1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 53 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A、B 为两个随机事件，且 B A，则下列式子正确的是( )（A）P(A+B)=P(A)（B） P(AB)=P(A)（C） P(B|A)=P(B)（D）P(BA)=P(B)一 P(a)2 设事件 A、B、C 满足 P(ABC)0，则 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)的充要条件是( )（A）P(A|C)=P(A)（B） P(B|C)=P(B)（C） P(AB|C)=P(AB)（D）P(B|AC)=P(B|C)3 连续抛掷一枚硬币，第 k(kn)次正面向上在第 n
2、 次抛掷时出现的概率为( )（A）C nk( )n1（B） Cnk( )n（C） Cn1k1( )n1（D）C n1k1( )n4 设随机变量 X 在0，1 上服从均匀分布，记事件则( )（A）A 与 B 互不相容（B） B 包含 A（C） A 与 B 对立（D）A 与 B 相互独立5 设随机变量(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，f X(x)，f Y(y)分别表示X，Y 的概率密度，则在 Y=y 条件下，X 的条件概率密度 fX|Y(x|y)为( )（A）f X(x)（B） fY(y)（C） fX(x)fX(y)（D）6 设(X，Y) 为二维随机变量，则下列结论正确的是(
3、)（A）若 X 与 Y 不相关，则 X 与 Y2 不相关（B）若 X 与 Y2 不相关，则 X 与 Y 不相关（C）若 X 与 Y 均服从正态分布，则 X 与 Y 独立和 X 与 Y 不相关等价（D）若 X 与 Y 均服从 01 分布，则 X 与 Y 独立和 X 与 Y 不相关等价7 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布。记 Y=maxX，1，则 E(Y)=( )（A）1（B） 1+e1（C） 1 一 e1（D）e 18 设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U=XY， V=X+Y，则随机变量 U 与 V 必然( )（A）不独立（B）独立（C）相关系数不为零（D）相关系数为零9 设 X
4、1，X 2，X 3，X 4 是取自总体 N(0，1)的简单随机样本，已知+a(X1X2+X3X4)，a1 服从 2(n)，则 n+a=( )（A）5（B） 4（C） 3（D）2二、填空题10 10 个同规格的零件中混入 3 个次品，现在进行逐个检查，则查完 5 个零件时正好查出 3 个次品的概率为_。11 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1和 2，现从由 A 和 B 的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 A 厂生产的概率是_。12 设随机变量 X 的概率分布 P(X=k)= ， k=1，2，其中 a 为常数。X的分布函数为 F(x)，已知 F
5、(b)= ，则 b 的取值应为_。13 设 X 服从参数为 的泊松分布， PX=1=PX=2，则概率 P0X 23=_。14 设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X2 在(0，4)内的概率密度 fY(Y)=_。15 设二维随机变量(X，Y)在 xOy 平面上由直线 y=x 与曲线 y=x2 所围成的区域上服从均匀分布，则 P0x =_。16 相互独立的随机变量 X1 与 X2 均服从正态分布 N(0， )，则 D(|X1X2|)=_。17 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为 04，则 X2 的数学期望 E(X2)=_。18 设随机变量
6、 X 和 Y 的相关系数为 09，若 Z=2X 一 1，则 Y 与 Z 的相关系数为_。19 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XB(5，08)，Y N(1，1)，则根据切比雪夫不等式有 P0x+y 10_。20 设 X1，X 2，X 3，X 4 是取自正态总体 N(0，2 2)的简单随机样本， Y=a(X1 一 2X2)2+b(3X3 一 4X4)2，则当 a=_，b=_ 时，统计量服从 2 分布，自由度为_。21 设 X1，X 2，X n 是来自参数为 的泊松分布总体的一个样本，则 的极大似然估计量为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 设有两箱同类零件，第一箱内
7、装 5 件，其中 1 件是一等品，第二箱内装 5 件，其中 2 件是一等品，现在从两箱中随机挑一箱，然后从该箱中先后不放回地随机取出 2 件零件。求：()先取出的零件是一等品的概率；()在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率。23 ( )设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，证明：对任意非负实数 s 及 t，有PXs+t|Xs=PXt()设电视机的使用年数 X 服从参数为 01 的指数分布，某人买了一台旧电视机，求还能使用 5 年以上的概率。24 设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为试求：()X 与 Y 的边缘分布律，并判断 X 与 Y 是否相互独立；()
8、PX=Y。25 将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮筒。记 X 为 1 号邮筒内信的数目，Y 为有信的邮筒数目。求：()( X，Y) 的联合概率分布；() Y 的边缘分布；()在 X =0 的条件下，关于 Y 的条件分布。26 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 求：()(X，Y) 的边缘概率密度 fX(x)，f Y(y)；()Z=2XY 的概率密度 fZ(z)。27 假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 G=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，记 ()求 U 和 V 的联合分布；()求U 和 V 的相关系数 。28 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为 f(x；)=
9、其中 0 为未知参数。又设 x1，x 2，x n 是 X 的一组样本观测值，求参数 的最大似然估计值。考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 53 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 如图 311 所示，可见 A+B=AB=A，AB=AB=B，B 一 A=于是 P(A+B)=P(A)，P(AB)=P(B)，P(BA)= =0，故选项 A 正确。C 选项只有当 P(A)=1 时才成立。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，所以所以 P(B|AC)=P(B
10、|C)。选D。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 依据题意，总共抛掷 n 次，其中有 k 次出现正面，余下的为 n 一 k次反面。 第 n 次必是正面向上，前 n 一 1 次中有 nk 次反面，k 一 1 次正面(如上图所示)。根据伯努利公式，所以概率为【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 由图 321 可立即得到正确选项为 D，事实上，根据题设可知【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，那么 X 与 Y 独立，且 f(x， y)=fY(x)fY(y)。则 故正
11、确答案为 A。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项 D：设 XB(1，p)，Y 一 B(1，q)，当 X 与 Y 独立时 X与 Y 不相关。反之，当 X 与 Y 不相关，即 E(XY)=E(X)E(Y)=pq 时，可得下列分布律 由此可知 X 与 Y 独立。故此时 X 与 Y 独立和 X 与 Y 不相关等价，故选项 D 正确。根据不相关的性质可排除选项 A 和 B。对于选项 C，当 X 与 Y 均服从正态分布时，(X，Y) 未必服从二维正态分布，故选项 C 不正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 随机变量 X 的密度函数为 E
12、(Y)=EmaxX，1=+maxx，1 f(x)dx= 0+maxx，1e xdx=01exdx+1+xexdx=1+e1。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 因为 Cov(U，V)=E(UV)一 E(U).E(V)=E(X2 一 V2)一 E(XY).E(X+Y)=E(X2)一 E(Y2)一 E2(X)+E2(Y)=D(X)一 D(Y)=0。则所以 U 与 V 的相关系数为零，故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 +a(X1X2+X3X4)= a(X1+X2)2+ a(X3+X4)2= (X1+X2)2+ (X3+X4)2，由
13、Y 2(n)可知 n=2，且(X1+X2)一 N(0，1)，故 1=D (X1+X2)= D(X1+X2)=a，则 n+a=3，选 C。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 记 A=“查完 5 个零件正好查出 3 个次品”，现要求的是 P(A)的值。事实上，事件 A 由两个事件合成：B=“前 4 次检查，查出 2 个次品”和 C=“第 5 次检查，查出的零件为次品”，即 A=BC，由乘法公式 P(A)=P(BC)=P(B)P(C|B)，事件 B 是前 4 次检查中有 2 个正品 2 个次品所组合，所以 P(B)= 已知事件 B 发生的条件下，即已检查了 2
14、正 2 次，剩下 6 个零件，其中 5 正 1 次，再要抽检一个恰是次品的概率 P(C|B)= 。故 P(A)=【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A=抽到的产品为工厂 A 生产的，事件 B=抽到的产品为工厂 B 生产的 ，事件 C=抽到的产品是次品，则 P(A)=06，P(B)=04，P(C|A)=0 01，P(C|B)=0 02，根据贝叶斯公式可知【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 3b4【试题解析】 首先确定 a，由当ixi+1 时， F(x)= 故i=3，3b4。【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 2e 2【试题解析】 已
15、知 PX=k= e(k=0，1，)，由于 PX=1=PX=2，即e，解得 =2，所以 P0X 23=PX=1=2e 2。【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 首先求出在(0，4)上 Y 的分布函数 FY(y)。当 0y4 时，有 FY(y)=PYY=PX2y= 故 fY(y)=FY(y)=【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 由直线 y=x 与曲线 Y=x2 所围成的区域面积为 A=01(x 一 x2)dx= ，所以(X，Y) 的概率密度函数为【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 根据题意随机变量 X1 和 X2 相
16、互独立，且服从正态分布 ，设 Z=X1X2，则 ZN(0，1)，其概率密度函数为 D(|X1 一 X2|)=D(|Z|)=E(|Z|2)一 E2(|Z|)=E(Z2)一 E2|Z|=D(Z)+E2(Z)一 E2|Z|，显然，D(Z)=1，E(Z)=0。 E(|Z|)=+|z|(z)dz 所以，D(|X 1一 X2|)=1+0【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 18.4【试题解析】 根据题意可知，X 服从 n=10，p=0 4 的二项分布，因此有 E(X)=np=4，D(X)=np(1 一 p)=24， 因此 E(X 2)=D(X)+E2(X)=184。【知识模块】 概率论与数理统
17、计18 【正确答案】 0.9【试题解析】 Cov(Y，Z)=Coy(Y，2X 一 1)=2Cov(X，Y) ，D(Z)=D(2X 一 1)=4D(X)。Y 与 Z 的相关系数 XY 为【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 0.928【试题解析】 因为 E(X)=4，D(X)=08，E(Y)=1，DY=1，所以 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=5，D(X+Y)=D(X)+D(Y)=18。根据切比雪夫不等式，可得 P0x+Y10=P|x+Y 一 5|51 一 即 P0X+Y100928。【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 根据题意 X1N(0，2 2)且相
18、互独立，所以 X1 一 2X2N(0，20)，3X3 一 4X4N(0，100) ，故 N(0 ，1)且它们相互独立，根据 2 分布典型模式及性质知 (X1 一 2X2)2+ (3X34X4)2 2(2)，所以 a=Y 2(2)，所以自由度为 2。【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 因为 p(xi；)=Px=x i= e(xi=0，1，)，则极大似然估计为两端取对数，得两端求微分并令解得 为极大似然估计量。【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 设 Hi 表示“ 被挑出的是第 i 箱”，i=1，2，则 H1
19、，H 2 为完备事件组。A 表示“先取的一件是一等品” ，B 表示“ 在同一箱中取的第二件是一等品”。()由全概率公式得：P(A)=P(H 1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2) ()P(B|A)表示的是“ 在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率”。由条件概率和全概率公式可得【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 () 已知随机变量 X 服从指数分布，对于任意的非负实数，根据指数分布的分布函数 F(x)=1 一 ex，根据结论对任意非负实数 s 及 t，有因为 X 是连续的随机变量，根据分布函数的定义，对任意实数 x，有 PXx=PXx=F(x)。PX
20、t=1 一 PXt=1 一 PXt=1F(t)=1 一(1 一 et)=et，因此可得 PXs+t | xs=PXt成立。()已知电子仪器的使用年数服从指数分布 Xe(0 1)，则其概率分布函数为 根据()的结论，P(Xs+t|Xs)=P(Xt)=ex，假设某人买回来的电视机已经用了 x 年，则它还可以使用五年以上的概率为 P(Xx+5 | X5)=P(X5)=e015 =e05 0606 5。【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 () 因为边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和，所以 p1 =p2 =p3 =p4 =(pi =PX=i，pj =PY=j)假如随机变量 X
21、 与 Y 相互独立，就应该对任意的 i，j 都有pij=pi pj ，而本题中 p14=0，但是 p1 与 p4 均不为零，所以 p14p1 p4 故 X 与 Y不是相互独立的。【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 () 根据题意，(X，Y) 的全部可能取值为 (0，1)，(0 ，2)，(0，3)，(1，2)，(1，3)，(2，2) ，(3，1)，再分别计算相应的概率。事件 X=0，Y=1表示“三封信均投入后 3 个邮筒中的某一个邮筒内 ”。根据古典概型公式，样本空间所含样本点数为 43=64，事件X=0，Y=1 的样本点数为 C31=3，于是 PX=0，Y=1=类似地可以计算出各
22、有关概率值，列表如下：()从表中看出 Y 只取 1，2，3 三个可能值，相应概率分别是对表中 pij 的各列求和。于是 Y 的边缘分布为表中最下行值。在 X=0 条件下，关于 Y 的条件分布，可以应用上述公式计算出来，列表如下：【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 () 已知(X，Y) 的概率密度，所以关于 X 的边缘概率密度 fX(x)= + f(x，y)dy= 所以，关于 Y 的边缘概率密度 fY(y)= + f(x，y)dx= ()设 FZ(z)=PZz=P2XYz，(1)当 z0 时，F Z(z)=P2XYz=0；(2)当0z2 时，F Z(z)=P2XYz=z一 (3)当
23、 z2时，F Z(z)=P2XYz=1。所以 FZ(z)的即分布函数为：F Z(z)= 故所求的概率密度为：f Z(z)=【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 () 已知(U，V) 是二维离散型随机变量，只取 (0，0)，(1 ，0)，(1，1)各值，且 PU=0， V=0=pXY，X2Y=PXY= ，PU=1，V=0=PXY，X2Y=PYX2Y= ，PU=1，V=1=PXY，X 2Y=PX2r= ，于是 (U，V)的联合分布为()从()中分布表看出【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 似然函数为 L(0)=L(x1，x 2， xn；)=当 xi(i=1，2，n)时，L()0，取对数，得 lnL(0)=nln2 一 (xi 一 0)。因为 =2n0，所以 L(0)单调增加。由于必须满足 xi(i=1，2，n)，因此当 取 x1，x 2，x n 中最小值时，L()取最大值，所以 的最大似然估计值为 =minx1，x 2，x n。【知识模块】 概率论与数理统计
