1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 64 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f(x)，分布函数为 F(x)如果随机变量 X 与X 分布函数相同，则( )（A）F(x)F(x)（B） F(x)F(x)（C） f(x)f(x)（D）f(x)f( x)2 设 X，Y 为两个随机变量，P(X1，Y1) ，P(X1)P(Y1) ，则Pmin(X，Y)1) ( )3 设(X 1，X 2，X n)(n2)为标准正态总体 X 的简单随机样本，则( )（A）n N(0,1)（B） nS2 2(n)（C） t(n1)（D） F(1
2、,n1)4 设 A，B 是任两个随机事件，下列事件中与 ABB 不等价的是( )5 若(X，Y) 服从二维正态分布，则 X，Y 一定相互独立；若 XY0，则X，Y 一定相互独立；X 和 Y 都服从一维正态分布； X，Y 的任一线性组合服从一维正态分布上述几种说法中正确的是( )（A）（B） （C） （D）6 设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X n 为总体 X 的简单随机样本， 与 S2 分别为样本均值与样本方差，则( )二、填空题7 从 n 阶行列式的展开式中任取一项，此项不含 a11 的概率为 ，则 n_8 设随机变量 XN(0，1)，且 Y9X 2，则 Y 的密度函数为 _9 设
3、 X 表示 12 次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为 05，则E(X2)_10 设 X，Y 为两个随机变量，E(X)E(Y) 1，D(X)9，D(Y)1，且 XY，则 E(X2Y3) _11 设 X1，X 2，X 3，X 4，X 5 为来自正态总体 XN(0，4)的简单随机样本，Ya(X 12X 2)2 b(3X 34X 4)2cX 52，且 Y 2(n)，则a_， b_， c_，n_12 设 A，B 相互独立，只有 A 发生和只有 B 发生的概率都是 ，则 P(A)_13 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且分布函数为 FX(x) ，F Y(y) ，令 UXY，则 U 的分布
4、函数为_14 设总体 X，Y 相互独立且服从 N(0，9)分布，(X 1，X 9)与(Y 1，Y 9)分别为来自总体 X，Y 的简单随机样本，则 U _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 一个盒子中 5 个红球，5 个白球，现按照如下方式，求取到 2 个红球和 2 个白球的概率(1)一次性抽取 4 个球； (2)逐个抽取，取后无放回； (3)逐个抽取，取后放回16 设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x) (1)求常数 A，B； (2) 求 X 的密度函数 f(x)； (3)求 P(X )17 设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动
5、其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度18 设随机变量 XU(0，1)YE(1) ，且 X，Y 相互独立，求随机变量 ZXY的概率密度19 在长为 L 的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差20 设总体 XN(，25)，X 1，X 2，X 100 为来自总体的简单随机样本，求样本均值与总体均值之差不超过 15 的概率21 某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第 k 次才拨通对方电话的概率22 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明： Y1e 2
6、X 在区间(0，1)上服从均匀分布23 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XP(1)，Y P(2)，求 Pmax(X，Y)0及Pmin(X，Y)024 设随机变量 X 的密度函数为 f(x) (x) (1) 求 E(X)，D(X)，(2)求 Cov(X， X)，问 X，X是否不相关?(3)问 X，X是否相互独立?25 设总体 XF(x，) ，样本值为1，1，3，2，1，2，3，3，求 的矩估计和最大似然估计26 设总体 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2)分布，(X 1，X 2，X m)与(Y1，Y 2，Y n)分别为来自总体 X，Y 的简单随机样本证明：为参数 2 的无偏估计量考研数学三（
7、概率论与数理统计）模拟试卷 64 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 F X(x)P(Xx) xf(t)dt， F x (x)P(Xx) P(X x)1P(Xx) 1 x f(t)dt， 因为 X 与X 有相同的分布函数，所以 1 f(t)dt1 x f(t)dt， 两边求导数，得 f(x)f(x)，正确答案为(C)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 令 AX1，BY1，则 P(AB) ，P(A)P(B) ，Pmin(X，Y)1) 1Pmin(X，Y)1)1P(X1，Y1)1P P(A B) P(
8、A) P(B)P(AB) ，选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 由 X12 2(1)， Xi2 2(n1)，得F(1，n1)，选(D)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 ABB 等价于 ABA，ABA 等价于AAB，则 A 等价于 ABA，选(D)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 X，Y 都服从一维正态分布，aXbY 服从一维正态分布，且 X，Y 独立与不相关等价，所以选(B)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率论与
9、数理统计二、填空题7 【正确答案】 9【试题解析】 n 阶行列式有 n!项，不含 a11 的项有(n1)(n1)!个，则，则 n9【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 f Y(y)【试题解析】 F Y(y)P(Yy)P(9X 2y)当 y0 时，F Y(Y)0；当 y0 时，F1(y)P(Yy) P(9X 2y)P所以随机变量 Y 的密度函数为 fY(y)【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 39【试题解析】 XB(12，05)， E(X)6，D(X) 3，E(X 2)D(X)E(X)233639【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 25【试题解析】 E(X2Y
10、3)E(X)2E(Y) 32 ，D(X2Y3)D(X2Y)D(X) 4D(Y)4Cov(X，Y)，由 Cov(X，Y) XY2，得 D(X2y3)D(X)4D(Y)4Cov(X，Y)948 21，于是 E(X2Y3) 2D(X2Y3)E(X 2Y3) 221425【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 ， ， ，2【试题解析】 因为 X12X 2N(0，20)，3X 34X 4N(0 ，100)，X 5N(0 ，4) ，所以 N(0，1)，于是(X1 2X2) (3X34X 4) X52 2(3)，故a ，n3【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 根据题意得
11、 因为 P(A )P(A)P(AB) ，P( B)P(B)P(AB)，所以 P(A)P(B) ，再由独立得 P(A)P 2(A)【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 F U(u)【试题解析】 F U(u)P(Uu)P(XYu)，当 u0 时，F U(u)0；当 0u1 时，FU(u) P(Uu)P(XYu)P(X0，Yu)P(X0)P(Yu)当 1u2 时，F U(u)P(X0,Yu)P(X1，Yu1)当 u2 时，F U(u) 1所以 FU(u)【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 t(9)【试题解析】 由 X1X 2X 9N(0，81)，得(X1 X2X 9)N(0
12、，1)因为 Y1，Y 9 相互独立且服从 N(0，9)分布，所以(Y 13) 2(Y 23) 2 (Y 93) 2 2(9)，【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (1)设 A1一次性抽取 4 个球，其中 2 个红球 2 个白球，则(2)设 A2逐个抽取 4 个球，取后不放回，其中 2 个红球 2 个白球)，则 (3)设 A3逐个抽取 4 个球，取后放回，其中 2 个红球 2 个白球)，则【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 (1)因为连续型随机变量的分布函数是连续的，【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 用
13、 X，Y 分别表示两台记录仪先后开动无故障工作的时间，则TX Y，由已知条件得 X，Y 的密度为 fX(x)当 t0 时，F T(t)0；当 t0 时，F T(t)P(XYt) f(x，y)dxdy fX(x)f Y(y)dxdy25 0te5x dx0tx e5y dy5 0te5x 1e 5(tx) dx5 0t(e5x e 5t )dx(1e 5t )5te 5t T 的密度函数为 f(t)【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 XU(0，1)，YE(1)因为 X，Y 相互独立，所以 f(x，y)f X(x)fY(y) 于是 FZ(z)PZzPXYz dxdy当 z0 时，F
14、Z(z)0；当 0z1 时，F Z(z) f(x， y)dxdy 0zdx0zx ey dyz e z 1；当 z1 时，F Z(z) f(x,y)dxdy 0zdx0zx ey dye z e 1z 1所以 FZ(z)【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 线段在数轴上的区间为0，L，设 X，Y 为两点在数轴上的坐标，两点之间的距离为 UXY，X，Y 的边缘密度为因为 X，Y 独立，所以(X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y) 于是 E(U)EX Y dx xyf(x ，y)dy 0LdxxL(yx)dy 0Ldx0x(xy)dy E(U2)EXY 2 dx xy 2f(x,y)
15、dy ，则 D(U)E(U 2)E(U) 2 【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 XiN( ， )，总体均值为 E(X) ，则P 1 5P (3)(3)2(3)109973【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 令 Ak第 k 次拨通对方电话(k1，2，10)，【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以其分布函数为 FX(x)Y 的分布函数为 FY(y)P(Yy) P(1 e 2X y)，当 Y0 时，FY(y)P(X0)0；当 Y1 时，F Y(y)P(X )1：当 0y1 时，FY(y)P(1e 2X y)P(X l
16、n(1y)F X ln(1y)y 即 FY(y)所以 Y1e 2X 在区间(0,1)上服从均匀分布【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 Pmax(X，Y)0 1Pmax(X， Y)0 1P(X 0，Y 0) 1P(X0)P(Y0)1e 1 e2 1e 3 Pmin(X，Y)01Pmin(X，Y)0， 令 A X0，BY 0，则min(X，Y)0A B， 于是Pmin(X，Y)0 P(A B)P(A)P(B)P(AB) e 1 e 2 e 1 e 2 e 1 e 2 e 3 故 Pmin(X，Y)01e 1 e 2 e 3 【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 (1)E(
17、X) xf(x)dx0， D(X)E(X 2)E(X) 2 x2f(x)dx 0 x2ex dx(3)2 (2)因为 Cov(X，X)EXXEX EX EX X xxf(x)dx0， 所以 X，X不相关 (3)对任意的 a0，PXa，XaPXa， 而 0P(Xa)1，所以PXa，Xa PXaP(Xa)， 故X ，X 不相互独立【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 (1)X 为离散型随机变量，其分布律为X ，E(X)33 2，令 33 2 得 的矩估计值为 (2)L(1，1，3，2，1，2，3，3；)P(X1)P(X1)P(X3) 32(12) 3，得 的最大似然估计值为 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计
