1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 48 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 随机事件 A 与 B 互不相容，0P(A)1，则下列结论中一定成立的是( )（A）AB=（B）（C） A=B（D）2 设 A，B 是任意两个随机事件，则（A）0（B）（C）（D）13 设 A、B、C 是三个相互独立的随机事件，且 0P(C) 1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( )4 设随机变量 x 的密度函数为 f(x)= 0，则概率 PX+a(a 0)的值( )（A）与 a 无关，随 的增大而增大（B）与 a 无关，随 的增大而减小（C）与 无关，随 a 的增
2、大而增大（D）与 无关，随 a 的增大而减小5 设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1) ，数 u满足 PXu =，若 P|X|x=，则 x 等于( )6 设相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从 P(1)分布，则 PX=1|X+Y=2的值为( )7 设随机变量 X1 与 X2 相互独立，其分布函数分别为则 X1+X2 的分布函数 F(x)=( )8 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量 3X 一 2Y的方差是( )（A）8（B） 16（C） 28（D）449 已知(X，Y)服从二维正态分布，E(X)=E(Y)= ， D(X)=D(
3、Y)=2，X 和 Y 的相关系数 =0，则 X 和 Y( )（A）独立且有相同的分布（B）独立且有不相同的分布（C）不独立且有相同的分布（D）不独立且有不相同的分布10 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)， ，S 2 分别为容量是 n 的样本的均值和方差，则可以作出服从自由度为 n 一 1 的 t 分布的随机变量是 ( )二、填空题11 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为_。12 已知事件 A 与 B 相互独立，P(A)=a，P(B)=b。如果事件 C 发生必然导致事件A 与 B 同时发生，则事件 A、B
4、、C 均不发生的概率为_。13 已知随机变量 X 的概率分布为 PX=k= (k=1，2，3)，当 X=k 时随机变量 Y在(0， k)上服从均匀分布，即 则PY25=_。14 若 f(x)= 为随机变量 X 的概率密度函数，则 a=_。15 设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布 N(， 2)，则 Pmax(X，Y) 一Pmin(X，Y)=_。16 已知随机变量 X 服从(1，2)上的均匀分布，在 X=x 条件下 Y 服从参数为 x 的指数分布，则 E(XY)=_。17 已知随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2)，如果随机变量 Y=X1X2X3 的方差 D
5、(Y)= ，则 2=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 袋中有 a 只白球，b 只红球， k(ka+b)个人依次在袋中取一只球，(1)作放回抽样；(2)做不放回抽样。求第 i(i=1，2，k)人取到白球 (记为事件 B)的概率。19 设连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)= 求：()常数A；( )X 的密度函数 f(x)；20 已知随机变量 X 的概率密度 ()求分布函数 F(x)。()若令 Y=F(x)，求 Y 的分布函数 FY(y)。21 设随机变量 X 在 1，2，3 中等可能地取值，随机变量 Y 在 1X 中等可能地取值。求：()二维随机变量 (X，Y)的联
6、合分布律及边缘分布律；()求在 Y=2 的条件下 X 的条件分布。22 设(X，Y)的联合分布函数为 其中参数 0，试求 X 与 Y 的边缘分布函数。23 两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布。首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度。24 设 A，B 为随机事件，且 ，令()求二维随机变量(X，Y) 的概率分布；()求 X 和 Y 的相关系数 XY。25 设由流水线加工的某种零件的内径 X(单位：毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 的为不合格品，其余为合格品。销售每件合格
7、品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X 有如下关系：问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大。26 设各零件的质量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为 05kg，均方差为 01kg，问 5 000 只零件的总质量超过 2 510kg 的概率是多少?27 已知总体 X 的数学期望 E(X)=，方差 D(X)=2，X 1，X 2，X n 是取自总体X 容量为 2n 的简单随机样本，样本均值为 ，统计量 ，求 E(Y)。28 设总体 X 的概率密度为 其中参数 (0)未知，X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 为
8、样本均值。()求参数 的矩估计量；() 求参数 的最大似然估计量。考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 48 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 AB= ，所以 =，应选 B。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 由事件运算法则的分配律知于是P(AB) 故选 A。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查多个随机事件间的独立性的关系。由 A、B 、C 相互独立可知，事件 A、B 的和、差、积 (或其逆)与事件 C 或 C 必相互独立，因此选项A、C、D 均被排除，
9、选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 概率 PX+a( 0)，显然与 a 有关，固定 随 a 的增大而增大，因而选 C。事实上，由于 1=+f(x)dx=A+exdx=Ae A=e，概率PX+a=A +exdx=e(e一 ea)=1 一 ea，与 无关，随 a 的增大而增大，故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 标准正态分布上 分位数的定义及条件 PXu = 与 P|X|x=，并考虑到标准正态分布概率密度曲线的对称性，可作出如图 322 及图 323 所示图形。如图 323 所示，根据标准正态分布的上 分位数
10、的定义，可知 x= ，故选项C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 =2e 2。PX=1，X+Y=2=PX=1，Y=1=PX=1PY=1=e 1e 1=e2。所以PX=1|X+Y=2= 故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意知 X1 为离散型随机变量，其分布律为F(x)=PX1+X2x=PX1=0PX1+X2x|X1=0+PX1=1PX1+X2x|X1=1 故选项 D 正确。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 根据方差的运算性质 D(C)=0(C 为常数)，D(CX)=C 2D(X
11、)以及相互独立随机变量的方差性质 D(XY)=D(X)+D(Y)可得 D(3X 一 2Y)=9D(X)+4D(Y)=44。故选项 D 正确。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 二维正态分布独立和不相关等价，故首先可以得到 X 和 V 独立；又(X， Y)服从二维正态分布，故其边缘分布服从一维正态分布，且 XN(， 2)，YN(， 2)。所以选 A。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 A【试题解析】 根据题设知，X iN(0 ， 2)，故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A：所取的两件产品中
12、至少有一件是不合格品。事件 B：所取的两件都是不合格品。因为 P(A)=1 一 =1 一(C 62C 102)= ，P(B)=C42 C102= ，且 P(A)P(B)，所以【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 (1 一 a)(1 一 b)【试题解析】 所求的概率为 ，已知“事件 C 发生必导致 A、B 同时发生”，显然是用于化简 的。已知 C AB，故 由吸收律可知，又因为 A 与 B 独立，故所求的概率为【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 根据题设可知 PX=k=1，PX=k= 根据全概率公式，可得【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【
13、试题解析】 依题意有 于是【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 0【试题解析】 Pmax(X ， Y)一 Pmin(X，Y)=1 一 Pmax(X，Y)一1一 Pmin(X，Y)=一 Pmax(X，Y)+Pmin(X，Y)=一 PX，Y+PX，Y=一 PX+PX，Y+PX，Y= 一 PX+PY。因为 X 与 Y 均服从正态分布 N(， 2)，所以 PX= ，PY= ，故Pmax(X，Y) 一 Pmin(X，Y)= =0。【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 1【试题解析】 根据题设知 fXY(y|x)= 所以(X ，Y)的联合密度函数f(x，y)=f Y(x)fY|X(
14、y|x)= E(XY)=+xyf(xy)dxdy=12dx0+=12dx0+exydy=12=2x. dx=1。【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 已知随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，则 X12，X 22，X 32 相互独立。又因 E(Xi)=0，E(X i2)=D(Xi)=2。故 D(Y)=D(X1X2X3)=E(X1X2X3)2 一 E2(X1X2X3)=EX12X22X32E(X1)E(X2)E(X3)2=E(X12)E(X22)E(X32)=(2)3=【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】
15、 (1)放回抽样的情况，显然有 P(B)= (2)不放回抽样的情况，每人取一只球，每种取法是一个基本事件，共有(a + b)(a + b1)(a + b 一 k+1)=A a + bk 个基本事件，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同。当事件 B 发生时，第 i 人取的应该是白球，它可以是 a 只白球中的任一只，有 a 种取法。其余被取的 k 一 1 只球可以是其余 a + b 1 只球中的任意 k 一 1 只，共有( a + b 1)(a + b2)a + b1 一(k 一 1)+1=A a + b 1k1 种取法，于是事件 B 包含 a A a + b 1k1个基本事件，故【知识模块】
16、 概率论与数理统计19 【正确答案】 () 因 X 是连续型随机变量，故其分布函数 F(x)在 x=1 处连续，即 所以 A=1。()当 x0 时，F(x)=0，所以 f(x)=Fx)=0；当 0x1 时，F(x)=x 2，所以 f(x)=F(x)=2x；当 x1 时，F(x)=1，所以f(x)=F(x)=0。综上所述【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 直接根据 F(x)=PXx，F Y(y)=PF(X)y求解。()令Y=F(X)，则由 0F(x)1 及 F(x)为 x 的单调不减连续函数知 (如图 326 所示)，当 y0 时，F Y(y)=0；当 y1 时，F Y(y)=1；
17、当 0y 时，F Y(y)=PF(X)y=PF(X)0+P0F(X)y 当 y1 时，FY(y)=PF(X)y=PF(X)0+P0F(X) +P F(X)y=0+P0X 1+P1XF 1(y)【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 () 由题意可知 PX=1，Y=2=PX=1，Y=3=PX=2，Y=3=0。由乘法公式，可得 Px=1，Y=1=PX=1PY=1 | X=1= PX=2，Y=1=PX=2 PY=1 | X=2= PX=3，Y=1=PX=3PY=1 | X=3= PX=2，Y=2=PX=2 PY=2 | X=2=PX=3，Y=2=PX=3 PY=2 | X=3= PX=3，
18、Y=3=PX=3PY=3 | X=3= 所以X，Y的联合分布律为进一步得到边缘分布()在 Y=2的条件下 X 可能的取值为 2，3，因此从而得到在 Y=2 条件下随机变量 X 的条件分布为【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 当 x0 时，f X(x)=PXx=F(x， +)=1 一 ex；当 x0 时，F X(x)=0，所以关于 X 的边缘分布函数为 同理，关于 Y 的边缘分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 设先后开动的两台自动记录仪无故障工作的时间分别为 X1 与X2，则 T=X1 + X2，X 1，X 2 的密度函数均为 直接根据两个独立的连续型随机变
19、量之和的卷积公式，可得 fT (t)= + f(x)f(t 一 x)dx= 0 t 5e5x.5e 5(tx) =F T (t0)从而其概率密度为 fT(t)=F T (t)=【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 () 因为 P(AB)=P(A)P(B|A)= ，所以PX=1，Y=1=P(AB)= PX=1，Y=0= =P(A)一 P(AB)= PX=0，Y=1= =P(B)一 P(AB)= PX=0，Y=0= =1 一P(A+B)=1 一 P(A)一 P(B)+P(AB)= (或 PX=0，Y=0=1 一 故(X， Y)的概率分布为 ()X，Y 的概率分布分别为所以 Cov(X，
20、Y)=E(XY)一 E(X).E(Y)= ，从而【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法，有 E(T)=一 1PX 10+20P10X12一 5PX12=一 (10 一 )+20(12 一 )一 (10 一 )一 51 一 (12 一 )=25(12 一 )一 21(10 一 )一 5，可知销售利润的数学期望 E(T)是 的函数。要求 E(T)的最大值，令其一阶导数为 0，有因实际问题一定可取到最值，所以当 =11 一 时，销售一个零件的平均利润最大。【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 根据独立同分布中心极限定理，设 Xi
21、 表示第 i 只零件的质量(i=1，2，5 000)，且 E(Xi)=05，D(X i)=01 2。设总质量为 Y= Xi，则有E(Y)=5 00005=2 500， D(Y)=5 00001 2=50，根据独立同分布中心极限定理可知 Y 近似服从正态分布 N(2 500，50)，而 近似服从标准正态分布 N(0，1)所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 因为总体分布未知，将 Y 化简，根据数字特征性质计算 E(Y)。因为 又 E(Xi)=，D(X i)=2，E(X i2)=2+2， 所以=2n2+2n2+2n2 一 22 一4n2=2(n 一 1)2。【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 () 因为 E(X)= ，所以 E(X)=0+2x2exdx= 为总体的矩估计量。() 构造似然函数故其最大似然估计量为【知识模块】 概率论与数理统计
