1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 62 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B，C 是相互独立的随机事件，且 0P(C)1，则下列给出的四对事件中不相互独立的是( ) 2 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，1)，Y N(1 ，1)，则( ) （A）P(XY0)（B） P(XY1)（C） P(XY0)（D）P(XY1)3 设 X1，X 2，X n，相互独立，则 X1，X 2， ，X n，满足辛钦大数定律的条件是( ) （A）X 1，X 2，X n，同分布且有相同的数学期望与方差（B） X1，X 2，X n，同分布且有相同的数学期望
2、C） X1，X 2，X n，为同分布的离散型随机变量（D）X 1，X 2，X n，为同分布的连续型随机变量4 若事件 A1，A 2，A 3 两两独立，则下列结论成立的是( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） 两两独立（C） P(A1A2A3)P(A)P(A 2)P(A3)（D） 相互独立5 设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是( )（A）XY（B） XY（C） maxX，Y（D）minX，Y6 从正态总体 XN(0， 2)中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n，则可作为参数2 的无偏估计量的是( )二、填空题
3、7 有 16 件产品，12 个一等品，4 个二等品从中任取 3 个，至少有 1 个是一等品的概率为_8 一工人同时独立制造 3 个零件，第 k 个零件不合格的概率为 (k1，2，3)，以随机变量 X 表示 3 个零件中不合格的零件个数，则 P(X2) _9 设随机变量 XB(n，p)，且 E(X)5，E(X 2) ，则 n_，p_10 设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)9，Y2X3，则 X，Y 的相关系数为_11 设随机变量 XN(1，2)，YN( 1，2)，ZN(0 ，9) 且随机变量 X，Y ，Z 相互独立，已知 a(XY) 2bZ 2 2(n)，则 a_，b_，n_12 设 P(A
4、)06，P(A )02，P( B)03 ，则 P(A )_13 设(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)则 Pmax(X，Y)1_14 将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为 X，用切比雪夫不等式估计P(14X28)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 X 的密度函数为 f(x) 若 P(Xk) ，求 k 的取值范围16 设(X，Y)的联合概率密度为 f(x,y) 求：(1)(X， Y)的边缘密度函数； (2)Z 2XY 的密度函数17 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，令 UX 2Y 2求： (1)fU(u)； (2)PU D(U)UE(U)1
5、8 一民航班车上有 20 名旅客，自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车次数，求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的)19 设总体 XN(0，2 2)，X 1，X 2，X 30 为总体 X 的简单随机样本，求统计量所服从的分布及自由度20 袋中有 a 个黑球和 b 个白球，一个一个地取球，求第忌次取到黑球的概率(1kab) 21 设 X 的密度函数为 fX(x) (x)，求 Y1 的密度fY(y) 22 设随机变量 XU(0，1)，在 Xx(0 x1)下，YU(0，x)(1)求 X，Y 的联合密度函数；(2)求 Y 的边缘密度函数23 设
6、随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，令 U，求：(1)(U ，V) 的分布； (2)U，V 的相关系数24 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知 E(Xk)a k(k1，2，3，4)证明：当 n 充分大时，随机变量 Zn ；近似服从正态分布，并指出其分布参数25 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n1 为总体 X 的简单随机样本，记服从的分布26 设总体 XU( 1， 2)，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本，求 1， 2 的矩估计和最大似然估计考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 62 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有
7、一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A，B，C 相互独立，所以它们的对立事件也相互独立，故与 C 相互独立， 也相互独立，由1P(ABC)1 P(AB)P(C)P(ABC)1P(A)P(B) P(C)P(A)P(B)P(C) ， 1P(AB)1 P(C)1P(AB) P(C)P(ABC)，得 相互独立，选(B) 【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 X，Y 独立，XN(0，1)，YN(1 ，1)，XYN(1，2)P(XY1) ，选(B)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 根据辛钦大数定律的条件，选(B)【知识模块】
8、 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 由于 A1，A 2，A 3 两两独立，所以 也两两独立，但不一相互独立，选(B)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 由于 XE()，所以密度函数为 f(x) 分布函数为，E(XY)0，而 max(X，Y)的分布函数是 F2(x) 所以(A)，(B)，(C)项都不对，选(D)事实上，min(X，Y)的分布函数为 Pmin(X，Y)x1Pmin(X，Y)x1P(Xx，Yx)1 P(Xx)P(Yx)11F(x)2【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题7 【
9、正确答案】 【试题解析】 设 A 抽取 3 个产品，其中至少有 1 个是一等品，则 P(A)1【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 令 Ak第 k 个零件不合格(k1，2， 3)【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 15，【试题解析】 因为 E(X)np ，D(X)np(1p) ， E(X2)D(X)E(X)2np(1p)n 2p2，所以 np5，np(1p)n 2p2 ，解得 n15，p 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 1【试题解析】 D(Y)4D(X)36，Cov(X，Y)Cov(X，2X 3)2Cov(X，X)Cov(X，3)2D(X)
10、 Cov(X，3)因为 Cov(X，3)E(3X) E(3)E(X)3E(X)3E(X) 0，所以 Cov(X，Y) 2D(X)18，【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 ， ，2【试题解析】 由 XN(1，2)，YN( 1，2)，ZN(0，9)，得 XY N(0，4)且N(0，1) ， N(0 ，1) ，故 a ，n 2【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 由 P(A )P(A B)P(A)P(AB)02 及 P(A)06 得 P(AB)04，再由 P( B)P(B A) P(B)P(AB)03 得 P(B)07，【知识模块】 概率论与数理统计13 【正
11、确答案】 e 2 e 3e 5【试题解析】 由 FX(x)F(x，) 得 XE(2)，同理 YE(3)，且 X，Y 独立Pmax(X，Y)1P(X1 或 Y1)1P(X1，Y1)1P(X1)P(Y1)1 FX(1)FY(1)1(1e 2 )(1e 3 )e 2 e 3 e 5【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 设 Xi 为第 i 次的点数(i 1，2，3， 4，5，6)，则 X ，其中D(Xi) ，i1,2,3,4,5,6则 E(X)6 21， D(X)6 ，由切比雪夫不等式，有 P(14X28)P XE(X)71 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出
12、文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 显然 k6，当 3k6 时，P(Xk) k6当 1k3 时，P(Xk) 36 当 0k1 时，P(Xk) k1 当 k0 时，P(Xk)1，所以1k3【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 (1)当 0x1 时，f X(x) f(x，y)dy 02xdy2x，当 x0 或x1 时 fX(x)0，所以 fX(x) 同理 fY(y)(2)当 z0 时，F(z) 0；当 z2 时，F(z) 1；当 0z 2 时，【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (1)因为 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，所以(X，Y) 的联合密度函数
13、为 f(x,y) (x,y)F U(u)P(Uu)当 u0 时，FU(u)0；当 u0 时，F U(u)P(Uu)P(X 2Y 2u) dxdy所以 fU(u) 即 U 服从参数 的指数分布(2)E(U)2，D(U) 4，PUD(U)U E(U)P(U4U2) 因为 P(U4) 1P(U4)1(1 e 2 )e 2 ，P(U2)1(1e 1 )e 1 ，所以 PUD(U)U E(U)e 1 【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 令 Xi (i1，2，10)，显然XX 1X 2X 10因为任一旅客在第 i 个站不下车的概率为 09，所以 20 位旅客都不在第 i 个站下车的概率为 0
14、9 20，从而第 i 个站有人下车的概率为109 20，即 Xi 的分布律为 Xi (i1，2，10)于是E(Xi)109 20(i1，2，10)，从而有 E(X) E(Xi)10(109 20)8784【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 因为 X1，X 2，X 20 相互独立且与总体 XN(0，2 2)服从同样的分布，所以 (X12X 22X 202) 2(20)，同理(X212X 222X 302) 2(10)，且 (X12X 22X 202) 2(20)与(X212X 222X 30) 2(10)相互独立，于是F(20，10)，即U F(20，10)【知识模块】 概率论与数
15、理统计20 【正确答案】 基本事件数 n(ab)! ，设 Ak 第 k 次取到黑球，则有利样本点数为 a(a b1)!，所以 P(Ak)【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 F Y(y)P(Yy)P(1 y)PX(1y) 31PX(1y) 31 fY(y)F Y(y)(y)【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 (1)因为 XU(0，1) ，所以 fX(x) 又在Xx(0 x1) 下，YU(0，x)，所以 fYX (yx) f(x，y)f X(x)fYX (yx) (2)fY(y) f(x,y)dx，当 y0 或 y1 时，f Y(y)0；当 0Y1 时，f Y(y) y
16、1【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 (1)因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以 X 的分布函数为(U，V)的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1 ，0)，(1，1)P(U 0，V0) P(X1，X2)P(X1)F(1) 1e 2 ；P(U0，V 1)P(X1，X2)0；P(U1，V1)P(X1，X 2) P(X2)1F(2)e 4 ：P(U 1，V0) P(X1，X2)e 2 e 4 (U，V) 的联合分布律为E(U)e 2 ，E(V)e 4 ，E(UV)e 4 ，E(U 2)e 2 ，E(V 2)e 4 ，则 D(U)E(U 2 )E(U) 2e 2 e 4 ，D(V
17、) E(V 2)E(V) 2e 4 e 8 ，Cov(U,V)E(UV) E(U)E(V)e 4 e6 ，于是【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 因为 X1，X 2，X n 独立同分布，所以 X12，X 22，X n2 也独立同分布且 E(Xi2) 2，D(XX i2) 4 22，当 n 充分大时，由中心极限定理得近似服从标准正态分布，故 Zn 近似服从正态分布，两个参数为 2， 2【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 因为 lnL(1， 2)是 1 的单调增函数，是 2的单调减函数，所以 【知识模块】 概率论与数理统计
