1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 60 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为两个随机事件，其中 0P(A)1，P(B)0 且 P(BA)P(B )，下列结论正确的是( ) （A）P(AB)P( B)（B） P(AB)P( B)（C） P(AB)P(A)P(B)（D）P(AB)P(A)P(B)2 设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，Y E(1)，则 P(XY1)等于( )（A）1（B） 1 一 e（C） e（D）2e3 若 E(XY)E(X)E(Y)，则( )（A）X 和 Y 相互独立（B） X2 与 Y2 相互独立（C）
2、D(XY)D(X)D(Y)（D）D(XY) D(X) D(Y)4 以下命题正确的是( )（A）若事件 A，B，C 两两独立，则三个事件一定相互独立（B）设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 独立，则 A，B 一定互斥（C）设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 互斥，则 A，B 一定独立（D）A，B 既互斥又相互独立，则 P(A)0 或 P(B)05 设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 FX(x)，F Y(y)，则 Zmin(X，Y)的分布函数为( ) （A）F Z(z)maxF X(z)， FY(z)（B） FZ(z) minFX(z)，F Y(z)（C） FZ(z) 11 F
3、 X(z)1F Y(z)（D）F Z(z)F Y(z)6 设 X1，X 2，X n 是来自正态总体 XN( ， 2)的简单随机样本，记则服从 t(n1)分布的随机变量是( ) 二、填空题7 设 P(A)P(B)P(C) ，P(AB)0，P(AC)P(BC) ，则 A，B，C 都不发生的概率为_8 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，且 E(X1)(X2)8，则_9 随机变量 X 的密度函数为 f(x) 则 D(X)_10 设常数 a0，1 ，随机变量 XU0，1，YXa ，则 E(XY)_11 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X 10 为总体的简单样本，S 2 为样本方差，则D(S
4、2)_12 设 A，B 是两个随机事件，P(AB)04，P(BA)04， 07，则 P(AB)_13 设随机变量 X 的概率密度为 fX(x) (x)，Y X 2 的概率密度为_14 设随机变量 XP()，且 E(X1)(X2) 1，则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设袋中有 5 个球，其中 3 个新球，2 个旧球，从中任取 3 个球，用 X 表示 3 个球中的新球个数，求 X 的分布律与分布函数16 袋中有 10 个大小相等的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次取 1个，定义两个随机变量如下：就下列两种情况，求(X， Y)的联合分布律： (1)
5、第一次抽取后放回； (2) 第一次抽取后不放回17 设一设备开机后无故障工作时间 X 服从指数分布，平均无故障工作时间为 5 小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作 2 小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时问 Y 的分布18 设 Xf(x) 对 X 进行独立重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 的次数，求 E(Y2)19 某保险公司统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20，用 X 表示抽取的100 个索赔户中被盗索赔户的户数(1)求 X 的概率分布；(2)用拉普拉斯定理求被盗户数不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值20 设某元件的使用寿命 X 的概率密
6、度为 f(x；) 其中 0为未知参数又设(x 1，x 2，x n)是样本(X 1，X 2，X n)的观察值，求参数 的最大似然估计值21 设一设备在时间长度为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)P(t) (1)求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；(2)求设备在无故障工作 8 小时下，再无故障工作 8 小时的概率22 设随机变量(X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y) (1)求 P(X2Y)； (2)设 ZX Y ，求 Z 的概率密度函数23 某商店经销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10 ，20 上的均匀分布商店每出售一单位商品可
7、获利 1000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利 500 元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值24 电信公司将 n 个人的电话资费单寄给 n 个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X 表示收到自己电话资费单的人的个数，求 E(X)及 D(X)25 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)(0)从该总体中抽取简单随机样本X1，X 2，X 2n(n2) 令 ，求统计量的数学期望26 设总体 XU0， ，其中 0，求 的极大似然估计量，判断其是否是 的无偏估计量考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 60 答案与解析一、选择题下列每题给出的四
8、个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 整理得P(AB)P(A)P(B)，选(C)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 由 XU(0，2)，YE(1) 得再由 X，Y 相互独立得(X， Y)的联合密度函数为 则P(XY1)1P(X Y1)1 dxdy【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 E(XY)E(X)E(Y) ，所以 Cov(X，Y)E(XY)E(X)E(Y)0，而 D(XY) D(X)D(Y)2Cov(X，Y)，所以 D(XY) D(X) D(Y)，选(D) 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答
9、案】 D【试题解析】 当 P(A)0，P(B) 0 时，事件 A， B 独立与互斥是不相容的，即若 A，B 独立，则P(AB)P(A)P(B)0，则 A，B 不互斥；若 A，B 互斥，则 P(AB)0P(A)P(B)，即 A，B 不独立，又三个事件两两独立不一定相互独立，选 (D)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(z)P(Zz)Pmin(X ，Y)z1Pmin(X，Yz 1P(Xz，Yz)1P(Xz)P(Yz) 11P(Xz)1P(Yz)11 F X(z)1F Y(z)，选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】
10、 概率论与数理统计二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 A，B，C 都不发生的概率为1P(ABC)，而 ABC AB 且 P(AB)0，所以P(ABC)0，于是 P(AB C) P(A)P(B)P(C)P(AB) P(AC) P(BC)P(ABC) ，故 A，B，C 都不发生的概率为 【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 由随机变量 X 服从参数为 的指数分布，得 E(X)于是 E(X2)D(X) E(x) 2 ，而 E(X1)(X 2)E(X 2)E(X) 2 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 E(X) xf(x)dx 1 0x(1x)
11、dx 01x(1x)dx0，E(X 2) 11x2(1 x)dx 2 01x2(1x)dx ，则 D(X)E(X 2)E(X) 2 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 E(XY)EXXa 01xxaf(x)dx【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 因为 P(AB)04，P(BA) 04，所以 P(A)P(B)且 P(AB)04P(A)，解得P(A)P(B) ，于是 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 F Y(y)
12、P(Yy)P(X 2y)当 y0 时，F Y(y)0；当 y0 时，F Y(y)P(X 2y) P【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 1【试题解析】 因为 XP()，所以 E(X)，D(X)，故 E(X2)D(X) E(X)2 2 由 E(X1)(X2)E(X 23X2) E(X 2)3E(X)2 22 21得 1【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 X 的可能取值为 1，2，3，所以 X 的分布律为 X【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 (1)(X， Y)的可能取值为(0，0)， (1，0)，(0，1)
13、，(1，1)【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 因为 XE()，所以 E(X) 5，从而 ，根据题意有Ymin(X ，2)当 y0 时，F(y)0；当 y2 时， F(y)1；当 0y2 时，F(y)P(Yy)Pmin(X，2)yP(Xy)1 ，故 Y 服从的分布为 F(y)【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 YB(4，p)，其中pP(X ，E(Y 2)D(Y)E(Y) 25【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 (1)X B(100 ，02)，即 X 的分布律为 P(Xk)C 100k02 k08 100k (k0，1，2，100)(2)E(X)20，D
14、(X)16，P(14X30) (25)(15)0927【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 参数 的似然函数为 L()，当 xi(i1，2，n)时，1nL()nln22 (xi) ，因为 lnL()2n0，所以 lnL()随 的增加而增加，因为 Xi(i1， 2，n) ，所以参数 的最大似然估计值为 minx 1，x 2，x n【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 (1)T 的概率分布函数为 F(t)P(Tt)，当 t0 时，F(t)0；当 t0时，F(t)P(Tt)1P(Tt)1P(N0)1e t ，所以 F(t)即 TE() (2)所求概率为 pP(T16T8)【知
15、识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 (1)PX 2Y f(x，y)dxdy dy2y1(2xy)dx (2)FZ(z) P(Zz)P(Xyz) f(x，y)dxdy当 z0 时，F Z(z)0；当 0z1时，F Z(z) 0zdy0zy (2xy)dxz 2 ；当 1z2 时，F Z(z)1 z1 1dyzy 1(2xy)dx1 ；当 z2 时，F Z(z)1【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 设 R 为商店每周的利润，则有 R因为 X，Y 相互独立且都服从10，20上的均匀分布，所以(X，Y) 的联合密度函数为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 令 Ai
16、第 i 个人收到自己的电话资费单，i1，2，n，X i ，i1,2，n，则XX 1X 2X nP(X i0) ，P(X i1) E(Xi)E(X i2)(i1，2，n)E(X) E(Xi)1；当 ij 时，P(Xi1，X j1)P(A iAj)P(A i)P(AjA i) ，Cov(Xi，X j)E(X iXj)E(X i)E(Xj) (ij)【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 令 YiX iX ni (i1，2，n) ，则 Y1，Y 2，Y n 为正态总体 N(2，2 2)的简单随机样本，(n 1)S2，其中 S2 为样本 Y1，Y 2，Y n 的方差，而 E(S2)2 2，所
17、以统计量U 的数学期望为 E(U)E(n 1)S 22(n1) 2【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 总体 X 的密度函数和分布函数分别为设 x1，x 2，x n 为总体 X 的样本观察值，似然函数为 L()当 0x i (i1，2，n)时，L()0 且当 越小时 L()越大，所以 的最大似然估计值为maxx 1，x 2，x n， 的最大似然估计量为 maxX 1，X 2，X n因为 max(X 1，X 2，X n)的分布函数为 (x)Pmax(X 1，X n)xP(X 1x)P(X nx)F n(x) 则 的概率密度为maxX1，X 2，X n不是 的无偏估计量【知识模块】 概率论与数理统计
