1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 72 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 对事件 A，B，已知 0P(A)1，P(B)0，P(BA)P(B )则：（A）P(AB)P( B)（B） P(AB)P( B)（C） P(AB)P(A)P(B)（D）P(AB)P(A)P(B)2 设 X 与 Y 独立且 XN(0，1)，YN(1 ，1)，则（A）PXY0（B） PX Y1（C） PX Y0（D）PXY1二、填空题3 随机变量 X 的密度为 f()A ， ，则 A_4 在一长为 l 的线段上的随机掷两点，使这个线段分成三段，则这三段能构成三角形的概率为_5
2、设 X 的密度为 f() e ， ，则 X 的分布函数 F()_6 设 X 与 Y 独立，右表列出(X，Y)的联合分布列和关于 X、Y 的边缘分布列中的部分数值，请填上空白处，并填空求 P(XY1) _PX Y1X0_7 设随机变量 X 服从(a，a) 上的均匀分布(a0)，且已知 P(X1) ，则a_， D(X)_8 随机变量 X 的密度为：f() 且知 EX6，则常数A_，B_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 甲袋中有 2 个白球，乙袋中有 2 个黑球，每次从各袋中分别任取一球交换放人对方袋中，共交换 3 次记 X 为经过 3 次交换后甲袋中的白球数，求 X 的分布列1
3、0 设 X 服从参数为 1 的指数分布，求 Ye X 的密度 fY(y)11 设随机变量 X 的密度为 f() ，求 Emin(1，X )12 已知随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从2，4上的均匀分布 YN(2，16)求cov(2XXY，(Y1) 2)13 随机变量 X 可能取的值为1，0，1且知 EX01，EX 209，求 X 的分布列14 在ABC 中任取一点 P，而ABC 与ABP 的面积分别记为 S 与 S1若已知S12，求 ES115 袋中装有黑白两种颜色的球，黑球与白球个数之比为 3：2现从此袋中有放回地摸球，每次摸 1 个记 X 为直至摸到黑、白两种颜色都出现为止所需要摸的
4、次数求 E(X)16 已知线段 AB4，CD1，现分别独立地在 AB 上任取点 A1，在 CD 上任取点C1，作一个以 AA1 为底、CC 1 为高的三角形，设此三角形的面积为 S，求 P(S1)和 D(S)17 设随机变量 X 在区间(1，1)上服从均匀分布， YX 2，求(X ，Y)的协方差矩阵和相关系数18 现有 K 个人在某大楼的一层进入电梯，该楼共 n1 层电梯在任一层时若无人下电梯则电梯不停(以后均无人再人电梯)现已知每个人在任何一层(当然不包括第一层)下电梯是等可能的且相互独立，求电梯停止次数的平均值19 设某种元件的寿命为随机变量且服从指数分布这种元件可用两种方法制得，所得元件
5、的平均寿命分别为 100 和 150(小时)，而成本分别为 C 和 2C 元如果制造的元件寿命不超过 200 小时，则须进行加工，费用为 100 元为使平均费用较低，问 C 取何值时，用第 2 种方法较好?20 设作一次实验的费用为 1000 元，如果实验失败，则要另外再花 300 元对设备调整才能进行下一次的实验设各次实验相互独立，成功的概率均为 02，并假定实验一定要进行到出现成功为止求整个实验程序的平均费用21 现有奖券 100 万张，其中一等奖 1 张，奖金 5 万元；二等奖 4 张，每张奖金2500 元；三等奖 40 张，每张奖金 250 元；四等奖 400 张，每张奖金 25 元，
6、而每张奖券 2 元，试计算买一张奖券的平均收益22 设随机变量(X，Y) N(0，1；0，1；) ，求 Emax(X，Y)23 设随机变 X1，X 2，X n 独立同分布且 DX1 2，令 ，试求Xi 与 Xj 的相关系数24 设试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，独立重复试验直到两次成功为止设 X 为所需要进行的试验次数，求 X 的概率分布及 E(X)25 n 个小球和 n 个盒子均编号 1，2，n，将 n 个小球随机地投入 n 个盒中去，每盒投 1 个球记 X 为小球编号与所投之盒子编号相符的个数，求 E(X)26 在长为 a 的线段 AB 上独立、随机地取两点 C，D ，试求 CD 的平
7、均长度27 设随机变量 X1，X n，X n+1 独立同分布，且 P(X11)P ，P(X 10)1P，记 Y i (i1，2，n) 求28 对随机变量 X 和 Y，已知 EX3，EY2，DX9，DY2，E(XY)5设 U2XY4，求 EU，DU29 对随机变量 X，Y，已知 EX2 和 EY2 存在，证明：E(XY) 2E(X2).E(Y2)30 设 X1，X 2，X n 是同分布的随机变量，且 EX10DX 21不失一般性地设 X1 为连续型随机变量证明：对任意的常数 0，有31 两家影院竞争 1000 名观众，每位观众随机地选择影院且互不影响试用中心极限定理近似计算：每家影院最少应设多少
8、个座位才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过 1?(2328)09900)考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 72 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 由已知可得 XYN(1，2)，XY N( 1，2)， 故 P(XY0) ，不选 A； P(XY0) ，不选 C； P(XY1)，不选 D 而 P(X Y1)P( 0)(0)，故选 B【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 ， f() 与正态分布的概率密度相比较，可知 XN( )且【知
9、识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 【试题解析】 如图 1 建立坐标系，题目中的线段即线段 Ol(图中)，随机掷的两点坐标分别为 X 和 Y，由题意知 X 与 Y 独立同分布，均服从区间(0，1)上的均匀分布，(X，Y) 的概率密度为 所得到的3 段线段长分别为 min(X，Y)，XY，lmax(X，Y)，而(这 3 段能构成三角形 这 3 段中任 2 段长度之和 这 3 段中任一段长度都 故 P这 3段能构成三角形 Pmin(X，Y) ，XY ，lmax(X，Y) Pmin(X，Y) ，XY ，lmax(X，Y) ，XY Pmin(X ，Y) ，XY ，lmax(X，Y) ，X Y其
10、中G1 与 G2 见图 2 中阴影部分【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 【试题解析】 F() f(t)dt et dt， 若 0，则 F()； 若 0，则【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 P(XY1) PXY1 X0【试题解析】 P(X Y1) P(X 0，Y0)P(X0，Y1)P(X1，Y0)PXY1X0【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 3；3【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 这是指数分布，可知 AB，而 6EX ， ，故 A，B 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答
11、案】 X 可能取的值是 0，1，2 这三个值记 Ai经过 2 次交换后，甲袋中有 i 个白球，i0， 1，2则 P(X0A 0)0，P(X0A 1) ， P(X0A 2)0，P(X1A 0)1，P(X1A 1) ，P(X1A 2)1， P(X2A 0)0，P(X2A 1) ，P(X2A 2)0 故 P(X0) P(X0A i)P(Ai) ，P(X1) P(x1A i)P(Ai) ，P(X2) P(X2A i)P(Ai) ， 即 X 的分布列为【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 X 的概率密度为：f X() Y 的分布函数为：FY(y)P(Yy)Pe Xy 若 FY(y)0，则 F
12、Y(y)0，则 fY(y)F Y0； 若y0则 FY(y)PXlny lnyfXf()d 则 fY(y)F Y(y)故知 fY(y)【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 cov(2XXY，(Y 1) 2)cov(2XXY，Y 22Y 1)cov(XY，Y 22Y) cov(XY，Y 2)2cov(XY，Y) E(XY) 3E(XY)E(Y 2)2E(XY 2)E(XY)EY EXEY3EXEYEY 22EXE(Y 2)EX(EY) 2， 本题中EX3 ，EY 2，E(Y 2) DY(EY) 2162 220， 而 N(0 ，1)，所
13、以Y42， 注意 E0，E( 2)D(E) 21，E( 3) 0， E(Y 3)E(42) 364E( 3)96E( 2)48E8640961480 8104， 代回得 cov(2XXY，(Y 1) 2)96【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 由题意X 的分布列可设为：X 且知：abc1，01EX ac，09E(X 2)(1) 2a1 2cac 可解得a04，b 01，c 0 5，代回分布列表达式即可【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 如图建立坐标系，设 AB 长为 r， ABC 高为 h，C 点坐标为(u，h)设ABC 所围区域为 G，则 G 的面积 S rh12
14、 又设 P 点坐标为(X， Y)，则随机变量 (X，Y)在 G 上服从均匀分布，其概率密度为而 S1 rY易得线段 AC 的方程为 y，BC的方程为 r y，故ES1，而 rh24，故 ES14【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 记 Ai第 i 次取白球，则 P(Ai) ，i 1，2，且诸 Ai 相互独立 P(Xk)P(A 1Ak-1 )P( Ak) ，k2，3， 若记 g() kk-1，( 1)，则 代入可得，故【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 记 AA1 长度为 X，CC 1 长度为 Y，则知 X 与 Y 为二相互独立的随机变量，分别服从区间0，4和0，1 上
15、的均匀分布，(X，Y) 的概率密度为其中 D(，y)04 ，0y1而S XY故 P(S1)P(XY2) 其中 G 为图中阴影部分而DSES 2(ES) 2 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 X 的概率密度为：f() 故 EX0，DX ， DYE(Y 2)(EY) 2E(X 4)(EX 2)2 ， cov(X，Y)cov(X，X 2)E(X 3)EX.EX 20， 故知 (X，Y)的相关系数 (X，Y) 0，协方差阵为【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 记 Xi ，则而 X Xi 为电梯停的次数，故知平均停的次数为 EX【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案
16、】 记用第一、第二种方法制得的元件的寿命分别为 X、Y ，费用分别为 、，则知 X、Y 的概率密度分别为：E(C100)P(X200)CP(X 200) C100P(X200)， E (2C100)P(Y200)2CP(Y200)2C100P(Y200)， 于是 EEC100P(Y200)P(X200)C 100(e-2 )， 可见 C100( e -2)时，E E，用第 2 种方法较好(平均费用较低)【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设需进行 X 次试验，则所需费用为 Y1000300(X1)，而P(Xk)08 k-1.02.k1，2， 记 g() kk-1， 1，则于是 E
17、Xk.08 k-1.0202g(08)02 5， 故 EY1000300(EX1)2200( 元) 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 记 X 和 分别为买 1 张奖券的所得的奖金和净收益(单位为元)，则 X2，而 X 的概率分布为：EEX22192(元)【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 E(X Y) EX EY0，D(XY)DXDY2cov(X，Y)1122(1)， XYN(0，2(1)，而 max(X，Y) XYXY 故 Emax(X，Y) EXEYEX Y【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 故cov(Xi ，X j )cov(X i，X j)c
18、ov(X i， )cov( ，X j)cov( ) 可见 D(Xi )2，故 Xi 与 Xj 的相关系数为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 P(Xk)P前 k1 次试验中恰出现 1 次成功，第 k 次试验成功 ，k2，3， 设出现第 1 次成功时进行了 次试验，从第 1 次成功( 不含)到第 2 次成功 (含)进行了 次试验，则X，且 与 服从同一几何分布：P(k) ，k1，2，可算得 EE ，故 EXE 【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 EXi ，i1，2，n 而X Xi，故 EX 1【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 设 AC、AD 的长度分别
19、为 X、Y ，由题意知 X 与 Y 独立同分布，均服从区间(0，a)上的均匀分布，故(X，Y)的概率密度为：其中 D(，y) 0 a，0ya，而 CD 的长度为XY，故知 EXY yf(，y)ddy【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 EY iP(X iX i+11)P(X i0，X i+111)P(X i1，X i+10)2p(1 P)，i1，n， 2np(1p)，而 E(Yi2)P(X iX i+11)2p(1 p)， DY iE(Y i2)(EY i)2 2p(1p)1 2p(1p)，i1，2，n 若 lk2，则 Yk 与 Yl 独立，这时 cov(Yk，Y l)0， 而E(
20、YkYk+1)P(Y k1，Y k+11)P(X kX k+11，X k+1X k+21)P(X k0，X k+11，X k+20)P(X k1，X k+10，X k+21)(1p) 2pp 2(1p)p(1 p)，cov(Y k，Y k+1)E(Y kYk+1)EY kEYk+1p(1p)4p 2(1p) 2， 故2np(1p)12p(1p)2 cov(Yk，Y k+1)2np(1p)1 2p(1p)2(n1)p(1p)4p 2(1p) 2p(1 p)2n6np(1p) 4p(1p)1【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 EU2EXEY423 24 4，DUD(2X Y 4)4D
21、XDY4cov(X，Y)4924EE(XY) EX.EY3624(532)34【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 tR1，有 0E(XtY) 2E(X 2)2tE(XY) t 2E(Y2)，故此二次型(变量为 t)无实根或有重根，所以其判别式 0，而4E(XY) 24EX 2.EY2，即得EE(XY)2E(X2).E(Y2)【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 由已知可知：E(X i2)DX i(EX i)1，i1，n设(X1， ，X n)的概率密度为 f(1， 2， n)， 则 P f(1， n)d1，d n if(1， n)d1d n 【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 设甲影院(乙影院完全同理)应设 N 个座位才符合要求，而这 1000名观众中有 X 名选择甲影院，刚 XB(1000， ) 由题意有：P(XN)099而由中心极限定理知：N53【知识模块】 概率论与数理统计
