[考研类试卷]考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷76及答案与解析.doc

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1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 76 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知随机事件 A，B 满足条件 AB ，则 ( )（A）A，B 两事件相等（B） A，B 两事件相互独立（C） A，B 两事件为对立事件（D）A，B 两事件不相互独立2 以下结论，错误的是 ( )（A）若 0P(B)1，P(A|B)+ =1，则 A，B 相互独立（B）若 A，B 满足 P(B|A)一 1，则 P(AB)=0（C）设 A，B ，C 是三个事件，则 (AB)B=AB（D）若当事件 A，B 同时发生时，事件 C 必发生，则 P(C)P(A)+P(B)一 13 设

2、 P(B)0，A 1，A 2 互不相容，则下列各式中不一定正确的是 ( )（A）P(A 1A2|B)=0（B） P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)（C）（D）4 设 YU(a，5)，关于 x 的方程 4x2+4Yx+3Y+4=0 无实根的概率为，则常数 a= ( )5 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= (0)，则概率 PX +a(a 0)的值 ( )（A）与 a 无关，随增大而增大（B）与 a 无关，随增大而减小（C）与无关，随 a 增大而增大（D）与无关，随 a 增大而减小6 设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布，XN(，4 2)，Y N( ，5 2)，记

3、 p2=PX一 4， p2=PY+5，则 ( )（A）对任意实数 ,都有 p1=p2（B）对任意实数，都有 p1p 2（C）只对的个别值，才有 p1=p2（D）对任意实数，都有 p1p 27 设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x， y)，则随机变量 Z=YX 的概率密度 fZ(z)= ( )（A） -+f(x，zx)dx（B） -+f(x，x 一 z)dx（C） -+ f(x，z+x)dx（D） -+ f(-x，z+x)dx8 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 12)，Y N(0 ， 22)，则概率 P|XY|1 ( )（A）随 1 的增加而增加，随 2 的

4、增加而减少（B）随 1 的增加而减少，随 2 的减少而减少（C）随 1 的增加而减少，随 2 的减少而增加（D）随 1 的增加而增加，随 2 的减少而减少9 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(0，1)，Y B(n，p)(0p1)，则 X+Y的分布函数 ( )（A）为连续函数（B）恰有 n+1 个间断点（C）恰有 1 个间断点（D）有无穷多个间断点10 设 X 为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数 C 和 0，必有 ( )（A）P|XC|=E(|XC|) （B） P|XC|E(|XC|)（C） P|XC|E(|XC|)（D）P|XC|DX 2二、填空题11 某单位员工中有 90的人

5、是基民(购买基金)，80的人是炒股的股民，已知在是股民的前提条件下，还是基民的人所占的比例至少是_12 设两个相互独立的事件 A 与 B 至少有一个发生的概率为，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，则 P(A)=_13 将一枚硬币重复掷五次，则正面、反面都至少出现两次的概率为_14 已知每次试验“ 成功” 的概率为 p，现进行 n 次独立试验，则在没有全部 “失败”的条件下，“ 成功” 不止一次的概率为 _15 设 X 服从参数为的指数分布，对 X 作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为，则 =_16 设随机变量 X 与随机变量一 X 具有相同的

6、概率密度 f(x)，则 f(x)一 f(一 x)=_17 设随机变量 X 服从正态分布，其概率密度为则常数 k=_18 设二维随机变量(X，Y)在 G=(x，y)| x0，0y2x+1 上服从均匀分布，则条件概率19 设二维随机变量(X，Y)的分布律为则随机变量 Z=Y.minX，Y) 的分布律为_20 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 Z=的概率密度为_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 某计算机系统有 100 个终端，每个终端有 20的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有 10 个或更多个终端在使用的概率22 设

7、 X1，X 2，X n 为总体 X 的一个样本，已知 EX=，DX= 2+，求和E(S2)23 从装有 1 个白球，2 个黑球的罐子里有放回地取球，记这样连续取 5 次得样本 X1，X 2，X 3，X 4，X 5记 Y=X1+X2+X5，求： (1) ，E(S2)(其中，S 2 分别为样本 X1，X 2，X 5 的均值与方差)； (2)Y 的分布律，EY，E(Y 2)24 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X 3 是来自总体 X 的样本，证明估计量的期望都是，并指出它们中哪一个方差最小25 设 X1，X 2，X n 为总体 X 的一个样本，设 EX=，DX= 2，试确定常数 C，

8、使一 CS2 的期望为 2(其中，S 2 分别为样本 X1，X 2，X n 的均值和方差)26 设X n是一随机变量序列，X n 的概率密度为：27 假设有四张同样卡片，其中三张上分别只印有 a1，a 2，a 3，而另一张上同时印有a1，a 2，a 3现在随意抽取一张卡片，令 Ak=卡片上印有 ak证明：事件A1，A 2，A 3 两两独立但不相互独立28 设 X 和 Y 相互独立都服从 0-1 分布，且 PX=1=PY=1=06，试证明：U=X+Y，V=XY 不相关，但是不独立29 某保险公司接受了 10 000 辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为 12元若车丢失，则赔偿车主 1 00

9、0 元假设车的丢失率为 0006，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司：(1)亏损的概率；(2)一年获利润不少于 40 000 元的概率；(3)一年获利润不少于 60 000 元的概率 30 设事件 A 出现的概率为 p=05，试利用切比雪夫不等式，估计在 1 000 次独立重复试验中事件 A 出现的次数在 450 到 550 次之间的概率 31 设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，且 X 的概率分布为其中 01分别以 v1，v 2 表示X1，X 2，X n 中 1，2 出现的次数，试求 (1)未知参数的最大似然估计量； (2)未知参数的矩估计量； (3)

10、当样本值为 1，1，2，1，3，2 时的最大似然估计值和矩估计值32 设有甲、乙两名射击运动员，甲命中目标的概率是 06，乙命中目标的概率是05，求下列事件的概率：(1)从甲、乙中任选一人去射击，若目标被命中，则是甲命中的概率；(2)甲、乙两人各自独立射击，若目标被命中，则是甲命中的概率33 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24 只装统计资料表明，每箱最多有 2 只残品，且含 0，1，2 件残品的箱各占 80，15，5现在随意抽取一箱，随意检验其中 4 只，若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换试求：(1)一次通过验收的概率；(2)通过验收的箱中确实无残品的概率34 在电视剧乡村爱情中，谢

11、广坤家中生了一对龙凤胎，专业上叫异性双胞胎假设男孩的出生率为 51，同性双胞胎的概率是异性双胞胎的 3 倍，已知一双胞胎第一个是男孩，试求第二个也是男孩的概率35 甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为04，05，07设飞机中一弹而被击落的概率为 02，中两弹而被击落的概率为 06，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率36 某考生想借张宇编著的张宇高等数学 18 讲，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 76

12、答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 AB 等价于 AB= 等价于AB=由得到 A，B 为对立事件两个对立事件 A 和 B 是互斥的，一般情况下是不相互独立的但当 A 和 B 中有一个为不可能事件时，则另一个必为必然事件这时对立的两个事件 A 和 B 又是相互独立的故 (B)，(D) 两选项都不正确【知识模块】概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】对于(A) ，即 P(B)-P 2(B)=P(AB)+P(B)一 P(A)P(B)一 P2(B)从而 P(AB)=P(A)P(B)，故(A) 正确对于(D)， P(C

14、4)x0 一 1Y4，可知：当 a-1 时，由P方程无实根=P一 1 Y4= 当一 1a4 时，由 P方程无实根=P一 1Y4= 当4a5 时，则与题设矛盾，因为 P方程无实根=P 一 1Y 4=0 综上所述，a=一 15 或【知识模块】概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】由概率密度的性质知， +Ae-xdx=Ae-=1，可得 A=e.于是 PX+a= +aee-xdx=1 一 e-a，与无关，随 a 增大而增大【知识模块】概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】用 (x)代表标准正态分布 N(0，1)的分布函数，有由于 (一 1)=1 一 (1)，所以p1=

15、p2【知识模块】概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】记 Z 的分布函数为 FZ(z)，则 FZ(z)=PZz=PYXz=-+dx-x+zf(x，y)dy，其中 Dz=(x，y)|y 一 xz如图 36 的阴影部分所示，将代入得 FZ(z)=-+dx-zf(x，u+x)du= -zdu-f+(x，u+x)dx于是因此本题选(C)【知识模块】概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】由 XN(0， 12)，YN(0， 22)且 X，Y 独立，知 X-YN(0 ， 12+22)，从而 P|XY|1=P一 1X Y1=由于 (x)是 x 的单调增加函数，因此当1 增加

16、时, 减少；当 2 减少时，增加因此本题选(C)【知识模块】概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】记 Z=X+Y，则 Z 的分布函数是 n+1 个连续函数之和，所以为连续函数因此本题选(A)【知识模块】概率论与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】故选(C)【知识模块】概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 0875【试题解析】设事件 A，B 分别表示员工是基民、股民，依题意 P(A)=09，P(B)=0 8 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)P(A)+P(B)一 1=07，因此【知识模块】概率论与数理统计12 【正确答案】【试题解析】已知事件

17、 A 与 B 独立，且 P(AB)= P(AB)=P(BA)，故 P(A)一 P(AB)=P(B)一 P(AB) 所以【知识模块】概率论与数理统计13 【正确答案】【试题解析】这是独立重复试验概型，设 X=掷五次硬币，正面出现的次数，则X ，而 Y=5 一 X 为五次中反面出现的次数记 A=正面、反面都至少出现两次，则 P(A)=P2X5，2Y5=P2X5 ，25 一 X5 =P2X5，0X3=PX=2X=3【知识模块】概率论与数理统计14 【正确答案】【试题解析】这是独立重复试验概型，记 A=成功，则 P(A)=p，X=n 次试验中A 发生的次数，则 XB(n，p)，“在没有全

18、部失败的条件下，成功不止一次”的概率为【知识模块】概率论与数理统计15 【正确答案】【试题解析】 X 的概率密度为 f(x)= 记 Y=对 X 作三次独立重复观察X2 发生的次数，则 YB(3，p)，其中 p=PX 2=2+e-xdx=e-2，由题意PY1=1 一 PY=0=1 一(1 一 p3)= 于是又 p=e-2，所以【知识模块】概率论与数理统计16 【正确答案】 0【试题解析】随机变量 X 与随机变量一 X 具有相同的概率密度 f(x)，因而也具有相同的分布函数 F(x)，即 PXx=F(x)=P一 Xx从而 -xf(x)dx=F(x)=PXx=P-Xx=PX一 x =1

19、一 PX一 x=1-xf(x)dx 即 -xf(x)dx+-xf(x)dx=1，等式两边求导得 f(x)一 f(-x)=0【知识模块】概率论与数理统计17 【正确答案】【试题解析】因为 f(x)= 所以【知识模块】概率论与数理统计18 【正确答案】 1【试题解析】 G 如图 37 的OAB 所示，它的面积 S= ，所以(X ，Y)的概率密度为由于关于 Y 的边缘概率密度其中 D 如图 37 阴影部分所示【知识模块】概率论与数理统计19 【正确答案】【试题解析】 Z 全部可能取值为 0，1，2，3，且 PZ=0=PY.minX，Y=0=PminX，Y=0=PX=0= PZ=1=PY

20、.minX，Y=1=PY=1，minX ，Y=1=PX=1，Y=1= PZ=2=PY.minX，Y=2=PY=2，minX ，Y=1=PX=1，Y=2= PZ=3=PY.minX，Y=3=PY=3，minX ，Y=1=PX=1，Y=3= 所以 Z 的分布律为【知识模块】概率论与数理统计20 【正确答案】【试题解析】 X 的概率密度为 f(x)= fZ(z)=-+|x|f(x)f(xz)dx，【知识模块】概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】设 Xi= 则同时使用的终端数所求概率为【知识模块】概率论与数理统计22 【正确答案】【知识模块】

21、概率论与数理统计23 【正确答案】 (1)由于 X 的分布律为所以(2)Y 是连续 5 次取球中取得黑球的个数，所以从而【知识模块】概率论与数理统计24 【正确答案】因同理可得【知识模块】概率论与数理统计25 【正确答案】【知识模块】概率论与数理统计26 【正确答案】对任意给定的 0，由于【知识模块】概率论与数理统计27 【正确答案】 P(A k)= (k=1，2，3)，P(A kAj)= (k，j=1，2，3；kj) ，P(A 1A2A3)= 由于对任意 k，j=1 ，2，3 且 kj，有可见事件 A1，A 2，A 3 两两独立但是，由于故事件 A1，A 2，A 3

22、不相互独立【知识模块】概率论与数理统计28 【正确答案】由协方差的定义和性质，以及 X 和 Y 相互独立，可知 Cov(U，V)=E(UV)一 EUEV=E(X2 一 Y2)一 E(X+Y)E(XY)=E(X2)一 E(Y2)=0，于是，U=X+Y，V=XY 不相关现在证明 U=X+Y，V=XY 不独立事实上，由 PU=0=PX=0，Y=0=PX=0PY=0=016， PV=0=PX=0，Y=0+PX=1，Y=1 =PX=0PY=0)+PX=1PY=1=052， PU=0，V=0=PX=0，Y=0=PX=0PY=0 =016016052=PU=0PV=0 ，可见U，V 不独立【知识模

23、块】概率论与数理统计29 【正确答案】设 X 为“需要赔偿的车主人数” ，则需要赔偿的金额为Y=01X(万元)；保费总收入 C=12 万元易见，随机变量 X 服从参数为 n，p 的二项分布，其中 n=10 000，p=0 006；EX=np=60，DX=np(1 一 p)=5964由棣莫弗一拉普拉斯定理知，随机变量 X 近似服从正态分布 N(60，5964)，随机变量Y 近似服从正态分布 N(6，05964) (1) 保险公司亏损的概率(2)保险公司一年获利润不少于 4 万元的概率(3)保险公司一年获利润不少于 6 万元的概率【知识模块】概率论与数理统计30 【正确答案】设 X 表示“

24、1 000 次独立重复试验中事件 A 出现的次数” ，则XB(1 000，05)， EX=100005=500，DX=1 00005 2=250由切比雪夫不等式，知 =P450X550=P|X 一 500|50【知识模块】概率论与数理统计31 【正确答案】 (1)样本 X1，X 2，X n 中 1，2，3 出现的次数分别为 v1，v 2，n一 v1 一 v2，则似然函数和似然方程为故似然方程的唯一解就是参数的最大似然估计量 (2)总体 X 的数学期望为 EX=2+4(1 一 )+3(1 一 )2在上式中用样本均值估计数学期望 EX，可得的矩估计量 (3)对于样本值 1，1，2，1，3，

25、2，由上面得到的一般公式，可得最大似然估计值【知识模块】概率论与数理统计32 【正确答案】 (1)该随机试验分为两个阶段：选人，A 甲，A 乙；射击，B=目标被命中则 (2)该随机试验不分阶段， A 甲 =甲命中，A 乙 =乙命中，B=目标被命中，【知识模块】概率论与数理统计33 【正确答案】 (1)设 Ai=抽取的一箱中含有 i 件残品(i=0，1，2)，则A0，A 1，A 2 构成完备事件组，且 P(A0)=08，P(A 1)=015，P(A 2)=005设B=一次通过验收，则 P(B|A0)=1，P(B|A 1)= 由全概率公式得 (2)由贝叶斯公式得【知识模块】概率论与

26、数理统计34 【正确答案】【知识模块】概率论与数理统计35 【正确答案】设 A=飞机被击落，B i=飞机中 i 弹，i=1 ，2，3则 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =02P(B 1)+06P(B 2)+P(B3)设 Ci=第i 个人命中，i=1，2，3，则 P(B1)= =040503+060507+06050 3=0 36，P(B 2)= =040503+040507+060 507=041 ， P(B 3)=P(C1C2C3)=0405 07=014，所以 P(A)=02036+06041+0.14=0458【知识模块】概率论与数理统计36 【正确答案】设 A=该生能借到此书，B i=从第 i 馆借到，i=1 ，2，3则P(B1)=P(B2)=P(B3)=P第 i 馆有此书且能借到= 于是【知识模块】概率论与数理统计

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