1、考研数学三（矩阵及其运算）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维行向量 = 矩阵 A=E-T，B=E+2 T，则 AB=（A）0（B） E（C） -E（D）E+ T2 设 A 是任一 n 阶矩阵，下列交换错误的是（A）A *A=AA*（B） AmAp=ApAm（C） ATA=AAT（D）(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)3 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1=（A）A+B（B） A-1+B-1（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -14 设 A，B 均是 n 阶矩阵
2、，下列命题中正确的是（A）AB=0 A=0 或 B=0（B） AB0 A0 且 B0（C） AB=0 A=0 或B=0 （D）AB0 A0 且 B0 5 设 A=，则 B=（A）AP 1P2（B） AP1P3（C） AP3P1（D）AP 2P3二、填空题6 若 A= ，则 A2=_，A 3=_7 若 A= ，则 A*=_，(A *)*=_8 设 A= 则 A-1=_9 设矩阵 A= =_.10 设 A 是 n 阶矩阵，满足 A2-2A+E=0，则(A+2E) -1=_11 若 A= ，则 (A*)-1=_12 若 A-1= ，则(3A) *=_13 设 A= 不可逆，则 x=_14 设 A，B
3、 均为 3 阶矩阵，且满足 AB=2A+B，其中 A= ，则B-2E=_15 设 A2-BA=E，其中 A= ，则 B=_16 设 XA=AT+X，其中 A= ，则 X=_17 已知 A= ，矩阵 X 满足 A*X=A-1+2X，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则 X=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设 A-1= ，求 (A*)-119 设 A= ，求 An20 设 A，B 均为 n 阶矩阵，E+AB 可逆，化简(E+BA)E-B(E+AB) -1A21 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABA=C-1，证明 BAC=CAB22 若 A 是对称矩阵，
4、B 是反对称矩阵，则 AB 是反对称矩阵的充要条件是AB=BA23 设 A 是 n 阶矩阵，A m=0，证明 E-A 可逆24 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 P=其中 A*是 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵 ()计算并化简 PQ； ()证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA-1b25 设 A 是 n 阶反对称矩阵，证明(E-A)(E+A) -1 是正交矩阵考研数学三（矩阵及其运算）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 AB=(E- T)(E+2T)=E+2T-T
5、-2TT =E+T-2T(T) 注意 T= ，故 AB=E应选(B)【知识模块】 矩阵及其运算2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AA*=A*A=AE， A mAp=ApAm=Am+p， (A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)=A2-E，所以(A)、(B)、(D) 均正确而 AAT=，故(C)不正确【知识模块】 矩阵及其运算3 【正确答案】 C【试题解析】 (A -1+B-1)-1=(EA-1+B-1)-1=(B-1BA-1+B-1)-1 =B-1(BA-1+AA-1)-1=B-1(B+A)A-1-1 =(A-1)-1(B+A)-1(B-1)-1=A(A+B)-1B 故应选(C)【知识
6、模块】 矩阵及其运算4 【正确答案】 C【试题解析】 A= 0，但 AB=0，所以(A) ，(B)均不正确又如 A= ，有 AB0，但A=0 且B=0 可见(D) 不正确由AB=0 有AB=0，有 A.B=0故A=0 或B=0 应选(C) 注意矩阵 A0 和行列式A0 是两个不同的概念，不要混淆【知识模块】 矩阵及其运算5 【正确答案】 B【试题解析】 把矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，然后第 1，3 两列互换可得到矩阵B， 表示矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，即 AP1，故应在(A) 、(B)中选择而 P3= 表示第 1 和 3 两列互换，所以选(B)【知识模块】 矩阵及其运算二
7、、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 矩阵及其运算7 【正确答案】 1，0【试题解析】 用定义A 11=-3，A 12=6，A 13=-3，A 21=6，A 22=-12，A 23=6，A 31=-3，A 32=6，A 33=-3，故 因为 r(A*)=1，A *的二阶子式全为0，故(A *)*=0【知识模块】 矩阵及其运算8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 矩阵及其运算9 【正确答案】 【试题解析】 因 B=(A+2E)(A+3E)，又 =5B-1，故【知识模块】 矩阵及其运算10 【正确答案】 【试题解析】 由(A+2E)(A-4E)+9E=A 2-2A+E=0
8、有(A+2E). (4E-A)=E(A+2E) -1= (4E-A)【知识模块】 矩阵及其运算11 【正确答案】 【试题解析】 因为(A *)-1=【知识模块】 矩阵及其运算12 【正确答案】 【试题解析】 因为(kA) *=kn-1A*，故(3A) *=32A*，又 A*=A A -1，而从而(3A) *=9A*=【知识模块】 矩阵及其运算13 【正确答案】 4 或-5【试题解析】 A 不可逆 A=0而故 x=4 或 x=-5【知识模块】 矩阵及其运算14 【正确答案】 -2【试题解析】 由 AB-2A-B+2E=2E，有 A(B-2E)-(B-2E)=2E，则 (A-E)(B-2E)=2E
9、于是 A-E.B-2E = 2E=8，而A-E= =-4，所以 B-2E=-2 【知识模块】 矩阵及其运算15 【正确答案】 【试题解析】 由于 BA=A2-E，又 A 可逆，则有 B=(A2-E)A-1=A-A-1故 B=【知识模块】 矩阵及其运算16 【正确答案】 【试题解析】 由 XA-X=AT 有 X(A-E)=AT，因为 A 可逆，知 X 与 A-E 均可逆故X=AT(A-E)-1=【知识模块】 矩阵及其运算17 【正确答案】 【试题解析】 左乘 A 并把 AA*=AE 代入得 AX=E+2AX，移项得 (A E-2A)X=E故 X=(AE-2A) -1由A=4 知 X=(4E-2A
10、)-1=【知识模块】 矩阵及其运算三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 因为【知识模块】 矩阵及其运算19 【正确答案】 对矩阵 A 分块，记 A= ，则由 r(B)=1，知【知识模块】 矩阵及其运算20 【正确答案】 (E+BA)E-B(E+AB) -1A =E+BA-B(E+AB)-1A-BAB(E+AB)-1A =E+BA-B(E+AB)(E+AB)-1A=E+BA-BA=E【知识模块】 矩阵及其运算21 【正确答案】 由 C 可逆，知ABA0，故矩阵 A，B 均可逆 因ABAC=E，即 A-1=BAC又 CABA=E，得 A-1=CAB 从而 BAC=C
11、AB【知识模块】 矩阵及其运算22 【正确答案】 因为 AT=A，B T=-B，那么(AB) T=BTAT=-BA 若 AB 是反对称矩阵，则(AB) T=-AB，从而 AB=BA反之，若 AB=BA，则(AB) T=-BA=-AB，即 AB是反对称矩阵 【知识模块】 矩阵及其运算23 【正确答案】 由 Am=0，有 E-Am=E于是 (E-A)(E+A+A 2+Am-1)=E-Am=E 所以 E-A 可逆，且 (E-A)-1=E+A+A2+Am-1【知识模块】 矩阵及其运算24 【正确答案】 () 由 AA*=A*A=AE 及 A*=A A -1 有()用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有
12、因为矩阵 A 可逆，行列式A0，故Q=A(b- TA-1)由此可知， Q 可逆的充分必要条件是 b-TA-10，即 TA-1b【知识模块】 矩阵及其运算25 【正确答案】 (E-A)(E+A) -1(E-A)(E+A)-1T =(E-A)(E+A)-1(E+A)-1T(E-A)T =(E-A)(E+A)-1(E+A)T-1(E+A) =(E-A)(E+A)-1(E-A)-1(E+A) =(E-A)(E-A)(E+A)-1(E+A) =(E-A)(E+A)(E-A)-1(E+A) =(E-A)(E-A)-1(E+A)-1(E+A)=E 同理 (E-A)(E+A) -1T(E-A)(E+A)-1=E 所以 (E-A)(E+A) -1 是正交矩阵【知识模块】 矩阵及其运算
