1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 61 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 0P(A)1，0P(B)1，且 P(AB) 1，则下列结论正确的是( )（A）事件 A，B 互斥（B）事件 A，B 独立（C）事件 A，B 不独立（D）事件 A，B 对立2 设随机变量(X，Y) 的分布函数为 F(x，y)，用它表示概率 P(Xa ，Yy)，则下列结论正确的是( ) （A）1F(a，y) （B） 1F( a，y0)（C） F(， y0)F( a，y0)（D）F(，y)F(a ，y)3 设随机变量 XU0，2，YX 2，则 X，Y( )（A）相关且相互独
2、立（B）不相互独立但不相关（C）不相关且相互独立（D）相关但不相互独立4 设事件 A，C 独立，B ， C 也独立，且 A，B 不相容，则 ( )（A）AB 与 独立（B） AB 与 C 不相容（C） AB 与 不独立（D）AB 与 对立5 设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 FX(x)，F y(y)，则ZmaxX，Y的分布函数为 ( )（A）F Z(z)maxF X(z)， FY(z)（B） FZ(z) FX(z)FY(z)（C） FZ(z) maxFX(z)， FY(z)（D）F Z(z)F Y(z)6 设 Xt(n) ，则下列结论正确的是( ) （A）X 2F(1，n) （B
3、） F(1，n)（C） X2 2(n)（D）X 2 2(n1)二、填空题7 设事件 A，B，C 两两独立，满足 ABC ，P(A)P(B)P(C) ，且P(ABC) ，则 P(A)_8 设随机变量 X 的密度函数 f(x) 若 PX1 ，则a_9 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 设 X 表示途中遇到红灯的次数，则 E(X)_10 设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)4D(Y) ，令 U3X2Y ，V 3X2Y，则UV_11 设总体 XN(2，4 2)，从总体中取容量为 16 的简单随机样本，则( 2)2_12 设 A，B
4、 是两个随机事件，且 P(A)04，P(B)05，P(AB)P(A_13 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，4)，Y 的分布律为则 P(X2Y4)_14 (1)设随机变量 X，Y 不相关，XU( 3，3)，Y 的密度为 fY(y)根据切比雪夫不等式，有 PX Y3)_(2)设随机变量 X1，X 2，X 10 相互独立，且 Xi(i)(i1，2，10)，根据车比雪夫不等式，P(4Y7)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 Xf(x) (1)求 F(x)；(2) 求 P(2X )16 设(X，Y)在区域 D：0 x1，Yx 内服从均匀分布(1)求随机变量 X 的边
5、缘密度函数； (2)设 Z2X1，求 D(Z)17 设(X,Y) f(x,y) (1)判断 X，Y 是否独立，说明理由；(2)判断 X， Y 是否不相关，说明理由；(3) 求 ZXY 的密度18 设某种零件的长度 LN(18，4)，从一大批这种零件中随机取出 10 件，求这 10件中长度在 1622 之间的零件数 X 的概率分布、数学期望和方差19 设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X 20 是总体 X 的简单样本，求统计量 U所服从的分布20 将编号为 1，2，3 的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率21 设随机变量 X 满足X1，且 P(X
6、1) ，P(X1) ，在1 x1发生的情况下， X 在(1，1) 内任一子区间上的条件概率与该子区间长度成正比(1)求 X 的分布函数； (2)求 P(X0)22 设随机变量 XN(， 2)，YU ，且 X，Y 相互独立，令 ZXY ，求 fZ(z)23 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0， )，Y N(0 ， )，ZXY ，求 E(Z)，D(Z)24 设 X，Y 为随机变量，且 E(X)1，E(Y) 2， D(X)4，D(Y)9， XY ，用切比雪夫不等式估计 PXY 31025 设总体 XN(， 12)， YN( ， 22)，且 X，Y 相互独立，来自总体 X，Y 的样本均值为 ，
7、样本方差为 S12，S 22记 ，求统计量 的数学期望26 设总体 X 的密度函数为 f(x) 0 为未知参数，a0为已知参数，求 的极大似然估计量考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 61 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 P(AB)P 1，得 P 1P(AB)P( B)，则事件 A，B 是独立的，选(B)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 P( Xa，Yy)P(X a，Yy)N 为 P(Yy)P(X a，Yy)P(Xa，Yy)，所以 P(X a，Yy) P(Yy)P(Xa，Yy)F(，
8、y0)F(a，y0)，选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 由 XU0，2得 FZ(z) E(X)1，E(Y)E(X 2) 02x2dx ，E(XY)E(X 3) 02x2dx2，因为 E(XY)E(X)E(Y)，所以X，Y 一定相关，故 X，Y 不独立，选(D)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 因为事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容，所以 P(AC)P(A)P(C)， P(BC)P(B)P(C)，且 AB 而P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A) P(B)，所以 P(AB) P(A) P(B)P()P
9、(AB)P( )，即 AB 与 独立，正确答案为 (A)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 F Z(z)P(Zz)Pmax(X，Y)z P(Xz，Yz) P(Xz)P(Yz)F X(z)FY(z)，选(B)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 由 Xt(n)，得 X ，其中 UN(0，1),V 2(n)，且 U，V相互独立，于是 X2 F(1，n)，选(A)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 由 P(ABC)P(A) P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)且 ABC ，P(A) P(B
10、)P(C)，得 3P(A)3P 2(A) ，解得 P(A)或者 p(A) ，因为 A ABC，所以 P(A)P(ABC) 【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 2【试题解析】 PX1 1af(x)dx 1a ，则 a2【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 显然 XB ，则 E(X)3 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 Cov(U，V)Cov(3X 2Y，3X2Y) 9Cov(X，X)4Cov(Y，Y)9D(X) 4D(Y)32D(Y)由 X，Y 独立，得 D(U)D(3X2Y) 9D(X) 4D(Y)40D(Y)，D(V)D(3X
11、2Y)9D(X)4D(Y) 40D(Y)，所以 UV【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 2(1)【试题解析】 因为 N(2，1)，所以 2N(0 ，1)，于是(2) 2 2(1)【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 02【试题解析】 因为 P(AB)P(A )，所以 A，B 相互独立，从而 A， 相互独立，故 P(A)1 P(B)040502【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 046587【试题解析】 P(X 2Y4) P(Y 1)P(X42YY1)P(Y2)P(X42YY2) P(Y3)P(X42YY3)P(X2) (1)046587【知识模块】 概率
12、论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 (1)E(X)0 ，D(X) 3，E(Y)0，D(Y) ，则 E(XY)0，D(XY)D(X) D(Y)2Cov(X，Y) ，所以 PX Y 3P(X Y)E(XY)31 (2)由 Xi(i)得 E(Xi)i，E(D i)i(i1，2，10)，【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (1)F(x)PXx) xf(t)dt 当 x1 时，F(x) 0；当1x0 时，F(x) 1 x(1 t)dt ；当 0x1 时，F(x) 1 0(1t)dt 0x(1t)dt；当 x1 时，F(x)1【知识
13、模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 (1)(X， Y)的联合密度函数为 f(x， y) 则 fX(x) f(x,y)dy (2)因为 E(X) 01x2xdx ，E(X 2) 01x22xdx 所以 D(X)E(X 2)E(X) 2 ，D(Z)D(2X1) 4D(X) 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (1)0 x1 时，f X(X) f(x，y)dy 0x12y2dy4x 3，则因为当 0yx1 时，f(x，y)f X(x)fY(y)，所以 X， Y 不独立(2)E(X) xfX(x)dx 014x4dx ，E(Y) yfY(y)dy 0112y3(1y)dy E(X
14、Y) dx xyf(x,y)dy 01dx0x12xy3dy ，因为 Cov(X，Y)E(XY)E(X)E(Y) ，所以 X，Y 相关(3)f Z(z) f(x，zx)dx，当 z0 或 z2 时，fZ(z)0；当 0z1 时，f Z(z) 12(zx) 2dx ；当 1z2 时，f Z(z) 12(zx) 2dx 4(z1) 3所以有 fZ(z)【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 显然 XB(10，p)，其中 pP(16L22) 因为 LN(18，4)，所以 N(0，1) ，所以 pP(16L22)P(1 2)(2)( 1)(2)(1)108185 因此 E(X)np10081
15、858185，D(X)npq1008185(108185)14856【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 因为 X1，X 2，X 10 相互独立且与总体服从同样的分布，所以( 1)iXi N(0，10 2)，于是 N(0，1)，又因为X11，X 12，X 20 相互独立且与总体服从同样的分布，所以 N(0 ，1)(i11，12，20) ，于是 Xi2 2(10)，又 与t(10)【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设 Ai第 i 本书正好在第 i 个位置 ，B至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同，则 BA 1A 2A 3，且 P(Ai) (i1，2，3) ，
16、P(AiAj) (i，j 1,2,3,ij)，P(A 1A2A3) ，故 P(B)P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(A 1A2)P(A 1A3)P(A 2A3)P(A 1A2A3)【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 (1)当 x1 时，F(x)0；当 x 1 时，F(1) ；因为P(1x1)1 ，所以在1x1(1x1)发生下，P(1Xx 1X1) ，于是当1x 1 时，P( 1Xx)P(1Xx，1x1)P(1x1)P(1xx1x1)， F(x)P(Xx)P(X1) P( 1Xx) ，当 x1 时，F(x)1，故 F(x)(2)P(X0)F(0)【知识模块】 概率论与数理统计
17、22 【正确答案】 因为 XN(， 2)，YU ，所以 X，Y 的密度函数为又 X，Y 相互独立，所以 X，Y 的联合密度函数为 f(x，y)f X(x)fY(y)FZ(z)P(Zz)P(XYz) f(x,y)dxdy【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 令 UXY，因为 X，Y 相互独立，且 XNE(Z2)E(U 2)D(U)E(U) 2 D(Z)E(Z 2)E(Z) 21【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 令 UXY，则 E(U)E(X)E(Y)3D(U)D(XY)D(X)D(Y) 2Cov(X ，Y)4 92( )237，于是 PXY31 0PUE(U)10 【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 由 ，S 12，S 22 相互独立，可知 a，b 与 相互独立，显然 ab1 E E(U)E(a) E(b) E(ab)E(1) 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 L()f(x 1)f(x2)f(xn)lnL()nlnnlna(a1)得参数 的极大似然估计量为【知识模块】 概率论与数理统计
