1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 57 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 对任意两个事件 A 和 B，若 P(AB)0，则( ) （A）AB（B）（C） P(A)P(B)0（D）P(AB)P(A)2 设随机变量 XN(， 2)，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有( )（A）F(a ) F(a )1（B） F(a)F(a) 1（C） F(a)F(a)1（D）F(a ) F(a)13 设 X，Y 为两个随机变量，若 E(XY)E(X)E(Y) ，则( ) （A）D(XY) D(X)D(Y)（B） D(XY)D(X)D(Y)（C） X，Y
2、独立（D）X，Y 不独立4 设随机变量 XF(m，m)，令 PP(X1)，qP(X1)，则( )（A）pq（B） pq（C） pq（D）p，q 的大小与自由度 m 有关5 设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，为使得 F(x)aF 1(x)bF 2(x)为某一随机变量的分布函数，则有( )6 设随机变量 XU1，1，则随机变量 UarcsinX，VarccosX 的相关系数为( )（A）1（B） 0（C）（D）1二、填空题7 设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)07，P(AB)03，则P _ 8 设 XB(2，p)，YB(3，p)，且 P(X1) ，则 P(Y1)
3、_9 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从二项分布 B(n，p)，则 Pmin(X，Y)0_10 设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，令 Y4X3，则 E(Y)_ ，D(Y) _ 11 若随机变量 X1，X 2，X n 相互独立同分布于 N(，2 2)，则根据切比雪夫不等式得 P 2_ 12 设总体 X 的分布规律为 P(Xi) (i1，2，) ，X 1，X 2，X n 为来自总体的简单随机样本，则 0 的矩估计量为_(其中 0 为正整数)13 设 10 件产品中有 4 件不合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，则另一件产品也不合格的概率为_14 设随机变量 X 的密度函数为 f
4、(x) 则PXE(X)2D(X)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 甲、乙、丙厂生产产品所占的比重分别为 60，25，15，次品率分别为3，5，8求任取一件产品是次品的概率16 设 XU(0，2) ，YX 2，求 Y 的概率密度函数17 设二维随机变量(X，Y)的联合密度为发 f(x,y) (1)求 c； (2)求 X，Y 的边缘密度，问 X，Y 是否独立?(3)求 Zmax(X，Y) 的密度18 某流水线上产品不合格的概率为 p ，各产品合格与否相互独立，当检测到不合格产品时即停机检查设从开始生产到停机检查生产的产品数为 X，求 E(X)及 D(X)19 设随机变量 X
5、 的数学期望和方差分别为 E(X) ，D(X) 2，用切比雪夫不等式估计 PX320 设总体 X 的概率密度为 f(x) ，其中 1 是未知参数，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求参数 的估计量21 设 A，B 同时发生，则 C 发生证明：P(C)P(A)P(B)122 设随机变量 X，Y 独立同分布，且 P(Xi) ，i1，2，3设随机变量UmaxX，Y，VminX，Y(1)求二维随机变量 (U，V)的联合分布；(2)求ZUV 的分布；(3)判断 U，V 是否相互独立? (4)求 P(UV)23 n 把钥匙中只有一把可以
6、把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：(1)试开过的钥匙除去； (2)试开过的钥匙重新放回24 设 X1，X 2，X n(n2)相互独立且都服从 N(0，1)，YiX i (i1，2，n)求：(1)D(Y i)(i1， 2，n)； (2)Cov(Y 1，Y n)； (3)P(Y1Y 20)25 设 X1，X 2，X n(n2)是来自总体 XN(0 ，1)的简单随机样本，记 YiX i(i1，2，n) 求： (1)D(Yi)；(2)Cov(Y 1，Y n)考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 57 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中
7、，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 P(AB)P(A) P(AB)，选(D)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 XN(， 2)，所以 F(a) F(a)1，选(B)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 E(XY)E(X)E(Y) ，所以 Cov(X，Y)0，又 D(XY) D(X)D(Y)2Cov(X，Y)，所以 D(XY) D(X) D(Y)，选(B)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 xF(m，m) ，所以 F(m，m)，于是 qP(X1)P( 1)，故 pq
8、，选(C)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 根据性质 F()1，得正确答案为(D)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 当 PYaX b1(a0)时， XY1；当 PYaXb 1(a0)时，XY 1因为 arcsinxarccosx (1x1)，即 UV 或 UV ，所以 XY1.【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题7 【正确答案】 06【试题解析】 由 P(AB)P(A) P(AB)03 及 P(A)07，得 P(AB)04，则 P 1P(AB)06【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 由 P(X1) 1P(
9、X 0)1(1p) 2 得 p ，P(Y1)1(1 p) 31 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 2(1p) 2(1p) 2n【试题解析】 令 A(X0)，B(Y0) ，则 Pmin(X，Y)0P(AB)P(A)P(B)P(AB) P(X0)P(Y0)P(X 0,Y0)2(1p) 2(1 p) 2n【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 5，32【试题解析】 因为 XP(2)，所以 E(X)D(X)2，于是 E(Y)4E(X)35，D(Y) 16D(X)32【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 因为 X1，X 2，X n 相互独立同分布于 N(
10、，2 2)，所以，从而 【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 1【试题解析】 E(X) ，令 E(X) ，则 的矩估计量为 1【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 令 A 第一件产品合格 ，B 第二件产品合格，则所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 E(X) 01xf(x)dx 016x2(1x)dx E(X2) 01x2f(x)dx 0163(1x)dx 则 D(X) ，于是PXE(X)2D(X)【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 A1抽取到甲厂产品
11、，A 2抽取到乙厂产品，A 3抽取到丙厂产品，B抽取到次品，P(A 1)06，P(A 2)025，P(A 3)015，P(B A 1)003，P(BA 2)005，P(BA 3)008，由全概率公式得 P(B) P(Ai)P(BA i)060 03 0250 050150084 25【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 FY(y)P(Yy)P(X 2y)当 y0时，F Y(y)0；当 y0 时，F Y(y)【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (1)1 c 0 dx0 xex(y1) dyc c1(2)当 x0时，f X(x)0；当 x0 时，f X(x) 0 xex(
12、y1) dye x 当 y0时，f Y(y)0；当 y0 时，fY(y) 0 xex(y1) dx 显然当 x0，y0 时，f(x，y)f X(x)fY(y)，所以 X，Y 不相互独立(3)当 z0时，F Z(z)0；当 z0 时，F Z(z)P(Zz)Pmax(X，Y)zP(Xz，Yz) 0zdx0zxex(y1) dy1e z 【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 X 的分布率为 P(Xk)(1p) k1 p(k1，2，)E(X) p k(1p) k1 pS(1p) 10故E(X2)p k2(1p) k1 pS(1p) 190，则 D(X)一 E(X2)一E(X)2190100
13、90【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 PX 31 【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 (1)由于总体的均值为 E(X) xf(x)dx 01(1)x 1 dx，令 E(X) ，则未知参数 的矩估计量为 (2)设(x1，x 2，x n)为来自总体(X 1，X 2，X n)的观察值，则关于参数 的似然函数为 ，lnL()nln(1) lnxi，令 lnxi0，得参数 的最大似然估计值为 ，参数 的最大似然估计量为【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 因为 A，B 同时发生，则 C 发生，所以 AB C，于是 P(C)P(AB)，而 P(AB)P(A)P(B
14、)P(AB)1 ，所以有 P(AB)P(A)P(B) 1，于是 P(C)P(A)P(B) 1【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 (1)由于 X，Y 相互独立，所以 P(UVi) P(Xi ，Yi)P(Xi)P(Yi) ，i1,2,3；P(U2，V1)P(X2，Y 1)P(X1，Y2) ；P(U3，V1)P(X3，Y1)P(X1，Y 3) ；P(U3，V2)P(X3，Y2)P(X2，Y3) ；P(U1，V 2)P(U1，V3)P(U2，V3)0所以(U， V)的联合分布律为(2)P(Z1) P(UV1)P(U1，V1) ；P(Z2)P(UV 2)P(U1，V 2)P(U2，V1)
15、；P(Z3)P(UV3)P(U1，V 3)P(U3，V1)；P(Z4) P(UV4)P(U2，V2) ；P(Z6)P(UV 6)P(U2，V3)P(U3，V2) P(Z9)P(UV 9)P(U3，V3)所以 X 的分布律为 (3)由于 P(U1)P(X1，Y1) ，P(V1)P(X1，Y1)P(X2，Y 1)P(X3，Y1)P(X1，Y2)P(X1，Y3) 而 P(U1)P(V1)P(U1，V1) ，所以 U，V 不相互独立 (4)P(UV)P(U1，V1)P(U2，V2)P(U3，V3) 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 (1)设 X 为第一种情况开门次数， X 的可能取值为
16、1，2，n且 P(Xk) ，k1,2,n注意：设第 3 次才能打开门，则(2)设 Y 为开门次数， y 的可能取值为 1，2， n，【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 (1)D(Y i)Cov(Y i，Y i)D(X i)D(2)Cov(Y1，Y n)Cov(3)Y1Y nX 1X n，因为X1，X 2，X n 独立且都服从正态分布，所以 Y1Y n 服从正态分布，E(Y 1Y n) 【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 (2)因为X1，X 2，X n(n2) 相互独立，所以 Cov(Y1，Y n)Cov(X 1 )Cov(X 1，X n)Cov(X 1， ，【知识模块】 概率论与数理统计
