1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 47 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设事件 A 与 B 满足条件 AB= ，则( )（A）AB=（B） AB=（C） AB=A（D）AB=B2 设 A 和 B 为任意两不相容事件，且 P(A)P(B)0，则必有( )3 将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”； C=“反面最多出现一次 ”，则下列结论中不正确的是( )（A）A 与 B 独立（B） B 与 C 独立（C） A 与 C 独立（D）B C 与 A 独立4 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，其密度
2、函数为其中 A 为常数，则 的值为( )5 设随机变量 XN(， 2)，0，其分布函数 F(x)的曲线的拐点为(a，b)，则(a ， b)为( )（A）(，)（B）（C）（D）(0 ，)6 设相互独立的两随机变量 X 与 Y 均服从分布 B(1， )，则 PX2Y=( )7 设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数( )（A）是连续函数（B）至少有两个间断点（C）是阶梯函数（D）恰好有一个间断点8 已知随机变量 X 与 Y 的相关系数大于零，则( )（A）D(X+Y)D(X)+D(Y)（B） D(X+Y)D(X)+D(Y)（C） D(XY)D(X)+D(Y)（D）D
3、(X 一 Y)D(X)+D(Y)9 已知随机变量 X 服从标准正态分布，Y=2X 2+X+3，则 X 与 Y( )（A）不相关且相互独立（B）不相关且相互不独立（C）相关且相互独立（D）相关且相互不独立10 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本， 与 S2 分别是样本均值与样本方差，则( )二、填空题11 设 A、B 是两个随机事件，且 P(A)= =_。12 如果用 X，Y 分别表示将一枚硬币连掷 8 次正反面出现的次数，则 t 的一元二次方程 t2+Xt+Y=0 有重根的概率是 _。13 设随机变量 X 的密度函数 f(x)= 且 P1X 2=P2X3，则
4、常数 A=_；B=_；概率 P2X 4=_；分布函数 F(x)=_。14 已知随机变量 X 服从参数为 的指数分布， 则PX+Y=0=_；PY =_。15 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 (2x+1)(2y 一 1)，其中 (x)为标准正态分布函数，则(X，Y) N_。16 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为则 X2 和 Y2 的协方差 Cov(X2，Y 2)=_。17 设二维随机变量(X，Y)服从 N(，； 2， 2；0)，则 E(XY2)=_。18 设 X1，X 2，X n 为取自总体 XN( ， 2)的简单随机样本，记样本方差为S2，则 D(S2)_。三、解答题解答应写出文字
5、说明、证明过程或演算步骤。19 袋中有 a 个白球与 b 个黑球。每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率。20 已知连续型随机变量 X 的概率密度为 又知 E(X)=0，求 a，b 的值，并写出分布函数 F(x)。21 设随机变量 X 的概率密度为 求随机变量 Y=eX 的概率密度 fY(y)。22 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y) 联合分布率及关于 X 和关于 Y 的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。23 已知(x ，y)在以点(0，0) ，(1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服
6、从均匀分布。( )求(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)；()求边缘密度函数 fX(x)，f Y(y)及条件密度函数 fX|Y(x|y)，f Y|X(y|x)；并问 X 与 Y 是否独立；()计算概率PX0，Y0，24 已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为()试求(X，Y) 的边缘概率密度 fX(x)，f Y(y)，并问 X 与 Y 是否独立；()令 Z=XY，求 Z 的分布函数 FZ(y)(z)与概率密度 fZ(y)(z)。25 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品。从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求：()乙箱中次品件数
7、的数学期望；()从乙箱中任取一件产品是次品的概率。26 设 X1，X 2，X n(n2)为取自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 Yi=Xi 一 ，i=1 ，2， ，n。求：()Y i 的方差 D(Yi)，i=1 ，2，n；()Y i与 Yn 的协方差 Cov(Y1，Y n)。27 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布。现随机地取 16 只，设它们的寿命是相互独立的。求这 16 只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率。28 设总体 X 的概率密度为 其中参数(01)未知。X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值。求参
8、数 的矩估计量 。考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 47 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由对称性可知选项 C、D 都不成立(否则，一个成立另一个必成立)，而若选项 A 成立 这与已知 AB= 相矛盾，所以正确选项是 B。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 因为故应选C。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 试验的样本空间有 8 个样本点，即 =(正，正，正)，(正，反，反)，(反，反，反)。显然 B 与 C 为对立事件，且依古典型概率公式有由于 P(A)P(B
9、)=，即 P(AB)=P(A)P(B)。因此 A 与 B 独立，类似地 A与 C 也独立，又因必然事件与任何事件都独立，因此 BC 与 A 也独立，用排除法知，应选 B。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意得，f(x)关于 x= 是对称的，故故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 XN（， 2），其密度函数 f(x)= F(x)的拐点的 x 坐标 a 应满足 F“(a)=f(a)=0，故 a= 为 f(x)的驻点，当 x= 时，F（）= ，故曲线拐点在（， )，故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正
10、确答案】 D【试题解析】 PX2Y=PX=0+PX=1，Y=1= +PX=1PY=1故选项 D 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 考虑分布函数的连续性问题，需求出其分布函数。因为 X 服从指数分布，则其概率密度为 其中 0 为参数。由分布函数的定义 FY(y)=PYy=Pmin(X，2)y，当 y0 时，F Y(y)=0；当 y2 时，F Y(y)=1；当 0y 2 时，F Y(y)=PrainX，2y=PXy= 0yexdx=1 一 ey，故因为 FY(y)=1 一 e2FY(2)=1，所以 Y=2 是FY(y)的唯一间断点，故选 D。【知识模块】 概率论
11、与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 根据公式 D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X，Y) 确定正确选项。由于 X与 Y 的相关系数 所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)D(X)+D(Y)。D(XY)=D(X)+D(Y)一 2Cov(X，Y)D(X)+D(Y)。应选 D。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 通过计算 Cov(X，Y)来判定。由于 XN(0，1)，所以 E(X)=0， D(X)=E(X2)=1，E(X 3)=0，E(XY)=E(X)(2X 2+X+3)=2E(X3)+E(X2)+3E(X)=1， Cov(X，Y)=E(
12、XY)一 E(X)E(y)=10 X 与 Y 相关 与 Y 不独立，应选 D。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 根据正态总体抽样分布公式知应选 D。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 根据乘法公式 根据减法公式，有【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 根据题意可得，“方程 t2+Xt+Y=0 有重根” “X24Y=0” “X2=4Y”，其中 XB(8， )，Y=8 一 X，所求的概率为 PX2=4Y=PX2=4(8 一 X)=PX2+4X 一 32=0=P(X+8)(X 一 4)=0=PX=4=C8
13、4【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 由于 1=+f(x)dx=12Axdx=23Bdx= +B，又 P1X2=P2X3，即 122Axdx=23Bdx， P2X 4=24f(x)dx=23【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 e ；1 一 +e【试题解析】 已知 X 一 f(x)= 所求的概率为 PX+Y=0=PY=一 X=P|X|1=PX1+PX一 1=1exdx=e。根据全概率公式，可得【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 (X，Y) 的分布函数为 (2x+1)(2y 一 1)，所以可知 X，Y 独立。(2x+1)(2y
14、一 1)= =FX(x)FY(y)，根据正态分布 Xu(， 2)的标准化可知 FX(x)=PXx= 又因为【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 一 002【试题解析】 由 X 和 Y 的联合概率分布得于是有 E(X2)=120 5=05，E(Y 2)=1206=06，E(X 2Y2)=12028=028，所以Cov(X2，Y 2)=E(X2Y2)一 E(X2)E(Y2)=028030=一 002。【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 3+2【试题解析】 由于 =0，根据二维正态分布的性质可知随机变量 X，Y 独立，所以 E(XY 2)=E(X).E(Y2)。 已知(X
15、，Y)服从 N(，； 2， 2；0)，则 E(X)=，E(Y 2)=D(Y)+E2(Y)=2+2，所以 E(XY 2)=(2+2)=3+2。【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 根据性质 2(n 一 1)及 D2(n1)=2(n1)，得知D(S2)=D2(n 一 1)=2(n 一 1)，所以 D(S2)=【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 设事件 A1 表示第一次取出的是白球，事件 A2 表示第二次取出的也是白球，事件 B1 表示第一次取出的是黑球，事件 B2 表示第二次取出的也是黑球。如果两次取出的球颜
16、色相同，则用 A1A2+B1B2 表示。不放回抽取属于条件概率，P(A1)= ，P(A 2|A1)= 即 P(A 1A2)=P(A1)P(A2|A1)=P(B1)= ，P(B 2|B1)= 即P(B1B2)=P(B1)P(B2|B1)= 根据概率运算的加法原理，有 P(A1A2+B1B2)=P(A1A2)+P(B1B2)【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 1= +f(x)dx=0aexdx+02 0=E(X)=+xf(x)dx=0axxdx+02 解方程组【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 根据分布函数的定义，有 FY(y)=PYy=Pe Xy=于是当 y1 的时候
17、，满足 FY(y)=PXlny= 0lnyexdx。因此所求概率密度函数为【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 () 由于以(0，0) ，(1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形面积为 1，如图 332 所示，故由于fX(x)fY(y)f(xy)，所以 X 与 Y 不独立。【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 画出 f(x，y)非零定义域，应用定义、公式进行计算。因为 fX(x)fY(y)f(x，y)，所以 X 与 Y 不独立。() 分布函数法。Z=XY 的分布函数为 FZ(z)=PXYz= (1)当 z0 时，如图 3
18、37 所示，有(2)当 z0 时，如图 338 所示，有 由于 FZ(z)为 z的连续函数，除 z=0 外，导函数存在且连续，故【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 设 X 表示乙箱中次品的件数。()X 的可能取值为 0，1，2，3，所以 X 的概率分布为()设A 表示事件“ 从乙箱中任取一件产品是次品” ，由于X=0，X=1，X=2，X=3构成完备事件组，因此根据全概率公式，有【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 根据题设，知 X1，X 2，X n(n2)相互独立，且 E(Xi)=0，D(X i)=1(i=1，2，n)，()因为已知X1，X 2，X n(n2) 相互独
19、立，所以 Cov(X1，X n)=0，从而【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 根据独立同分布中心极限定理，假设 x 表示电器元件的寿命，则X 的概率密度为 随机取出 16 只元件，其寿命分别用X1，X 2，X 16 表示，且它们相互独立，同服从均值为 100 的指数分布，则 16只元件的寿命的总和近似服从正态分布。设寿命总和为 Y= Xi，其中 E(Xi)=100， D(Xi)=1002，由此得 E(Y)= E(Xi)=16100=1 600，D(Y)= D(Xi)=161002，由独立同分布中心极限定理可知，Y 近似服从正态分布 N(1 600，16100 2)，于是【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 令解方程得 的矩估计量为：【知识模块】 概率论与数理统计
