1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 78 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设两个随机事件 A 与 B，两个随机变量 X，Y 如下：若 X 与 Y 不相关且 P(A)=P(B)=p，则下列命题正确的是 ( )（A）事件 A 与 B 不独立，随机变量 X 与 Y 独立（B）事件 A 与 B 独立，随机变量 X 与 Y 不独立（C）事件 A 与 B 不独立，随机变量 X 与 Y 不独立（D）事件 A 与 B 独立，随机变量 X 与 Y 独立2 已知随机变量 X 和 Y 均服从正态分布 N(0，1)，则 ( )（A）X 2+Y2 服从 2(2)分布（B
2、） X-Y 服从 N(0，2) 分布（C） 服从 F(1，1) 分布（D）(X，一 Y)不一定服从正态分布3 随机变量列 X1，X 2，X n，服从大数定律，其成立的充分条件为随机变量列 X1，X 2，X n ( )（A）两两不相关且服从同一指数分布（B）两两不相关且服从同一离散型分布（C）相互独立且 E(Xi)有界（D）相互独立且 D(Xi)存在4 设 X1，X 2，X 3，X 4 取自总体 XN(， 2)的简单随机样本，则统计量服从 ( )（A）N(0 ，1)（B） t(1)（C） 2(1)（D）F(1，1)二、填空题5 设 X ，Y 服从(0，3)上的均匀分布，X 与 Y 相互独立，则行
3、列式的概率为_6 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从标准正态分布，则随机变量 3X+4Y 的概率密度 f(x)的最大值等于_7 设 Y 2(200)，则由中心极限定理得 PY200近似等于_8 设 X1，X 2，X n 为来自标准正态总体的简单随机样本， 和 S2 分别为样本均值和样本方差，已知 ，则 k=_9 设总体 X 的分布律为 其中 0p 05已知容量为 7 的一个样本值为 1，0，2，0，0，2，1，则参数 p 的最大似然估计值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 若 X 2(n)，证明：EX=n，DX=2n 11 已知 Xt(n) ，求证：X 2F(
4、1，n)12 设总体 XN( 1， 2)， YN( 2， 2)从总体 X，Y 中独立地抽取两个容量为m，n 的样本 X1，X 2，X m 和 Y1，Y 2，Y n记样本均值分别为 若的期望为 2求：(1)C；(2)Z 的方差 DZ13 设 X1，X 2，X n 是独立同分布的随机变量序列，EXi=，DX i=2，i=1 ，2。，n，令 Yn= 证明：随机变量序列Y n依概率收敛于 .14 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量 50 千克，标准差为 5 千克，若用最大载重为 5 吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0977
5、(2)=0977)15 设从均值为 ，方差为 2(0)的总体中分别抽取容量为 n1，n 2 的两个独立样本，样本均值分别为 证明对于任何满足条件 a+b=1 的常数 a，b，都有 ET=，其中 T= ，并确定常数 a，b，使得方差 DT 达到最小16 用概率论方法证明：17 假设你是参加某卫视“相亲节目” 的男嘉宾，现有 n 位女嘉宾在你面前白左到右排在一条直线上，每两位相邻的女嘉宾的距离为 cz 米假设每位女嘉宾举手时你必须和她去握手，每位女嘉宾举手的概率均为 ，且相互独立，若 z 表示你和一位女嘉宾握手后到另一位举手的女嘉宾处所走的路程，求 EZ18 对于任意两个事件 A1，A 2，考虑随
6、机变量试证明：随机变量 X1 和 X2 相互独立的充分必要条件是事件 A1 和 A2 相互独立19 某商品一周的需求量 X 是随机变量，已知其概率密度为 f(x)= 假设各周的需求量相互独立，以 Uk 表示 k 周的总需求量，试求： (1)U2 和 U3 的概率密度 fk(x)(k=2，3)； (2)接连三周中的周最大需求量的概率密度 f(3)(x)20 G=(x，y)|x 2+y2r2是以原点为圆心，半径为 r 的圆形区域，而随机变量 X 和Y 的联合分布是在区域 G 上的均匀分布试确定随机变量 X 和 Y 的独立性和相关性21 利用列维一林德伯格定理，证明棣莫弗一拉普拉斯定理22 将 n
7、个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入” 舍去小数位后化为整数试利用中心极限定理估计：(1)试当 n=1500 时求舍位误差之和的绝对值大于 15 的概率；(2)估计数据个数 n 满足何条件时，以不小于 90的概率，使舍位误差之和的绝对值小于 1023 设总体 X 的概率密度为 又设 X1，X 2，X n是来自 X 的一个简单随机样本，求未知参数 的矩估计量24 设总体 X 的概率密度为 试用样本X1，X 2，X n 求参数 的矩估计和最大似然估计25 设 X1，X 2，X n 是来自对数级数分布的一个样本，求 p 的矩估计26 设总体 X 服从参数为 N 和 p 的二项分布，X 1，X
8、 2，X n 为取自 X 的样本，试求参数 N 和 p 的矩估计27 设总体 X 的分布律为截尾几何分布 PX=k= k-1(1 一 )，k=1 ，2，r， PX=r+1=r， 从中抽得样本 X1，X 2，X n，其中有 m 个取值为 r+1，求 的最大似然估计28 设 X1，X 2，X n 为 X 的简单随机样本，且 X 具有概率密度求未知参数 的矩估计和最大似然估计29 假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为 R(未知常数)现在按还原抽样方式随意抽取的 n 件中发现 k 件不合格品试求 R 的最大似然估计值30 设随机变量 X 在(0，1)上服从均匀分布，令随机变量 (1)求 Y的分布函
9、数 FY(y)；(2)求 Y 的数学期望 EY31 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度 令Z=maxX，Y，求： (1)Z 的分布函数； (2) 在 Xx(x0)的条件下，求PZz|Xx32 设随机变量 X，Y 相互独立，且 PX=0=PX=1= PYx=x，0x1求Z=XY 的分布函数33 设随机变量(X，Y) 的概率密度为 求：(1)常数k 的值； (2)(X，Y)的边缘密度 fX(x)和 fY(y)； (3)条件密度 fY|X(y|x)和 fX|Y(x|y)； (4)PX+Y1的值34 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= ，一 x+，一y+求常数 A 及条件概率密度
10、 fY|X(y|x)35 设随机变量 X 和随机变量 YN(0， 1)，且 X 与 Y 相互独立令Z=(X 一 1)Y，记(Y，Z)的分布函数为 F(y，z) (1) 求 Z 的分布函数 FZ(z)；(2)已知=08413，求 F(1，1)的值36 某系统由两个相互独立工作的元件串联而成，只要有一个元件不工作，系统就不工作，设第 i 个元件工作寿命为 Xi，已知 XiE( i)， i0，i=1，2试求： (1)该系统的工作寿命 X 的概率密度 f(x)； (2) 证明：对 t，s 0 有 PXt+s|Xt=PXs37 商店销售某种季节性商品，每售出一件获利 500 元，季度末未售出的商品每件亏
11、损 100 元，以 X 表示该季节此种商品的需求量，若 X 服从正态分布 N(100，4)，问：(1)进货量最少为多少时才能以超过 95的概率保证供应；(2)进货量为多少时商店获利的期望值最大(1 65)=0 95，(095)=0 83，其中 (x)为标准正态分布函数)38 把一枚骰子独立地投掷 n 次，记 1 点出现的次数为随机变量 X，6 点出现的次数为随机变量 Y，(1)求EX，DX ；(2)分别求 ij 时、i=j 时 E(XiYj)的值；(3)求 X 与 Y 的相关系数39 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，已知方差 DX=1，而随机变量 Y 的概率密度为 f(一 y)，且 X
12、 与 Y 的相关系数为 ，记 Z=X+Y，求：(1)EZ，DZ；(2)用切比雪夫不等式估计 P|Z|240 设 X1，X 2，X n(n2)是总体 XN(0， 2)的一个简单随机样本， S2 分别为其样本均值和样本方差，记 求：(1)ET；(2)DT；(3)D(Y 1+Yn)41 设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的一个简单随机样本，X 的概率密度为(1)求 的矩估计量 (2)求 的最大似然估计量42 设总体 XU( ，+1)，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，试求：(1)参数 的矩估计量； (2)参数 的最大似然估计量考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 78
13、 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 若 X 与 Y 不相关，则 E(XY)=EXEY，即 P(AB)=P(A)P(B)，所以事件 A 与 B 独立若 X 与 Y 不相关且 P(A)=P(B)=p，由 X 与 Y 的联合概率分布知，X 与 Y 独立【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 因 X，Y 不一定相互独立，故(A)，(C) 均不正确由于 X 和 Y 均服从正态分布并不能保证(X，Y)服从正态分布，故 XY，(X，一 Y)也不一定服从正态分布【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试
14、题解析】 于(A) 满足 X1，X 2，X n，两两不相关， EXi，DX i 存在且有常数 C，使 根据切比雪夫大数定律条件，随机变量列服从大数定律关于(B)同一离散型分布，可能 EXi，DX i 不存在，故(B)错关于(C)X i 相互独立，如果同分布，则要求 E(Xi)存在，但是不一定同分布如果方差有界，D(Xi)C，则服从切比雪夫大数定律；若方差无界，故(C)错关于(D)X i 相互独立，如果同分布可以服从大数定律；如果 D(Xi)C 也行，现都不成立，故(D)错【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 由已知条件得，X 1 一 X2N(0，2 2)，X 3+X4
15、2N(0 ，2 2)，从而 ，相互独立因此【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 =(X 一 1)(Y 一 2)，所求概率为 p=P(X 一 1)(Y 一 2)0 =PX 一 10，Y 一 20+PX 一 10，Y 一 20 =PX 1，Y 2+PX1，Y2 =PX1.PY2+PX1.PY2【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 【试题解析】 XN(0，1)，YN(0 ，1)且相互独立，则 3X+4YN(0 ，25)，其概率密度为 一x+，所以 f(x)的最大值为【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 由 Y 2(200)知，Y 可
16、表示为 Y=X12+X22+X2002，其中X1，X 2，X 200 相互独立且均服从 N(0，1)进而知 Xi2 2(1)，E(X i2)=1， D(Xi2)=2，i=1 ，2， ，200由中心极限定理知 ，所以PY200=【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 1【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 025【试题解析】 由样本值，样本取 0 为三次，1 为二次，2 为二次，故似然函数为 L(x1，x 7；p)=0 5 3p3(05 一 p)2，取对数得 ln L=一 3ln 2+2ln p+2ln(05 一p)，令【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明
17、、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 因 X 2(n)，所以 X 可表示为 X= 其中 X1，X 2，X n，相互独立，且均服从 N(0，1)，于是【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 Xt(n) ，则 X 可表示为 其中 ZN(0，1)，Y 2(n)且Z，Y 相互独立，又 Z2 2(1)，于是【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 由切比雪夫不等式得：PYn 一 EYn|=P|Yn 一 | 所以【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 设 Xi 表示“ 装运的第 i 箱的重量”，n 表示装运箱数则 EXi=5
18、0，DX i=52=25，且装运的总重量 Y=X1+X2+Xn，X n独立同分布， EY=50n，DY=25n 由列维一林德伯格中心极限定理知 Y 近似服从N(50n， 25n)于是故，则 n9801099，即最多可以装 98 箱【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 由题意得： 所以故对任何满足 a+b=1 的 a，b，都有 ET=【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 设X n为一独立同分布随机变量序列，每个 Xk 均服从参数为 1 的泊松分布，则 EXk=1，DX k=1， 服从参数为 n 的泊松分布故有由列维一林德伯格中心极限定理知：命题得证【知识模块】 概率论与数
19、理统计17 【正确答案】 设按从左到右的顺序将女嘉宾编号为 1，2，nX 为“ 已经握手的女嘉宾的编号” ，Y 表示“ 将要去握手的女嘉宾的编号” ，则PX=i，Y=j=PX=iPY=j= Z=|ij|a于是【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 记 pi=P(Ai)(i=1，2)，p 12=P(A1A2)，而 是 X1 和 X2 的相关系数易见，随机变量 X1 和 X2 都服从 01 分布，并且 PX i=1=P(Ai)，PX i=0=P(Ai)，PX 1=1，X 2=1=P(A1A2) 必要性设随机变量 X1 和 X2 相互独立，则 P(A1A2)=PX1=1，X 2=1=PX1
20、=1PX2=1=P(A1)P(A2) 从而，事件 A1 和 A2 相互独立 PX1=1，X2=1=P(A1A2)=P(A1)P(A2) =PX1=1PX2=1从而，随机变量 X1 和 X2 相互独立【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 以 Xi(i=1，2，3)表示“第 i 周的需求量”，则 Xi 的概率密度均为而 U2=X1+X2，U 3=U2+X3三周中周最大需求量为 X(3)=maxX1，X 2，X 3(1) 当 x0 时，显然 f2(x)=f3(x)=0；对于 x0，有 f2(x)=-+f(t)f(xt)dt=e-xt(xt)dt= f3(x)=-+f2(t)f(x 一 t
21、)dt=于是，两周和三周的总需求量 U2 和 U3 的概率密度 (2)设 F(x)是随机变量 X 的分布函数由题意知连续三周中的周最大需求量 X(3)的分布函数为 G(x)=F(x)3于是，有【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 X 和 Y 的联合概率密度为 那么，X的概率密度 f1(x)和 Y 的概率密度 f2(y)分别为故 f(x，y)f 1(x)f2(y)，从而随机变量 X 和 Y 不独立证明 X 和 Y 不相关，即证 X 和 Y 的相关系数=0 因此，有 Cov(X，Y)=E(XY)= -+-+xyf(x，y)dxdy= 于是，X 和 Y 的相关系数 =0这样，X 和 Y
22、虽然不相关，但是不独立【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，同服从 01 分布 EXi=p，DX i=pq(i=1，2，n)， S n=X1+X2+Xn，ES n=np，DS n=npq， 其中q=1 一 pX 1，X 2，X n 满足列维一林德伯格定理的条件：X 1，X 2，X n 独立同分布且数学期望和方差存在，当 n 充分大时近似地 SnN(np，npq)【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 设 Xi 表示“ 第 i 个数据的舍位误差“ ，由条件可以认为 Xi 独立且都在区间一 05，05 上服从均匀分布，从而 E=Xi
23、=0，DX i=112记Sn=X1+X2+Xn 为 n 个数据的舍位误差之和，则 ESn=0，DS n=n12根据列维一林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时 Sn 近似服从 N(0，n12)记 (x)为N(0，1)的分布函数 (1)由于 近似服从标准正态分布，且 n=1 500，有(2)数据个数 n应满足条件： 由于 近似服从 N(0，1)，可见 于是，当 n721 时，才能使误差之和的绝对值小于 10 的概率不小于 90【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 X 的数学期望为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 先求矩估计： 解得所以 的矩估计为 再求最大似然估计：解
24、得 的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 因为 p 很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩故 p 的矩估计【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 即所以 N 和 p 的矩估计为【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 得 的最大似然估计【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 先求矩估计再求最大似然估计得 的最大似然估计【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 设 a 是这批产品中不合格品的件数，b 是合格品的件数从而，a=Rb，不合格品率为 设 X 是“随意抽取的一件产品中不合格品的件数” ，则 X 服从参数为 p 的 01 分布对
25、于来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n，记 vn=X1+X2+Xn，则似然函数和似然方程为由条件知vn=X1+X2+Xn=k，于是似然方程的唯一解 即是 R 的最大似然估计值【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 (1)先画出 的图像，如图 316 所示由分布函数定义 FY(y)=PYy)，可知：当 y0 时，F Y(y)=0；当 y1 时，F Y(y)=PYy=1；【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 (1) 当 x0，y0 时，f X(x)=-+f(x，y)dy= 0+6e-2x-3ydy=2e-2x,fY(y)=-+f(x，y)dx= 0+6e2x-3
26、ydx=3e-3y，由此可见，X，Y 相互独立，且分别服从参数为 2 和 3 的指数分布X，Y 的分布函数分别为：因为 Z=maxX，Y，显然，当 z0 时， FZ(z)=0，当 z0 时， F Z(z)=PmaxX，Yz=PXz ，Yz=F X(z)FY(z)=(1 一 e-2z)(1 一 e-3z)，所以 (2)由Z=maxX，Y易知，当 zx 时，PZz|Xz=0 当 zx 时， PX x，Zz=PxXz，Yz=PxXz)PYz =(e -2x 一 e-2z)(1 一 e-3z)，从而 PZz|Xx=1 一 e-2(z-x)(1 一 e-3z)【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答
27、案】 F Z(z)=PZz，当 z0 时，F Z(z)=0；当 z1 时，F Z(z)=1；当0z1 时， F Z(z)=PZz =PX=0PZz|X=0+Px=1PZz|X=1【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计34 【正确答案】 由 -+fX(x)dx=1，得当 fX(x)0，一x+ 时，【知识模块】 概率论与数理统计35 【正确答案】 (1)可以用全概率公式推导 Fz(z)：F Z(z)=PZz=P(X 一 1)Yz =PX=0P(X 一 1)Yz|X=0+PX=1)P(X 一 1)Yz|X=1+PX=2P(X 一 1)Yz|X=2(2)F(1
28、，1)=PY1，Z1=PY1，(X 一 1)Y1) =PX=0PY1，(X 一 1)Y1|X=0+PX=1PY1，(X 一 1)Y1|X=1+PX=2PY1，(X 一 1)Y1|X=2【知识模块】 概率论与数理统计36 【正确答案】 (1)当 x0 时， F(x)=PXx=PminX 1，X 2x=1 一PminX1，X 2x =1 一 PX1x，X 2x=1 一 PX1xPX 2x当 x0 时，显然 F(x)=0，f(x)=0(2)记 =1+2，PXx= x+e-tdt=e-x,x0 当 t，s 0 时，【知识模块】 概率论与数理统计37 【正确答案】 (1)设进货量为 k(件) ，依题意
29、k 应使 PXk095，即095=(165)，故 即进货量最少为 104(件)时才能以超过 95的概率保证供应 (2)设进货量为 n(件)，则商品获利已知 X 的概率密度为 f(x)，故 EY=Eg(X，n)= -+g(x，n)f(x)dx= -n(600x100n)f(x)dx+n+500nf(x)dx=-n600xf(x)dx 一 100n-nf(x)dx-n500nf(x)dx+-n500nf(x)dx+n+500nf(x)dx=600-nxf(x)dx 一 600n-nf(x)dx+500n-+f(x)dx=600-nxf(x)dx 一600n-nf(x)dx+500n 记 g(a)=
30、600 -axf(x)dx-600a-af(x)dx+500a，令 g(a)=600af(a)一 600-af(x)dx 一 600af(a)+500=0，解得所以进货量为 102(件)时商店获利的期望值最大【知识模块】 概率论与数理统计38 【正确答案】 (1)出现 1 点的次数 出现 6 点的次数从而有 EX=EY= (2)当 ij 时，由于 Xi 与Yj 相互独立，所以 E(XiYj)=E(Xi)E(Yj)= 当 i=j 时，因为 Xi 和 Yi 均为仅取 0，1值的随机变量，所以(X iYi=1=Xi=1,Yi=1= (第 i 次投掷时不可能既出现 1 点，同时又出现 6 点)，因此当
31、 i=j 时，有 PXiYi=1=0，PX iYj=0=1 一 PXiYj=1=1由此得 E(XiYj)=0 (3)要求 X 与 Y 的相关系数，先求 Cov(X，Y)，故下面先求 E(XY)由于 XY=(X1+X2+Xn)(Y1+Y2+Yn)= 且综上可得Cov(X，Y)=E(XY)一 EXEY= 所以【知识模块】 概率论与数理统计39 【正确答案】 (1)EZ=E(X+Y)=EX+EY= -+xf(x)dx+-+yf(一 y)dy -+xf(x)dx+-(一 u)f(u)(一 du) =-+xf(x)dx-+uf(u)du=0， DZ=D(X+Y)=DX+DY+2CoV(X，Y)=DX+D
32、Y+ 又 DY=E(Y 2)一(EY) 2，其中 EY=一 EX，E(Y 2)=-+y2f(-y)dy=+-(一 u)2f(u)(一 du)=-+u2f(u)du=E(X2)，则DY=E(X2)一(一 EX)2=E(X2)一(EX) 2=DX=1，【知识模块】 概率论与数理统计40 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计41 【正确答案】 (1)由于 EX=+xe-(x-)dx=+1，令 +1= 所以 的矩估计量为又 E(X 2)=+x2e-(x-)=2+2+2，DX=1，(2)似然函数为：L()=x i0，i=1 ，2，n显然 L()是 的单调增函数，因此 的最大似然估计量为 又 Xmin 的概率密度为 g(x)=ne-n(x-)，x ，故【知识模块】 概率论与数理统计42 【正确答案】 (1)矩估计，矩估计量 (2)最大似然估计 要使L()最大，其中 1 是常数，就最大了，只要 X1，X n+1，所以minX1,，X n，同时 maxX1，X n+1.取 的最大似然估计也就是说区间 中任一点都是最大似然估计【知识模块】 概率论与数理统计
