1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 65 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 和 B 为任意二不相容事件，且 P(A)P(B)0，则必有2 设 A1，A 2 和 B 是任意事件，且 0P(B)1，P(A 1A2)B)=P(A 1B)+P(A 2B)，则（A）P(A 1A2)=P(A1)+P(A2)（B） P(A1A2)=P(A1B)+P(A 2B)（C） P(A1A2B)=P(A1B)+P(A2B)（D）P(A 1A2) )3 设随机事件 A 与 B 互不相容，0P(A)1，则下列结论中一定成立的是（A）AB=（B） =（C） A=B（D）
2、 4 下列事件中与 A 互不相容的事件是5 设随机事件 A 与 B 为对立事件，0P(A)1，则一定有（A）0P(A UB)1（B） 0P(B)1（C） 0P(AB) 1（D）0P( )16 已知事件 A 发生必导致 B 发生，且 0P(B)1，则 P(A )=（A）0（B） （C） （D）17 在最简单的全概率公式 P(B)=P(A)P(BA)+ 中，要求事件 A 与 B必须满足的条件是（A）0P(A)1，B 为任意随机事件（B） A 与 B 为互不相容事件（C） A 与 B 为对立事件（D）A 与 B 为相互独立事件8 在全概率公式 P(B)= P(Ai)P(BA i)中，除了要求条件 B
3、 是任意随机事件及P(Ai)0(i=1，2，n)之外，我们可以将其他条件改为（A）A 1，A n 两两独立，但不相互独立（B） A1，A n 相互独立（C） A1，A n 两两互不相容（D）A 1，A n 两两互不相容，其和包含事件 B，即 B9 同时抛掷三枚匀称的硬币，正面与反面都出现的概率为10 将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”； C=“反面最多出现一次 ”，则下列结论中不正确的是（A）A 与 B 独立（B） B 与 C 独立（C） A 与 C 独立（D）B C 与 A 独立11 A，B，C 三个随机事件必相互独立，如果它们满足条件（A
4、）A，B，C 两两独立（B） P(ABC)=P(A)P(B)P(C)（C） P(AB)=1（D）P(AB)=0二、填空题12 两人相约于晚 7 点到 8 点间在某处会面，到达者等足 20 分钟便立即离去设两人的到达时刻在 7 点到 8 点间都是随机且等可能的，则两人能会面的概率p=_13 设随机事件 A，B 及 AB 的概率分别为 04，03 和 06，则 P(AB)=_14 口袋内有四个同样的球，分别标有号码 1，2，3，4每次从中任取一个球(每次取后放回去)，连续两次如果第 i 次取到球上的编号记为 ai，i=1，2，记事件 A表示事件“a 14a2”，则该试验的样本空间 =_；事件 A=
5、_；概率 P(A)=_15 设事件 A 发生的概率是事件 B 发生概率的 3 倍， A 与 B 都不发生的概率是 A与 B 同时发生概率的 2 倍，若 P(B)= ，则 P(AB)=_16 设事件 A 与 B 相互独立，已知它们都不发生的概率为 016，又知 A 发生 B不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，则 A 与 B 都发生的概率是_17 三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球与 1 个白球，第二个箱中有 3 个黑球与 3个白球，第三个箱中有 3 个黑球与 5 个白球现随机地选取一个箱子从中任取 1 个球，则这个球为白球的概率是_；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱
6、子的概率是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 铁路一编组站随机地编组发往三个不同地区 E1，E 2 和 E3 的各 2 节、3 节和 4 节车皮，求发往同一地区的车皮恰好相邻的概率 p19 将长为 L 的棒随机折成三段，求这三段能构成三角形的概率20 假设从单位正方形区域 D=(x，y)0x1，0y1中随机地选取一点，以该点的两个坐标 x 与 y 作为直角三角形的两条直角边，求该直角三角形的面积大于的概率 p21 假设随机事件 A 与 B 相互独立，P(A)= ，求 a 的值22 一个班内有 20 位同学都想去参观一个展览会，但只有 3 张参观票，大家同意通过这 20 位
7、同学抽签决定 3 张票的归属计算下列事件的概率： ()“第二人抽到票”的概率 p1； ()“第二人才抽到票”的概率 p2； ()“第一人宣布抽到了票，第二人又抽到票”的概率 p3； ( )“前两人中至少有一人抽到票 ”的概率 p423 甲袋中有 3 个白球 2 个黑球，乙袋中有 4 个白球 4 个黑球，现从甲袋中任取 2球放入乙球，再从乙袋中取一球，求取出球是白球的概率 p；如果已知从乙袋中取出的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率 q24 三人独立地同时破译一个密码，他们每人能够译出的概率分别为了 求此密码能被译出率 P24 甲盒内有 3 个白球与 2 个黑球，从中任取 3 个球放入
8、空盒乙中，然后从乙盒内任取 2 个球放入空盒中，最后从丙盒内再任取 1 个球，试求：25 从丙盒内取出的是白球的概率；26 若从丙盒内取到白球，当初从甲盒内取到 3 个白球的概率考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 65 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 故应选C【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由条件知，P(A 1A2B)=0，但是这不能保证 P(A1A2)=0 和 P(A1A2)=0，故(A) 和(D) 不成立由于 P(A1B)+P(A 2B)=P(A 1A2)B)未必等于P(A1
9、A2)，因此(B) 一般也不成立由 P(B)0 及 P(A1A2)B)=P(A 1B)+P(A2B)，可见选项 C 成立：【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 因 AB= ，所以 AB=AB=，应选 B【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 由于 与任何一个事件 A 都互不相容，即 A ，而 综上分析，应选 D【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 因 A、B 为对立事件，即 AB=，AB= ，所以 P(AB)=0，P( )=0，且 P(A)+P(B)=P(AB)=1因此 A，C ，D 均不成立应选 B【知识模块】 概率
10、论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知=0故选 A【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 A【试题解析】 应选 A【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 若 A1，A n 两两互不相容，则 A1B，A nB 亦两两互不相容，且因 AiB)应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即 P(B)= P(Ai)P(BA i)应选 D【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 设 Bk 表示三枚中出现的正面硬币个数，k=0，1，2，3，P(A)为所求概率，依题意 P( )=P(BiB3)=P(B0)+P(B3)= ， P(A)=1一 应
11、选 D【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 B【试题解析】 试验的样本空间有 8 个样本点，即 =(正，正，正)，(正，反，反)，(反，反，反)显然 B 与 C 为对立事件，且依古典型概率公式有由于 P(A)P(B)=，即 P(AB)=P(A)P(B)因此 A 与 B 独立，类似地 A 与C 也独立，又因必然事件与任何事件都独立，因此 BC 与 A 也独立，用排除法应选 B 或直接计算 P(BC)=0，P(B)P(C)= 0，因此 B 与 C 不独立，亦应选 B【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 C【试题解析】 由三个事件相互独立的条件可知，(A)与(B)显然不对 对
12、于(C) ：由P(A 一 B)=1P(AB)=1由 P(A)P(AB)=1P(A)=1同理 P(B)=1，即 P(B)=0下面验证当 P(A)= =P(B)=0 时，它们是否满足四个等式： 1)由 P(B)=0P(AB)P(B)=0P(AB)=0=P(A)P(B)； 2)由 P(B)=0P(BC)P(B)=0P(BC)=0=P(B)P(C)； 3)由=P(C)=P(C)P(A) 由以上 1)，2) ，3)可知 A，B，C 两两独立 4)由 P(ABC)P(B)=0P(ABC)=0=P(A)P(B)P(C) 由以上可知，A，B，C 满足四个等式，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题1
13、2 【正确答案】 59【试题解析】 以 x，y 分别表示两人到达时刻在 7 点后的分钟数，记事件 A 表示“两人能会面”，如图 11 所示，则 =(x，y)0x60，0y60， A=(x，y)xy20，(x，y) ，故 P=P(A)=140260 2=59【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 03【试题解析】 由于 A =AAB而 AB A，根据减法公式，可得 P(A )=P(AAB)=P(A)一 P(AB)根据加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)，可得 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)=04+03 一 06=01，所以 P(AB )=P(A)一 P(
14、AB)=0 4 一 01=0 3【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 =(1， 1)，(1，4)，(2，1)， ，(4，4)；A=(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1) ，(4，2)，(4，3)，(4 ，4)；P(A)=【试题解析】 =(i，j)=i，j=1，2，3，4=(1，1)，(1，4)，(2，1)，(4 ，4)； A=(i ，j) ：i 24j，i，j=1，2，3，4 =(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3) ，(4，4)； P(A)= 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 P(A)=3P(B)= ， P(
15、)=1 一 P(AB)=1 一 P(A)一 P(B)+P(AB)=2P(AB)， P(AB)=1 一 4P(B)= ，P(A 一 B)=P(A)一 P(AB)= 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 036【试题解析】 P(AB)=P(A)P(B)=06 2=036【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 设事件 Ai=“取到第 i 箱”，i=1，2，3，B=“取到白球”，易见A1，A 2，A 3 是一完备事件组，第一空应填 P(B)，第二空为 P( B)，依题意，有 P(Ai)= 应用全概率公式与贝叶斯公式【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文
16、字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 设事件 A=发往同一地区的车皮恰好相邻，B i=发往 Ei 的车皮相邻(i=1 ，2 ，3) ，将发往 E1，E 2 和 E3 三个不同地区的车皮统一编组，且使发往同一地区的车皮恰好相邻，总共有 3!=6 种不同情形，其中每种情形对应 B1，B 2和 B3 的一种排列6 种不同情形都是等可能的，如 B1B2B3 是其中一种可能的情形，即“发往 E1 的 2 节车皮编在最前面，发往 E2 的 3 节车皮编在中间，发往 E3 的 4 节车皮编在最后面” 由古典型概率的计算公式，有【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 设事件 A 表示“三段
17、构成三角形”，且第一、二段的长分别为 x 与y，则第三段的长为 L 一 xy，且 =(x，y)0x，y，x+yL欲使三段构成三角形，则任意两段之和必须大于第三段，即 x+yLxy，x+L 一 x 一yy，y+L 一 x 一 yx，亦即 x+y ，故 A 为 A=(x，y) 0y，x x+yL) 为等腰直角三角形，直角边长为 L，A为图 12 阴影部分，由几何概率定义得【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设事件 A=“直角三角形面积大于 ”，依题意，事件 A 所在区域D1=(x，y) 0x1 ，0y1， ，如图 13，则 应用几何型概率公式 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正
18、确答案】 从 P( )=a1，得 P(B)=2 一 a，P(A)P(B)=(a1)(2 一 a)应用广义加法公式 a 1+(2 一 a)一(a 一 1)(2 一 a)= 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 设事件 Ai=“第 i 人抽到票”，i=1 ，2 ()如果是填空题，可以根据抽签公平性原理得知中签率应与抽签次序无关直接填写 p1=p(A2)= ；作为计算题，应写出解题步骤根据全概率公式 p 1=P(A2)=P(A1)P(A2A 1)+= ()事件“第二人才抽到票”表示“ 第一人未抽到票、但第二人抽到了票”，根据乘法公式 ()“第二人宣布抽到了票，第二人又抽到票” 表示已知事
19、件 A1 发生，再考虑事件 A2 出现 p 3=P(A2A1)= ()根据加法公式与乘法公式 p 4=P(A1A2)=P(A1)+P1(A2)一 P(A1A2) =P(A1)+P(A2)一 P(A1)P(A2A 1)= 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 记 A=“从乙袋中取出一球为白球”，试验理解为：一次从甲袋中取出两球，记 Bi=“从甲袋中取出的 2 球中恰有 i 个白球”，i=0 ，1，2，则B0，B 1，B 2 是一完备事件组，A=AB 0AB1AB2，由全概率公式【试题解析】 显然 A=“从乙袋中任取一球是白球”的概率 P 与其前提条件：“从甲袋取出 2 球颜色”有关我
20、们自然想到将 A 对其前提条件的所有可能情况作全集分解，应用全概公式计算 P(A)=p；而概率 q 是在“结果 A”已发生条件下，追溯“原因”的概率，故要应用贝叶斯公式【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设事件 A、B、C 分别表示三人各自能够译出密码，依题意A、B、C 相互独立，且 P(A)= ，则【试题解析】 设 C=“从丙盒内取到白球”，易见它与从乙盒内取到球的颜色组成有关设 Bj=“从乙盒中取到，个白球”，j=0，1，2，易见 Bj 的发生又与从甲盒中取出球的颜色有关设 Ai=“从甲盒中取到 i 个白球”，i=1，2，3，且 A1，A 2，A 3 与B0，B 1，B 2
21、分别是两个完备事件组，应用全概率公式求出 Bj，再计算出 P(C)【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 依题意，有 P(A 1)=； P(B 0A 1)=，P(B 0A 2)=P(B0A 3)=0 P(B 1A 1)= ， P(B 1A 3)=0， P(B 2A 1)=0， P(B 2A 2)=， P(B 2A 3)=1应用全概率公式 P(B 0)= P(Ai)P(B0A i)=P(A1)P(B0A 1)= ， P(B 1)=P(A1)P(B1A1)+P(A 2)P(B1A B)= ， P(B 2)=1P(B0)一 P(B1)= ，或 P(B2)=P(A2)P(B2A 2)+P(A3)P(B2A 3)= ， P(C B 0)=0，P(CB 1)= ，P(C B 2)=1， P(C)=P(B1)P(CB 1)+P(B2)P(CB 2)= =06【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 P(C A 3)=1，P(A 3C)= 【知识模块】 概率论与数理统计
