[考研类试卷]考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷78及答案与解析.doc

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1、考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 78 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设两个随机事件 A 与 B,两个随机变量 X,Y 如下:若 X 与 Y 不相关且 P(A)=P(B)=p,则下列命题正确的是 ( )(A)事件 A 与 B 不独立,随机变量 X 与 Y 独立(B)事件 A 与 B 独立,随机变量 X 与 Y 不独立(C)事件 A 与 B 不独立,随机变量 X 与 Y 不独立(D)事件 A 与 B 独立,随机变量 X 与 Y 独立2 已知随机变量 X 和 Y 均服从正态分布 N(0,1),则 ( )(A)X 2+Y2 服从 2(2)分布(B

2、) X-Y 服从 N(0,2) 分布(C) 服从 F(1,1) 分布(D)(X,一 Y)不一定服从正态分布3 随机变量列 X1,X 2,X n,服从大数定律,其成立的充分条件为随机变量列 X1,X 2,X n ( )(A)两两不相关且服从同一指数分布(B)两两不相关且服从同一离散型分布(C)相互独立且 E(Xi)有界(D)相互独立且 D(Xi)存在4 设 X1,X 2,X 3,X 4 取自总体 XN(, 2)的简单随机样本,则统计量服从 ( )(A)N(0 ,1)(B) t(1)(C) 2(1)(D)F(1,1)二、填空题5 设 X ,Y 服从(0,3)上的均匀分布,X 与 Y 相互独立,则行

3、列式的概率为_6 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从标准正态分布,则随机变量 3X+4Y 的概率密度 f(x)的最大值等于_7 设 Y 2(200),则由中心极限定理得 PY200近似等于_8 设 X1,X 2,X n 为来自标准正态总体的简单随机样本, 和 S2 分别为样本均值和样本方差,已知 ,则 k=_9 设总体 X 的分布律为 其中 0p 05已知容量为 7 的一个样本值为 1,0,2,0,0,2,1,则参数 p 的最大似然估计值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 若 X 2(n),证明:EX=n,DX=2n 11 已知 Xt(n) ,求证:X 2F(

4、1,n)12 设总体 XN( 1, 2), YN( 2, 2)从总体 X,Y 中独立地抽取两个容量为m,n 的样本 X1,X 2,X m 和 Y1,Y 2,Y n记样本均值分别为 若的期望为 2求:(1)C;(2)Z 的方差 DZ13 设 X1,X 2,X n 是独立同分布的随机变量序列,EXi=,DX i=2,i=1 ,2。,n,令 Yn= 证明:随机变量序列Y n依概率收敛于 .14 一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重量 50 千克,标准差为 5 千克,若用最大载重为 5 吨的汽车承运,试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱,才能保障不超载的概率大于 0977

5、(2)=0977)15 设从均值为 ,方差为 2(0)的总体中分别抽取容量为 n1,n 2 的两个独立样本,样本均值分别为 证明对于任何满足条件 a+b=1 的常数 a,b,都有 ET=,其中 T= ,并确定常数 a,b,使得方差 DT 达到最小16 用概率论方法证明:17 假设你是参加某卫视“相亲节目” 的男嘉宾,现有 n 位女嘉宾在你面前白左到右排在一条直线上,每两位相邻的女嘉宾的距离为 cz 米假设每位女嘉宾举手时你必须和她去握手,每位女嘉宾举手的概率均为 ,且相互独立,若 z 表示你和一位女嘉宾握手后到另一位举手的女嘉宾处所走的路程,求 EZ18 对于任意两个事件 A1,A 2,考虑随

6、机变量试证明:随机变量 X1 和 X2 相互独立的充分必要条件是事件 A1 和 A2 相互独立19 某商品一周的需求量 X 是随机变量,已知其概率密度为 f(x)= 假设各周的需求量相互独立,以 Uk 表示 k 周的总需求量,试求: (1)U2 和 U3 的概率密度 fk(x)(k=2,3); (2)接连三周中的周最大需求量的概率密度 f(3)(x)20 G=(x,y)|x 2+y2r2是以原点为圆心,半径为 r 的圆形区域,而随机变量 X 和Y 的联合分布是在区域 G 上的均匀分布试确定随机变量 X 和 Y 的独立性和相关性21 利用列维一林德伯格定理,证明棣莫弗一拉普拉斯定理22 将 n

7、个观测数据相加时,首先对小数部分按“四舍五入” 舍去小数位后化为整数试利用中心极限定理估计:(1)试当 n=1500 时求舍位误差之和的绝对值大于 15 的概率;(2)估计数据个数 n 满足何条件时,以不小于 90的概率,使舍位误差之和的绝对值小于 1023 设总体 X 的概率密度为 又设 X1,X 2,X n是来自 X 的一个简单随机样本,求未知参数 的矩估计量24 设总体 X 的概率密度为 试用样本X1,X 2,X n 求参数 的矩估计和最大似然估计25 设 X1,X 2,X n 是来自对数级数分布的一个样本,求 p 的矩估计26 设总体 X 服从参数为 N 和 p 的二项分布,X 1,X

8、 2,X n 为取自 X 的样本,试求参数 N 和 p 的矩估计27 设总体 X 的分布律为截尾几何分布 PX=k= k-1(1 一 ),k=1 ,2,r, PX=r+1=r, 从中抽得样本 X1,X 2,X n,其中有 m 个取值为 r+1,求 的最大似然估计28 设 X1,X 2,X n 为 X 的简单随机样本,且 X 具有概率密度求未知参数 的矩估计和最大似然估计29 假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为 R(未知常数)现在按还原抽样方式随意抽取的 n 件中发现 k 件不合格品试求 R 的最大似然估计值30 设随机变量 X 在(0,1)上服从均匀分布,令随机变量 (1)求 Y的分布函

9、数 FY(y);(2)求 Y 的数学期望 EY31 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度 令Z=maxX,Y,求: (1)Z 的分布函数; (2) 在 Xx(x0)的条件下,求PZz|Xx32 设随机变量 X,Y 相互独立,且 PX=0=PX=1= PYx=x,0x1求Z=XY 的分布函数33 设随机变量(X,Y) 的概率密度为 求:(1)常数k 的值; (2)(X,Y)的边缘密度 fX(x)和 fY(y); (3)条件密度 fY|X(y|x)和 fX|Y(x|y); (4)PX+Y1的值34 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= ,一 x+,一y+求常数 A 及条件概率密度

10、 fY|X(y|x)35 设随机变量 X 和随机变量 YN(0, 1),且 X 与 Y 相互独立令Z=(X 一 1)Y,记(Y,Z)的分布函数为 F(y,z) (1) 求 Z 的分布函数 FZ(z);(2)已知=08413,求 F(1,1)的值36 某系统由两个相互独立工作的元件串联而成,只要有一个元件不工作,系统就不工作,设第 i 个元件工作寿命为 Xi,已知 XiE( i), i0,i=1,2试求: (1)该系统的工作寿命 X 的概率密度 f(x); (2) 证明:对 t,s 0 有 PXt+s|Xt=PXs37 商店销售某种季节性商品,每售出一件获利 500 元,季度末未售出的商品每件亏

11、损 100 元,以 X 表示该季节此种商品的需求量,若 X 服从正态分布 N(100,4),问:(1)进货量最少为多少时才能以超过 95的概率保证供应;(2)进货量为多少时商店获利的期望值最大(1 65)=0 95,(095)=0 83,其中 (x)为标准正态分布函数)38 把一枚骰子独立地投掷 n 次,记 1 点出现的次数为随机变量 X,6 点出现的次数为随机变量 Y,(1)求EX,DX ;(2)分别求 ij 时、i=j 时 E(XiYj)的值;(3)求 X 与 Y 的相关系数39 设随机变量 X 的概率密度为 f(x),已知方差 DX=1,而随机变量 Y 的概率密度为 f(一 y),且 X

12、 与 Y 的相关系数为 ,记 Z=X+Y,求:(1)EZ,DZ;(2)用切比雪夫不等式估计 P|Z|240 设 X1,X 2,X n(n2)是总体 XN(0, 2)的一个简单随机样本, S2 分别为其样本均值和样本方差,记 求:(1)ET;(2)DT;(3)D(Y 1+Yn)41 设 X1,X 2,X n 为来自总体 X 的一个简单随机样本,X 的概率密度为(1)求 的矩估计量 (2)求 的最大似然估计量42 设总体 XU( ,+1),X 1,X 2,X n 是来自总体 X 的简单随机样本,试求:(1)参数 的矩估计量; (2)参数 的最大似然估计量考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 78

13、 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 若 X 与 Y 不相关,则 E(XY)=EXEY,即 P(AB)=P(A)P(B),所以事件 A 与 B 独立若 X 与 Y 不相关且 P(A)=P(B)=p,由 X 与 Y 的联合概率分布知,X 与 Y 独立【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 因 X,Y 不一定相互独立,故(A),(C) 均不正确由于 X 和 Y 均服从正态分布并不能保证(X,Y)服从正态分布,故 XY,(X,一 Y)也不一定服从正态分布【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试

14、题解析】 于(A) 满足 X1,X 2,X n,两两不相关, EXi,DX i 存在且有常数 C,使 根据切比雪夫大数定律条件,随机变量列服从大数定律关于(B)同一离散型分布,可能 EXi,DX i 不存在,故(B)错关于(C)X i 相互独立,如果同分布,则要求 E(Xi)存在,但是不一定同分布如果方差有界,D(Xi)C,则服从切比雪夫大数定律;若方差无界,故(C)错关于(D)X i 相互独立,如果同分布可以服从大数定律;如果 D(Xi)C 也行,现都不成立,故(D)错【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 由已知条件得,X 1 一 X2N(0,2 2),X 3+X4

15、2N(0 ,2 2),从而 ,相互独立因此【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 =(X 一 1)(Y 一 2),所求概率为 p=P(X 一 1)(Y 一 2)0 =PX 一 10,Y 一 20+PX 一 10,Y 一 20 =PX 1,Y 2+PX1,Y2 =PX1.PY2+PX1.PY2【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 【试题解析】 XN(0,1),YN(0 ,1)且相互独立,则 3X+4YN(0 ,25),其概率密度为 一x+,所以 f(x)的最大值为【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 由 Y 2(200)知,Y 可

16、表示为 Y=X12+X22+X2002,其中X1,X 2,X 200 相互独立且均服从 N(0,1)进而知 Xi2 2(1),E(X i2)=1, D(Xi2)=2,i=1 ,2, ,200由中心极限定理知 ,所以PY200=【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 1【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 025【试题解析】 由样本值,样本取 0 为三次,1 为二次,2 为二次,故似然函数为 L(x1,x 7;p)=0 5 3p3(05 一 p)2,取对数得 ln L=一 3ln 2+2ln p+2ln(05 一p),令【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明

17、、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 因 X 2(n),所以 X 可表示为 X= 其中 X1,X 2,X n,相互独立,且均服从 N(0,1),于是【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 Xt(n) ,则 X 可表示为 其中 ZN(0,1),Y 2(n)且Z,Y 相互独立,又 Z2 2(1),于是【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 由切比雪夫不等式得:PYn 一 EYn|=P|Yn 一 | 所以【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 设 Xi 表示“ 装运的第 i 箱的重量”,n 表示装运箱数则 EXi=5

18、0,DX i=52=25,且装运的总重量 Y=X1+X2+Xn,X n独立同分布, EY=50n,DY=25n 由列维一林德伯格中心极限定理知 Y 近似服从N(50n, 25n)于是故,则 n9801099,即最多可以装 98 箱【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 由题意得: 所以故对任何满足 a+b=1 的 a,b,都有 ET=【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 设X n为一独立同分布随机变量序列,每个 Xk 均服从参数为 1 的泊松分布,则 EXk=1,DX k=1, 服从参数为 n 的泊松分布故有由列维一林德伯格中心极限定理知:命题得证【知识模块】 概率论与数

19、理统计17 【正确答案】 设按从左到右的顺序将女嘉宾编号为 1,2,nX 为“ 已经握手的女嘉宾的编号” ,Y 表示“ 将要去握手的女嘉宾的编号” ,则PX=i,Y=j=PX=iPY=j= Z=|ij|a于是【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 记 pi=P(Ai)(i=1,2),p 12=P(A1A2),而 是 X1 和 X2 的相关系数易见,随机变量 X1 和 X2 都服从 01 分布,并且 PX i=1=P(Ai),PX i=0=P(Ai),PX 1=1,X 2=1=P(A1A2) 必要性设随机变量 X1 和 X2 相互独立,则 P(A1A2)=PX1=1,X 2=1=PX1

20、=1PX2=1=P(A1)P(A2) 从而,事件 A1 和 A2 相互独立 PX1=1,X2=1=P(A1A2)=P(A1)P(A2) =PX1=1PX2=1从而,随机变量 X1 和 X2 相互独立【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 以 Xi(i=1,2,3)表示“第 i 周的需求量”,则 Xi 的概率密度均为而 U2=X1+X2,U 3=U2+X3三周中周最大需求量为 X(3)=maxX1,X 2,X 3(1) 当 x0 时,显然 f2(x)=f3(x)=0;对于 x0,有 f2(x)=-+f(t)f(xt)dt=e-xt(xt)dt= f3(x)=-+f2(t)f(x 一 t

21、)dt=于是,两周和三周的总需求量 U2 和 U3 的概率密度 (2)设 F(x)是随机变量 X 的分布函数由题意知连续三周中的周最大需求量 X(3)的分布函数为 G(x)=F(x)3于是,有【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 X 和 Y 的联合概率密度为 那么,X的概率密度 f1(x)和 Y 的概率密度 f2(y)分别为故 f(x,y)f 1(x)f2(y),从而随机变量 X 和 Y 不独立证明 X 和 Y 不相关,即证 X 和 Y 的相关系数=0 因此,有 Cov(X,Y)=E(XY)= -+-+xyf(x,y)dxdy= 于是,X 和 Y 的相关系数 =0这样,X 和 Y

22、虽然不相关,但是不独立【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 设随机变量 X1,X 2,X n 相互独立,同服从 01 分布 EXi=p,DX i=pq(i=1,2,n), S n=X1+X2+Xn,ES n=np,DS n=npq, 其中q=1 一 pX 1,X 2,X n 满足列维一林德伯格定理的条件:X 1,X 2,X n 独立同分布且数学期望和方差存在,当 n 充分大时近似地 SnN(np,npq)【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 设 Xi 表示“ 第 i 个数据的舍位误差“ ,由条件可以认为 Xi 独立且都在区间一 05,05 上服从均匀分布,从而 E=Xi

23、=0,DX i=112记Sn=X1+X2+Xn 为 n 个数据的舍位误差之和,则 ESn=0,DS n=n12根据列维一林德伯格中心极限定理,当 n 充分大时 Sn 近似服从 N(0,n12)记 (x)为N(0,1)的分布函数 (1)由于 近似服从标准正态分布,且 n=1 500,有(2)数据个数 n应满足条件: 由于 近似服从 N(0,1),可见 于是,当 n721 时,才能使误差之和的绝对值小于 10 的概率不小于 90【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 X 的数学期望为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 先求矩估计: 解得所以 的矩估计为 再求最大似然估计:解

24、得 的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 因为 p 很难解出来,所以再求总体的二阶原点矩故 p 的矩估计【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 即所以 N 和 p 的矩估计为【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 得 的最大似然估计【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 先求矩估计再求最大似然估计得 的最大似然估计【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 设 a 是这批产品中不合格品的件数,b 是合格品的件数从而,a=Rb,不合格品率为 设 X 是“随意抽取的一件产品中不合格品的件数” ,则 X 服从参数为 p 的 01 分布对

25、于来自总体 X 的简单随机样本 X1,X 2,X n,记 vn=X1+X2+Xn,则似然函数和似然方程为由条件知vn=X1+X2+Xn=k,于是似然方程的唯一解 即是 R 的最大似然估计值【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 (1)先画出 的图像,如图 316 所示由分布函数定义 FY(y)=PYy),可知:当 y0 时,F Y(y)=0;当 y1 时,F Y(y)=PYy=1;【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 (1) 当 x0,y0 时,f X(x)=-+f(x,y)dy= 0+6e-2x-3ydy=2e-2x,fY(y)=-+f(x,y)dx= 0+6e2x-3

26、ydx=3e-3y,由此可见,X,Y 相互独立,且分别服从参数为 2 和 3 的指数分布X,Y 的分布函数分别为:因为 Z=maxX,Y,显然,当 z0 时, FZ(z)=0,当 z0 时, F Z(z)=PmaxX,Yz=PXz ,Yz=F X(z)FY(z)=(1 一 e-2z)(1 一 e-3z),所以 (2)由Z=maxX,Y易知,当 zx 时,PZz|Xz=0 当 zx 时, PX x,Zz=PxXz,Yz=PxXz)PYz =(e -2x 一 e-2z)(1 一 e-3z),从而 PZz|Xx=1 一 e-2(z-x)(1 一 e-3z)【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答

27、案】 F Z(z)=PZz,当 z0 时,F Z(z)=0;当 z1 时,F Z(z)=1;当0z1 时, F Z(z)=PZz =PX=0PZz|X=0+Px=1PZz|X=1【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计34 【正确答案】 由 -+fX(x)dx=1,得当 fX(x)0,一x+ 时,【知识模块】 概率论与数理统计35 【正确答案】 (1)可以用全概率公式推导 Fz(z):F Z(z)=PZz=P(X 一 1)Yz =PX=0P(X 一 1)Yz|X=0+PX=1)P(X 一 1)Yz|X=1+PX=2P(X 一 1)Yz|X=2(2)F(1

28、,1)=PY1,Z1=PY1,(X 一 1)Y1) =PX=0PY1,(X 一 1)Y1|X=0+PX=1PY1,(X 一 1)Y1|X=1+PX=2PY1,(X 一 1)Y1|X=2【知识模块】 概率论与数理统计36 【正确答案】 (1)当 x0 时, F(x)=PXx=PminX 1,X 2x=1 一PminX1,X 2x =1 一 PX1x,X 2x=1 一 PX1xPX 2x当 x0 时,显然 F(x)=0,f(x)=0(2)记 =1+2,PXx= x+e-tdt=e-x,x0 当 t,s 0 时,【知识模块】 概率论与数理统计37 【正确答案】 (1)设进货量为 k(件) ,依题意

29、k 应使 PXk095,即095=(165),故 即进货量最少为 104(件)时才能以超过 95的概率保证供应 (2)设进货量为 n(件),则商品获利已知 X 的概率密度为 f(x),故 EY=Eg(X,n)= -+g(x,n)f(x)dx= -n(600x100n)f(x)dx+n+500nf(x)dx=-n600xf(x)dx 一 100n-nf(x)dx-n500nf(x)dx+-n500nf(x)dx+n+500nf(x)dx=600-nxf(x)dx 一 600n-nf(x)dx+500n-+f(x)dx=600-nxf(x)dx 一600n-nf(x)dx+500n 记 g(a)=

30、600 -axf(x)dx-600a-af(x)dx+500a,令 g(a)=600af(a)一 600-af(x)dx 一 600af(a)+500=0,解得所以进货量为 102(件)时商店获利的期望值最大【知识模块】 概率论与数理统计38 【正确答案】 (1)出现 1 点的次数 出现 6 点的次数从而有 EX=EY= (2)当 ij 时,由于 Xi 与Yj 相互独立,所以 E(XiYj)=E(Xi)E(Yj)= 当 i=j 时,因为 Xi 和 Yi 均为仅取 0,1值的随机变量,所以(X iYi=1=Xi=1,Yi=1= (第 i 次投掷时不可能既出现 1 点,同时又出现 6 点),因此当

31、 i=j 时,有 PXiYi=1=0,PX iYj=0=1 一 PXiYj=1=1由此得 E(XiYj)=0 (3)要求 X 与 Y 的相关系数,先求 Cov(X,Y),故下面先求 E(XY)由于 XY=(X1+X2+Xn)(Y1+Y2+Yn)= 且综上可得Cov(X,Y)=E(XY)一 EXEY= 所以【知识模块】 概率论与数理统计39 【正确答案】 (1)EZ=E(X+Y)=EX+EY= -+xf(x)dx+-+yf(一 y)dy -+xf(x)dx+-(一 u)f(u)(一 du) =-+xf(x)dx-+uf(u)du=0, DZ=D(X+Y)=DX+DY+2CoV(X,Y)=DX+D

32、Y+ 又 DY=E(Y 2)一(EY) 2,其中 EY=一 EX,E(Y 2)=-+y2f(-y)dy=+-(一 u)2f(u)(一 du)=-+u2f(u)du=E(X2),则DY=E(X2)一(一 EX)2=E(X2)一(EX) 2=DX=1,【知识模块】 概率论与数理统计40 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计41 【正确答案】 (1)由于 EX=+xe-(x-)dx=+1,令 +1= 所以 的矩估计量为又 E(X 2)=+x2e-(x-)=2+2+2,DX=1,(2)似然函数为:L()=x i0,i=1 ,2,n显然 L()是 的单调增函数,因此 的最大似然估计量为 又 Xmin 的概率密度为 g(x)=ne-n(x-),x ,故【知识模块】 概率论与数理统计42 【正确答案】 (1)矩估计,矩估计量 (2)最大似然估计 要使L()最大,其中 1 是常数,就最大了,只要 X1,X n+1,所以minX1,,X n,同时 maxX1,X n+1.取 的最大似然估计也就是说区间 中任一点都是最大似然估计【知识模块】 概率论与数理统计

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