1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 73 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 A 是 n 阶方阵，E 是 n 阶单位矩阵，且 A3=E，则 = ( )2 已知 n 阶矩阵 A 和 n 阶矩阵 B 等价，则必有 ( )（A）A+E 和 B+E 等价（B） A2 和 B2 等价（C） AB 和 BA 等价（D）-2A 和 3B 等价3 设 A 为 n 阶矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解，则 ( )（A）A*x=0 的解均是 Ax=0 的解（B） Ax=0 的解均是 A*x=0 的解（C） Ax=0 与 A
2、*x=0 无非零公共解（D）Ax=0 与 A*x=0 仅有两个非零公共解4 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+2x2+x3)2+-x1+(a-4)x2+2x32+(2x1+x2+ax3)2 正定，则参数 a 的取值范围是 ( )（A）a=2（B） a=一 7（C） a0（D）a 可任意二、填空题5 设 n 阶行列式|A nn|=a，将 A 的每一列减去其余各列的行列式记成|B|，则|B|=_6 设 A，B，C 均是 3 阶矩阵，满足 AB=B2 一 BC，其中则 A5=_7 设 A 是 2 阶矩阵，有特征值 1=1， 2=2，B=A 2 一 3AE，则 B=kE，其中k=_8 设实
3、二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 经正交变换化成的标准形为 f=2y12-y22 一 y32，A*是 A 的伴随矩阵，且向量 =1，1，一 1T 满足 A*=，则二次型 f(x1，x 2，x 3)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设线性方程组 则 为何值时，方程组有解，有解时，求出所有的解10 已知齐次线性方程组(I)的基础解系为 1=1，0，1，1 T， 2=2，1，0，一 1T， 3=0，2，1，一 1T，添加两个方程 后组成齐次线性方程组()，求()的基础解系11 已知线性方程组(I) 及线性方程组()的基础解系 1=一3，7，2，0 T， 2=一 1
4、，一 2，0，1 T求方程组(I)和() 的公共解12 已知线性方程组 问：(1)a，b 为何值时，方程组有解；(2)方程组有解时，求出方程组的导出组的基础解系；(3)方程组有解时，求出方程组的全部解13 已知 1=一 3，2，0 T， 2=一 1，0，一 2T 是线性方程组的两个解向量，试求方程组的通解，并确定参数 a，b，c 14 已知 4 阶方阵 A=1， 2， 3， 4， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中2， 3， 4 线性无关， 1=22 一 3，如果 =1+2+3+4，求线性方程组 AX= 的通解15 设三元非齐次线性方程组 AX=b 的系数矩阵 A 的秩为 1，已知
5、 1， 2， 3 是它的三个解向量，且 1+2=1，2，3 T， 2+3=2，一 1，1 T， 3+1=0，2，0 T，求该非齐次方程的通解16 设 1， 2， ， n 是 n 个 n 维列向量，已知齐次线性方程组 1x1+2x2+ nxn=0 只有零解，问齐次线性方程组 ( 1+2)x1+(2+3)x2+( n-1+n)xn-1+(n+1)xn=0 是否有非零解 ?若没有，说明理由；若有，求出其通解17 设三元线性方程组有通解 求原方程组18 已知方程组(I) 及方程组( )的通解为 k 1一 1，1，1，0T+k22，一 1，0，1 T+一 2，一 3，0，0 T求方程组(I)，()的公共
6、解19 已知方程组 与方程组是同解方程组，试确定参数 a，b，c20 已知矩阵 相似 (1)求 x 与 y； (2)求一个满足 P-xAP=B 的可逆矩阵 P21 设 A，B 是 n 阶方阵，证明：AB，BA 有相同的特征值22 已知 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a，当 k 是自然数时，求 Ak 的每行元素之和23 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是三个不同的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量证明：向量组 A(1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关的充要条件是 A 是可逆矩阵24 设 A 是 3 阶实矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同的特征值， 1， 2，
7、 3 是三个对应的特征向量 证明：当 230 时，向量组 1， A(1+2)，A 2(1+2+3)线性无关25 设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T=，其中 ， 是实数，且 ， 是n 维非零向量证明：， 正交26 已知 A= 求 A 的特征值，并确定当 a 为何值时，A 可相似于 A，当 a 为何值时， A 不能相似于 A，其中 A 是对角矩阵27 若 A，B 均为 n 阶矩阵，且 A2=A，B 2=B，r(A)=r(B) ，证明：A，B 必为相似矩阵28 设矩阵 A= 且|A|= 一 1，A 的伴随矩阵 A*有特征值 0，属于 0的特征向量为 =一 1，一 1，1 T，求 a，b，c
8、及 0 的值29 设 A 是 3 阶实对称矩阵， 1=一 1， 2=3=1 是 A 的特征值，对应于 1 的特征向量为 1=0，1，1 T，求 A30 设 n 是奇数，将 1，2，3，n 2 共 n2 个数，排成一个 n 阶行列式，使其每行及每列元素的和都相等，证明：该行列式的值是全体元素之和的整数倍31 (1)设 1， 2， n 是 n 阶矩阵 A 的互异特征值， 1， 2， n 是 A 的分别对应于这些特征值的特征向量，证明 1， 2， n 线性无关； (2)设 A，B 为 n阶方阵，|B|0 ，若方程|A 一 B|=0 的全部根 1， 2， n 互异， i 分别是方程组(AiB)x=0
9、的非零解，i=1，2，n证明 1， 2， n 线性无关32 设非齐次线性方程组 Ax=1， 2， 3， 4x=5 有通解 k-1，2，0，3 T+2，一3，1，5 T (1)求方程组 2， 3， 4x=5 的通解； (2)求方程组1， 2， 3， 4， 4+5x=5 的通解33 设 n 维向量 s 可由 1， 2， s-1 唯一线性表示，其表出式为 s=1+22+33+(s 一 1)s-1 (1)证明齐次线性方程组 1x1+2x2+ i-1xi-1+i+1xi+1+ sxs=0 (*) 只有零解(i=1 ，2，s)； (2)求线性非齐次方程组 1x1+2x2+ sxs=1+22+s s (*)
10、 的通解34 已知 A，B 均是 24 矩阵，且 AX=0 有基础解系 1=1，1，2，1 T， 2=0，一3，1，0 T； BX=0 有基础解系 1=1，3，0，2 T， 2=1，2，一 1，a T (1)求矩阵 A； (2)若 AX=0 和 BX=0 有非零公共解，求参数 a 的值及公共解35 已知齐次线性方程组(I)为 齐次线性方程组()的基础解系为1=一 1，1，2，4 T， 2=1，0，1，1 T (1)求方程组(I)的基础解系； (2)求方程组(I)与()的全部非零公共解，并将非零公共解分别由方程组(I)，() 的基础解系线性表示36 设三阶方阵 A 满足 A1=0，A 2=21+
11、2，A 3=-1+32-3，其中 1=1，1，0T， 2=0，1，1 T， 3=-1，0，1 T (1) 求 A； (2)求对角矩阵 A，使得 AA37 设 a0，a 1，a n-1 为 n 个实数，方阵(1)若 是 A 是一个特征值，证明=1， ， 2， n-1T 是 A 的对应于 的特征向量；(2)若 A 的特征值两两互异，求一可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵38 设 A 是 3 阶实对称矩阵，AB，其中 B= (1)求 A 的特征值； (2) 若1=1，1，0 T， 2=2，2，0 T， 3=0，2，1 T， 4=5，-1，-3 T 都是 A 的对应于1=2=0 的特征向量，求
12、 A 的对应于 3 的特征向量； (3)求矩阵 A考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 73 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 故 P200=(P2)100= 又 A100=A333+1=(A3)33.A=E.A=A【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 n 阶矩阵 A 和 B 等价，故 r(A)=r(B).因为 r(A)=r(-2A)=r(B)=r(3B)，故-2A 和 3B 等价，应选 (D)取 r(A)=r(B)=2，但r(A+E)=1r(B+E)=2，所以 A+E 和 B+E 不等价，故 (
13、A)不成立取r(A)=r(B)=1，但 r(A2)=1r(B2)=0，所以 A2 和 B2 不等价，故(B)不成立取 ，r(A)=r(B)=1，但 r(AB)=0r(BA)= 所以 AB和 BA 不等价，故(C)不成立【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 因为齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解向量，所以方程组Ax=0 的基础解系所含向量个数 n 一 r(A)2，于是 r(A)n 一 2，由此得知A*=O任意 n 维列向量均是方程组 A*x=0 的解因此方程组 Ax=0 的解均是A*x=0 的解，选项(B)是正确的选项(A)显然不对对于选项(C) ，(D) ，由于方程
14、组 Ax=0 的基础解系至少含有两个解向量，故Ax=0 有无穷多个非零解，与 A*x=0 的公共解中也有无穷多个非零解显然(C)，(D)不正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 f(x 1，x 2，x 3)已是平方和，故 f(x1， x2，x 3)0又则方程组(*)的系数行列式 对任意 a 成立，故对任意a，(*)式有唯一零解故对任意的 x0，有 f(x1，x 2，x 3)=xTAx0，f 正定，故应选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题5 【正确答案】 (2 一 n)2n-1a【试题解析】 由题设知，若|A|=| 1， 2， n|=a，则【知识模块】 线性代数6 【正确
15、答案】 【试题解析】 因|B|= =10，故 B 可逆，则由 AB=B2 一 BC=B(BC)，得 A=B(B-C)B-1，于是 A 5=B(B-C)B-1B(BC)B-1B(BC)B-1=B(BC)5B-1，【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 一 3【试题解析】 因为 A 是 2 阶矩阵，有两个不同的特征值 1=1， 2=2，故存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=A= ，故 A=PAP-1因此 kE=B=A23AE=(PAP-1)2一 3PAP-1 一 PP-1 故 k=-3或 kE=B=A2 一 3AE=(AE)(A 一 2E)-3E =(PAP-1 一 PP-1)(PAP-12PP-
16、1)一3E=P(AE)(A 一 2E)P-1-3E 故 k=一 3【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 2x 1x2-2x1x3-2x2x3【试题解析】 由于 A 的特征值为 2，一 1，一 1，所以 |A|=2(-1)(-1)=2 对A*= 两端左边乘 A，并利用 AA*=|A|E 得 A=2，则 是 A 的对应于特征值 2的特征向量 取 2=0，1，1 T， 3=-2，1，-1 T，则 ， 2， 3 两两正交，将它们分别单位化有 令Q=q1，q 2，q 3，即 Q 为正交矩阵，且 所以二次型f(x1，x 2，x 3)=2x1x2-2x1x2-2x2x3【知识模块】 线性代数三、解答题解答
17、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 方程组是齐次线性方程组故当 一 2 且 2 时，有唯一零解；当 =2 时，有无穷多解，其解为 k11，一1，0，0 T+k21，0，一 1，0 T+k31，0，0，-1 T，k 1，k 2，k 3 为任意常数；当 =一2 时，方程为 有通解 k1，1，1，1 T，k 为任意常数【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 方程组(I)的通解为 k11+k22+k33= 其中 k1，k 2，k 3是任意常数代入添加的两个方程，得 得解： 1=2，一 3，0T， 2=0，1， -1T，故方程组()的基础解系为 1=2132=一 4，-3，2，5T，
18、 2=2-3=2，一 1，一 1，0 T【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 方程组()的通解为 k 11+k22=k1-3，7，2，0 T+k2-1，一2，0，1 T=-3k1 一 k2，7k 1-2k2，2k 1，k 2T，其中 k1，k 2 是任意常数将该通解代入方程组(I)得， 3(-3k 1-k2)一(7k 1-2k2)+8(2k1)+k2=一 16k1+16k13k2+3k2=0， (一3k1-k2)+3(7k1-2k2)一 9(2k1)+7k2=一 21k1+21k17k2+7k2=0，即方程组()的通解均满足方程组(I)，故()的通解 k1一 3，7，2，0 T+k2一 1
19、，一 2，0，1 T 即是方程组(I) ，( )的公共解【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 (1)a=1，b=3 时，r(A)=r(A|b) ，方程组有解(2)导出组基础解系为： 1=1，一2，1，0，0 T， 2=1，-2，0，1，0 T， 3=5，一 6，00，1 T(3)方程组通解：非齐次特解为 =-2，3，0，0，0 T，故通解为 k11+k22+k33+，其中 k1，k 2，k 3为任意常数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 对应齐次方程组有解 = 1-2=一 2，2，2 T 或一 1，1，1 T，即对应齐次方程组至少有一个非零解向量，故又显然应有 r(A)=r(A|b)
20、2，从而 r(A)=r(A|b)=2，故方程组有通解 是一 1，1，1 T+一 3，2，0 T，其中k 为任意常数，将 1， 2 代入第一个方程，得 一 3a+2b=2，一 a 一 2c=2，解得 a=-2-2c，b=-2-3c，c 为任意常数，可以验证：当 a=-2-2c，b=-2-3c，c 任意时， r(A)r(A|b)=2【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由 1=22 一 3 及 2， 3， 4 线性无关知 r(A)=r(1， 2， 3， 4)=3且对应齐次方程组 AX=0 有通解 k1，一 2，1，0 T，又 =1+2+3+4，即1， 2， 3， 4X=1+2+3+4=1， 2
21、， 3， 4 故非齐次方程组有特解=1，1，1，1 T，故方程组的通解为 k1，一 2，1，0 T+1，1，1，1 T，k 为任意常数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 因 r(A)=1，故 AX=b 的通解应为 k11+k22+，其中对应齐次方程AX=0 的解为 1=(1+2)一( 2+3)=-1，3，2 T， 2=(2+3)一( 3+1)=2，一 3，1T因 1， 2 线性无关，故 1， 2 是 AX=0 的基础解系 取 AX=b 的一个特解为故 AX=b 的通解为 k 1一 1，3，2 T+k22，一 3，1T+0，1，0 T，k 1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性代数16
22、【正确答案】 齐次线性方程组 1x1+2x2+ nxn=0 只有零解，故其系数矩阵(记为 A)的秩 r(A)=r(1， 2， n)=n，则矩阵 A 是可逆方阵 齐次线性方程组 (1+2)x1+(2+3)x2+( n-1+n)xn-1+(n+1)xn=0 (*)的系数矩阵(记为 B)和 A 有如下关系： 1+2， 2+3， n-1+n， n+1=1， 2， n记为 B=AC因 A 可逆，故有 r(B)=r(C)，而当 n=2k+1 时，|C|=20，故 r(B)=r(C)=n，方程组 (*)只有零解 当 n=2k 时，|C|=0，故 r(B)=r(C)n，方程组(*)有非零解 当 n=2k 时，
23、B=AC，A 可逆故 Bx=0 和 Cx=0 是同解方程组，故只需求解齐次线性方程组 Cx=0 即可 对 C 作初等行变换，将第 i 行的一 1 倍加到第 i+1 行(i=1，2，n 一 1)知 r(B)=r(C)=2k一 1，Bx=0 的基础解系为 =1，一 1，1，1，一 1T，故方程组(*)的通解为c=c1，一 1，1，1，一 1T，其中 c 是任意常数 或由 C 知，C 中有 n 一 1阶子式 Cn-10，故 r(B)=r(C)=2k 一 1，Bx=0 有通解 l 由观察，因 1+2 一( 2+3)+一( 2k+1)=0，则通解为 l1，一 1，1，一 1，一 1T，其中 l 是任意常
24、数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 设非齐次线性方程组为 ax 1+bx2+cx3=d，由 1=-1，3，2T， 2=2，一 3，1 T 是对应齐次解，代入对应齐次线性方程得 解得a=-9k，b=-5k ，c=3k，k 是任意常数又 =1，一 1，3 T 是非齐次方程的解，代入得 d=一 b=5k，故原方程组是 9x1+5x23x3=一 5【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 将方程组()的通解 k 1一 1，1，1，0 T+k22，一 1，0，1 T+-2，一 3，0，0 T=-2-k1+2k2，一 3+k1 一 k2，k 1，k 2T 代入方程组(I) ，得化简得 k 1=2k
25、2+6 将上述关系式代入()的通解，得方程组(I)，( )的公共解为一 2 一(2k 2+6)+2k2，一 3+2k2+6-k2，2k 2+6,k2T=-8，k 2+3，2k 2+6，k 2T【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 对方程组(I)，因增广矩阵为 故其通解为 k-1，2 ，一 1，1 T+1，2，一 1，0 T=1-k， 2+2k，一 1-k，k T，k 为任意常数 将通解代入方程组()，有 解得 a=-1，b=-2，c=4此时，方程组()的增广矩阵为因r(B)=r(B|)=3，故方程组 (I)和()是同解方程组【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)B 的特征值为 2
26、，y，-1由 A 与 B 相似，则 A 的特征值为2，y，-1 故 (2)分别求出 A 的对应于特征值1=2， 2=1， 3=一 1 的线性无关的特征向量为 令可逆矩阵 P=p1，p 2，p 3= 则 P-1AP=B【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设 AB 有任一特征值 ，其对应的特征向量为 ，则AB= 式两端左边乘 B，得BAB=BA(B)=(B) 若 B0，式说明，BA 也有特征值 (其对应的特征向量为 B)，若 B=0，由式知 =0，又 0，得 AB 有特征值 =0，从而|AB|=0，且|BA|=|B|A|=|A|B|=0，从而 BA 也有 =0 的特征值故 AB 和 BA 有
27、相同的特征值【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 A 的每行元素之和为 a，故有 A1，1，,1 T=a1，1，1 T， 即 a 是 A 的一个特征值 又 Ak 的特征值为 ak，且相应的特征向量相同，即 Ak1， 1，1 T=ak1， 1，1 T， 故 Ak 的每行元素之和为 ak【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 A( 1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关11+22， 22+33， 33+11 线性无关 11+22， 22+33， 33+11=1， 2， 3 秩为 3 |A|=1230，A 是可逆矩阵(因为 1， 2， 3 线性无关， =21230)【知识模块】 线性
28、代数24 【正确答案】 因 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)=1， 11+22， 121+222+323=1， 2， 3 因 123，故 1， 2， 3 线性无关，由上式知1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关 =2320，即 230【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 A=, 两边转置得 TAT=T， 上式两端右边乘 ，得TAT=T，则 T=T，即( 一 )T=0 又 ，故 T=0，, 相互正交【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 |E 一 A|=( 一 a)一(1 一 a) 一(1+a)=0，得 1=1 一 a， 2=a， 3=1+a于是有：当 且 a0 时，12
29、3，AA；当 ，A 不能相似于对角矩阵 A；当 a=0 时， 1=3=1，r(E 一 A)= =2，A 不能相似于对角矩阵 A【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由 A2=A，可知 A 的特征值为 0 或 1，对应于 0，1 的线性无关的特征向量的个数分别为 n-r(0.EA)与 n 一 r(1.E 一 A) 又由于 A2-A=O，即 A(AE)=O，则 r(A)+r(AE)n，于是 A 的线性无关的特征向量的总个数为 n 一 r(0.E一 A)+n 一 r(1.E 一 A)=2n 一r(-A)+r(E 一 A)2n-n=n， 故 A 有 n 个线性无关的特征向量，则 A 可相似对角化
30、同理，B 也可相似对角化，且由题设， r(A)=r(B)，可知 A，B 有完全相同的特征值，即 A，B 相似于同一对角矩阵故 A，B 必相似【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 依题意有 A*=0，两端左边乘 A，得 AA*=|A|=-a=0A即由此得 0(一 a+1+c)=1， 0(一 5b+3)=1， 0(c 一 1 一 a)=一 1， 由式 ，解得 0=1，代入式， 得 b=一 3，a=c 由|A|=一 1，a=c，有 得 a=c=2，故得 a=2，b=-3，c=2， 0=1【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 因 A 是 3 阶实对称矩阵，故 2=3=1 有两个线性无关特征向量
31、2， 3，它们都与 1 正交，故可取 2=1，0，0 T， 3=0，1，-1 T，且取正交矩阵则 A=TT-1=TTT=【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 设|A|= 其中 n=2k+1 是奇数，k 是整数设全体元素之和为 S，即 则每行每列元素之和为 则右端行列式中 (j=2， 3，n) ，其中 n=2k+1 是奇数，故 n2=(2k+1)2 仍是奇数，则 n2+1 是偶数， 也是整数又 aij(i=2，n,j=2 ，n) 是整数，故右端行列式的值是整数(由行列式的定义知)，故|A|是全体元素之和 S 的整数倍【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 (1)用数学归纳法 由特征向量 1
32、0，故 1 线性无关； 假设前 k 一 1 个向量 1， 2， k-1 线性无关，以下证明 1， 2， k 线性无关k 个互异特征值 1， 2， k 对应着特征向量 1， 2， k现设存在一组数 l1，l 2，l k，使得 l 11+l22+lkk=0， (*) 在(*)式两端左边乘 A，有l1A1+l2A2+lkAk=0，即 l 111+l222+lkkk=0 (*) 又在(*) 式两端左边乘k，有 l111+l222+lkkk=0 (*) 用(*)式减去(*)式，得 l 1(1k)1+l2(2一 k)2+lk-1(k-1 一 k)k-1=0 由归纳假设 1， 2， k-1 线性无关，故 l
33、 1(1一 k)=l2(2 一 k)=lk-1(k-1 一 k)=0， 又 ik0(i=1，2，k 一 1)，故l1=l2=lk-1=0 代回(*)式，于是 lkk=0，由 k0，有 lk=0，于是 1， 2，, k 线性无关 即 A 的 n 个互异特征值对应的特征向量 1， 2， n 线性无关 (2)由|B|0，在|A 一 B|=0 两端左边乘|B -1|，有 |B -1A 一 E|=0，即|E 一 B-1A|=0， 于是1， 2， n 是矩阵 B-1A 的 n 个互异特征值 又由(A- iB)x=0，两端左边乘 B-1，有 (B -1AiE)x=0，即( iE 一 B-1A)x=0，故 1
34、， 2， n 为 B-1A 的对应于1， 2， n 的特征向量，由 (1)知， 1， 2， ， n 线性无关【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 (1)由题设，非齐次线性方程组 1， 2， 3， 4x=5 有通解 k一1，2，0，3 T+2，一 3，1，5 T，则 r( 1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3， 4， 5)=3 且由对应齐次方程组的通解知，一 1+22+34=0，即 1=22+34，故 2， 3， 4 线性无关(若线性相关，则 r(1， 2， 3， 4)3，这和题设矛盾 ) 2， 3， 4 是1， 2， 3， 4 及 1， 2， 3， 4， 5 的极大线性无关组， 1，
35、 5 均可由2， 3， 4 线性表示，从而 r(2， 3， 4)=r(2， 3， 4， 5)=3 方程组 2， 3， 4x=5 (*)有唯一解由题设条件， 5 可由 1， 2， 3， 4 线性表示，且表示法不唯一，可取 k=2，使 5 由 1， 2， 3， 4 线性表示时，不出现 1，则得 5=2+3+114，故方程组(*)的通解(唯一解)为 x=1，1，11 T (2)对于非齐次线性方程组 1， 2， 3， 4， 4+5x=5， (*)因 r(1， 2， 3， 4， 4+5)=r(1， 2， 3， 4， 4+5,5)=3，故方程组(*)的通解的结构为 k11+k22+.因， ，+ =5，故
36、1= 1， 2， 3， 4， 4+5 =5，故2= 1， 2， 3， 4， 4+5 =0，故 1= 所以方程组(*)的通解为k11+k2(1 一 2)+2= 其中 k1，k 2 是任意常数【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 (1)齐次线性方程组 1x1+2x2+ i-1xi-1+i+1xi+1+ sxs=0 只有零解 r(1， 2， i-1,i+1， s)=s1(未知量个数) 1， 2， i-1， i+1， s 线性无关 设有数 k1，k 2，k i-1，k i+1，k s，使得 k11+k22+ki-1i-1+ki+1i+1+kss=0 将题设条件 s=1+22+(s 一 1)s-1
37、代入上式，得 k 11+k22+ki-1i-1+ki+1i+1+ks-1s-1+ks1+22+(s1)s-1=0，即 (k1+ks)1+(k2+2ks)2+ki-1+(i 一 1)ksi-1+iksi+ ki+1+(i+1)ksi+1+ks-1+(s-1)kss-1=0 由条件知, 1， 2， s-1 线性无关，故有 因 i0，由 iks=0，得 ks=0，从而有 k1=k2=ki-1=ki+1=ks-1=0所以 1， 2， i-1， i+1， s 线性无关，于是方程组 (*)只有零解 (2)因 1， 2， s-1 线性无关， s=1+22+33+(s1)s-1，有 r( 1， 2， s-1)
38、=s 一1=r(1， 2， s，( 1+22+s s) 故方程组(*)有通解 k+，其中 =1，2，(s-1) ，一 1T，=1 ，2，s T，k 是任意常数【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 (1)记 C=1， 2，则有 AC=A1， 2=O，得 CTAT=O，即 AT 的列向量(即 A 的行向量) 是 CTX=0 的解向量 解得 CTX=0 的基础解系为 1=1，0，0，一 1T， 2=-7，1，3，0 T故 (2)若 AX=0 和 BX=0 有非零公共解，则非零公共解既可由 1， 2 线性表出，也可由1， 2 线性表出，设公共解为 =x11+x22=x31+x42于是 x 11+x
39、22-x31 一x44=0 (*) 对 1， 2，一 1，一 2作初等行变换，有当 a=3 时，方程组(*)有非零解，即 k一 1，1，一 2，1 T此时 AX=0 和 BX=0 的非零公共解，为=L1(一 1+2)=L1一 1，一 4，一 1，一 1T=L1，4，1，1 T，其中 L 是任意常数【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 (1)对齐次线性方程组(I) 的系数矩阵作初等行变换，得故其同解方程组为 由此解得方程组(I)的基础解系为 1=2，一 1，1，0 T， 2=一 1，1，0，1 T (2)由(1)解得方程组(I)的基础解系 1， 2于是，方程组(I)的通解为 k 11+k22
40、=k12，一 1，1，0T+k2一 1，1，0，1 T(k1，k 2 为任意常数) 由题设知，方程组()的基础解系为1， 2，其通解为 l 11+l22=l1一 1，1，2，4 T+l21，0，1，1 T(l1，l 2 为任意常数) 为求方程组(I)与()的公共解，令它们的通解相等，即 k 12，一 1，1，0 T+k2一1，1，0，1 T=l1一 1，1，2，4 T+l21，0，1，1 T从而，得到关于 k1，k 2，l 1，l 2的方程组 对此方程组的系数矩阵作初等行变换，得由此可得，k 1=k2=l2，l 1=0 所以，令k1=k2=k，方程组 (I)，( ) 的非零公共解是 k2 ，一
41、 1，1，0 T+k一 1，1，0，1T=k1，0，1，1 T(k 为任意非零常数)并且，方程组(I)，()的非零公共解分别由方程组(I)，( )的基础解系线性表示为 k(1+2)和 0.1+k2【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 (1)合并 1， 2， 3 成矩阵，并由题设条件得 A 1， 2， 3=0，2 1+2，一 1+32 一 3=1， 2， 3 由|1， 2， 3|= =20，知 1， 2， 3可逆，且(2)由(1)知 A 1， 2， 3=1， 2， 3 故 1， 2， 3-1A1， 2， 3=又|E 一 B|= =( 一 1)(+1)，故 B 有三个不同的特征值 1=0， 2
42、=1， 3=一 1故 B= 由相似矩阵的传递性，得 AB，即 A=【知识模块】 线性代数37 【正确答案】 (1)A 的特征多项式=n+an-1n-1+a1+a0，因 是 A的特征值，故 |E 一 A|=n+an-1n-1+a1+a0=0，于是得到 n=一(a n-1n-1+a1+a0)，所以 因而，=1， ， 2， n-1T 是 A 的对应于 的特征向量，故 i=1， i， i2， in-1T 是 A 的对应于 i(i=1，2，n)的特征向量 (2)由于 A 的特征值1， 2， n 两两互异，故依次对应的特征向量 1， 2， n 线性无关，因为Ai=ii(i=1，2，n) ，令 P=1， 2
43、， n，则有 从而 P 即为所求【知识模块】 线性代数38 【正确答案】 (1)由 A B，知 A，B 有相同的秩和特征值显然 r(B)=1，B 有特征值 1=2=0 且 1+2+3= =1+4+9，得 3=14故 A 有特征值1=2=0， 3=14 (2) 1=2=0 是 A 的二重特征值，对应的线性无关特征向量最多有两个，由题设知 1=1，1，0 T， 3=0，2，1 T 线性无关 (取 1， 2， 3， 4 的极大线性无关组，不唯一)，故取 1=1， 2=3 为 =0 的线性无关特征向量，因 A 是实对称矩阵，将 3=14 对应的特征向量设为 3=x1，x 2，x 3T，则 3 与 1， 2 正交，即 1T3=0， 2T3=0于是有 解得基础解系为 3=1，一 1，2 T，故3=14 对应的特征向量为 k3(其中 k 为任意不为 0 的常数) (3)令 P=1， 2， 3，则【知识模块】 线性代数
