E2(X)E(Y) 故选项 C、D 有时成立，有时不成立。【知
15、识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 D【试题解析】 根据已知可得 SX2 2（n1）， SY2 2（n1），且二者相互独立，所以 D(T)=4D (SX2+SY2)=4 =42(n 一 1)+2(n 一 1)=4(n 一 1)4。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 根据题意，如果要使得甲、乙的取胜概率相同，则必定有 P=(1 一 p)0 5+(1 一 p)0505 解得 P= 。所以只有当 p= 时，甲、乙胜负的概率相同。【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 由于 F(x)在任何一点都是右连续的，于是有 F(一 1+0)
16、=F(一 1)，即又因 PX=1=P一 1X1一 P一 1X1=F(1)一 F(一 1)一 于是有 F(10)=F(1)一 PX=1= 即 a+b= 联立与 解得【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 因为 X 服从参数为 1 的泊松分布，所以 E(X)=D(X)=1。从而由 D(X)=E(X2)一 E2(X)得 E(X2)=2。故 PX=E(X2)=PX=2= 。【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 首先求出 Y 的分布函数 FY(y)。由于 X 在 上服从均匀分布，因此 X 的概率密度函数 fX(x)与分布函数 FX(x)分别为FY(y)=
17、PYy=PsinXy。当一 1y1 时，F Y(y)=PXarcsiny=FX(arcsiny)=当 Y一 1 时，F Y(y)=0；当 y1时，F Y(y)=1。因此 Y 的概率密度函数 fY(y)为【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 因为 1， 2， 3 线性无关，所以“ 1+2， 2+23，X 3+Y1 线性相关” +2Y=0”，故所求的概率为 PX+2Y=0=PX+2Y=0，Y= +Px+2Y=0，Y =PX=1，Y= =PX=1=【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 设 Xi= (i=1，2，10)。则将第 i 堆的第一只鞋固定，
18、第二只鞋要与第一只鞋配对，只有在不同于第一只鞋剩下的 19 只中唯一的一只才有可能，故 PXi=1= ，也就有【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 1【试题解析】 因为 X 和 Y 相互独立，所以 X2 与 Y 相互独立， E(X 2+Y)=E(X2)+E(Y)， 由于 XN(0，1)，所以 E(X)=0，D(X)=1。 因此 E(X2)=D(X)+(EX)2=1，Y N(0，2)，故 E(Y)=0，所以 E(X2+Y)=1。【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 0.84【试题解析】 令 X=“在 100 次独立重复试验中成功的次数”，则 X 服从参数为(n，p)的二项
19、分布，其中 n=100，p=020，且 E(X)=np=20，根据棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，可知随机变量近似服从标准正态分布 N(0，1)。因此试验成功的次数介于 16 和 32 之间的概率 =P16X32 (3)一 (一 1)=(3)一1 一 (1)=0998 7 一(1 一 0841 3)=0 84。【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 t；2；n 一 1【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X n 是相互独立且同服从分布 N(0，1) ，所以 X1 一 X2 与 X32+X42 相互独立，X 1 与 Xi2 也相互独立，且有 X1一 X2N(0 ，2) ，
20、 N(0 ，1)，X 32+X42 一 2(2)， Xi2 2(n 一 1)，所以即 Y1 与 Y2 都服从 t 分布，分布参数分别为 2 和 n 一 1。【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 令事件 Ai 表示“ 第 i 次取出正品”，则其对立事件 表示“第 i 次取出次品”(i=1， 2)。依题意可知：()A 1A2 表示“两件都是正品”，且由概率乘法公式可得：P(A 1A2)=P(A1)P(A2|A1)= ()X 表示“两件都是次品“，且由概率乘法公式可得：【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 PY=0=PX0=0
21、，PY=1 一 P=P0X1=PX=0=1 一 p，PY=1=PX1=PX=1=p，于是 Y 的分布律与分布函数分别为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由于(X，Y)是二维离散随机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联合分布；应用解题一般模式，即可求得 Z 及(X，Z)的分布，进而判断 X、Z 是否独立。由题设知 将其改写成矩阵形式，求 Z、(X，Z)的分布：由此可得 Z服从参数 P= 的 01 分布；所以 (X，Z)的联合概率分布为因 PX=i，Z=j= =PX=iPZ=j(i，j=0，1)，故 X 与 Z 独立。【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 根据概率密度的
22、性质 +f(x，y)dxdy=1 ，可知 +又因为 + ，所以X 的边缘概率密度为 所以，条件概率密度为 一 x+ ，一 y+。【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 区域 G 如图 336 所示：可知区域 G 是菱形，其面积为 1。故【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 ()X ， Y 可能的取值均为 1，2，3。PX=1，Y=1=P=1，=1=P=1P=1= 同理 PX=2，Y=2=PX=3，Y=3= PX=2， Y=1=P=2，=1+P=1，=2=2.P=1.P=2=2同理 PX=3，Y=1=PX=3，Y=2= 由题意可知 Xy 始终成立，即X Y是不可能事件，故
23、PX=1，Y=2=PX=1，Y=3=PX=2，Y=3=0。(X，Y)的联合分布律如下表：【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 因为 PX ，根据题意，Y 服从二项分布 B（ 4， ），则有 E(Y2)=D(Y)+E2(Y)=npq+(np)2=4【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 记似然函数为 L()，则两边取对数得lnL()=Nln+(nN)In(1)，令 为 的最大似然估计。【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 已知总体 X 的概率函数的未知参数为 p，且总体 X 的一阶原点矩为 1(X)=E(X)= 用样本一阶原点矩的观测值 作为 1(X)的估计值，则可得参数 p 的估计值为 所以可得参数 P 的矩估计值为 参数P 的似然函数为 两边同时取对数，并对参数 p 求导，令导函数取值为 0， 解上述含参数 p 的方程，即得到 p 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计
