1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 103 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 且|A|=m，则|B|= （ ）（A）m（B） 8m（C） 2m（D）2m2 设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有（ ）（A）ACB=E（B） CBA=E（C） BAC=E（D）BCA=E3 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则（ ）（A）当 mn，必有行列式|AB|0（B）当 mn，必有行列式|AB|=0（C）当 nm，必有行列式|AB|0（D）当 nm，必有行列式|AB|=04 设 1=（1，2，3，1） T，
2、 2=（3，4，7，一 1） T， 3=（2，6，0，6）T， 4=（0，1，3，a ） T，那么 a=8 是 1， 2， 3， 4 线性相关的（ ）（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既不充分也非必要条件5 设向量组： 1， 2， r 可由向量组： 1， 2， s 线性表示，则（ ）（A）当 rs 时，向量组必线性相关（B）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组必线性相关（D）当 rs 时，向量组必线性相关6 设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若 =r（A），则线性方程组（ ）（A）Ax= 必有无穷多解（B） Ax= 必有唯一解（C
3、） 仅有零解（D） 必有非零解7 已知四阶方阵 A=（ 1， 2， 3， 4）， 1， 2， 3， 4 均为四维列向量，其中1， 2 线性无关，若 1+22 一 3=， 1+2+3+4=，2 1+32+3+24=，k 1，k 2 为任意常数，那么 Ax= 的通解为（ ）8 设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵（ A2） 1 有特征值（ ）9 下列选项中矩阵 A 和 B 相似的是（ ）10 下列二次型中是正定二次型的是（ ）（A）f 1=（x 1 一 x2） 2+（x 2 一 x3） 2+（x 3 一 x1） 2（B） f2=（x 1+x2） 2+（x 2 一 x3） 2+（x 3+
4、x1） 2（C） f3=（x 1+x2） 2+（x 2+x3） 2+（x 3 一 x4） 2+（x 4 一 x1） 2（D）f 4=（x 1+x2） 2+（x 2+x3） 2+（x 3+x4） 2+（x 4 一 x1） 2二、填空题11 设 A=（ 1， 2， 3）是三阶矩阵，且|A|=4。若 B=（ 132+23， 223，2 2+3），则|B|=_ 。12 设方阵 A 满足 A2 一 A 一 2E=O，并且 A 及 A+2 层都是可逆矩阵，则（A+2E）1=_。13 设三阶方阵 A，B 满足关系式 A1BA=6A+BA，且 A= 则B=_。14 设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A2 一 2
5、A 一 8E=O，则 r（4E A）+r（2E+A）=_。15 已知 r（ 1， 2， s）=r （ 1， 2， s， ）=m ，r（ 1， 2， s， ）=m+1，则 r（ 1， 2， s，）=_。16 齐次方程组 有非零解，则 =_。17 已知方程组 与方程（2）x 1+5x3=0，则（1）与（2）的公共解是_。18 设 A 为二阶矩阵， 1， 2 为线性无关的二维列向量，A 1=0，A 2=21+2，则A 的非零特征值为_。19 设 =（1，一 1，a） T 是 的伴随矩阵 A*的特征向量，其中r（A *） =3，则 a=_。20 二次型 f（x 1，x 2，x 3）=（x 1+2x2+
6、a3x3）（x 1+5x2+b3x3）的合同规范形为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 计算行列式 Dn=22 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*，证明： （）若|A|=0，则|A *|=0； （）|A*|=|A|n1。23 设向量组 1=（a，0，10） T， 2=（一 2，1，5） T， 3=（一 1，1，4）T， =（ 1，b ，c） T，试问：当 a，b，c 满足什么条件时， （） 可由1， 2， 3 线性表出，且表示唯一； （） 不可由 1， 2， 3 线性表出； （） 可由 1， 2， 3 线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。24 已知 A，B 为三
7、阶非零矩阵，且 1=（0，1，一 1）T， 2=（a，2，1） T， 3=（b，1，0） T 是齐次线性方程组 Bx=0 的三个解向量，且Ax=3 有解。求（）a ， b 的值；（）求 Bx=0 的通解。25 设线性方程组（1）Ax=0 的一个基础解系为 1=（1，1，1，0，2）T， 2=（1，1，0，1，1） T， 3=（1，0，1，1，2） T。线性方程组（2）Bx=0 的一个基础解系为 1=（1，1，一 1，一 1，1） T， 2= （1，一 1，1，一 1，2）T， 3=（1，一 1，一 1， 1，1） T。求（）线性方程组 的通解；（）矩阵 C=（A T，B T）的秩。26 设 A
8、 为正交矩阵，且|A|=一 1，证明：=一 1 是 A 的特征值。27 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=一 1， 2=3=1，对应于 1 的特征向量为1=（0，1，1） T，求 A。28 设三阶矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=3 对应的特征向量依次为1=（1，1，1） T， 2=（ 1，2，4） T， 3=（1，3，9） T。 （）将向量=（ 1，1，3） T 用 1， 2， 3 线性表示； （）求 An。29 设矩阵 有一个特征值是 3，求 y，并求可逆矩阵 P，使（AP） T（AP）为对角矩阵。考研数学三（线性代数）模拟试卷 103 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个
9、选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 ABC=E，可知A（BC）=E 或（AB）C=E，即 A 与 BC 以及 AB 与 C 均互为逆矩阵，从而有（BC）A=BCA=E 或 C（AB）=CAB=E ，比较四个选项，应选 D。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 AB 是 m 阶方阵，且 r（AB）minr （A ），r （B）minm，n，所以当 mn 时，必有 r（AB） m，从而|AB|=0，所以应选 B。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 n 个 n
10、维向量的线性相关性一般用行列式| 1， 2， n|是否为零判断。因为| 1， 2， 3， 4|=当 a=8 时，行列式| 1， 2， 3， 4|=0，向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，但 a=2 时仍有行列式|1， 2， 3， 4|=0，所以 a=8 是向量组 1， 2， 3， 4 线性相关的充分而非必要条件。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 因为向量组可由向量组线性表示，故 r（）r （）s 。又因为当 rs 时，必有 r（ ）r ，即向量组的秩小于其所含向量的个数，此时向量组必线性相关，所以应选 D。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 齐次线
11、性方程必有解（零解），则选项 C、D 为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中有且只有一个正确，因而排除 A、B 。又齐次线性方程组 有 n+1 个变量，而由题设条件知，=r（A）n n+1 。所以该方程组必有非零解，故选 D。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 由 1+22 一 3= 知 =（ 1， 2， 3， 4） 即1=（1，2，一 1，0） T 是 Ax= 的解。同理 2=（1，1，1，1）T， 3=（2，3，1，2） T 均是 Ax= 的解，则 1=1 一 2=（0，1，一 2，一 1）T， 2=3 一 2=（1，2，0，1） T 是导出组 Ax=0
12、 的解，并且它们线性无关。于是Ax=0 至少有两个线性无关的解向量，则 n 一 r（A ）2，即 r（A）2 ，又因为1， 2 线性无关，故 r（A）=r（ 1， 2， 3， 4）2。所以必有 r（A ）=2，从而n 一 r（A）=2，因此 1， 2 就是 Ax=0 的基础解系。所以应选 B。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 为 A 的非零特征值，所以 2 为 A2 的特征值， 为（A 2） 1的特征值。因此（ A2） 1 的特征值为 所以应选 B。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 中，r（A）=1，r（B）=2，故 A 和 B 不相
13、似。选项 B 中，tr（ A）=9， tr（B）=6，故 A 和 B 不相似。选项 D 中，矩阵 A 的特征值为2，2，一 3，而矩阵 B 的特征值为 1，3，一 3，故 A 和 B 不相似。由排除法可知应选 C。事实上，在选项 C 中，矩阵 A 和 B 的特征值均为 2，0，0。由于 A 和 B均可相似对角化，也即 A 和 B 均相似于对角矩阵 故由矩阵相似的传递性可知 A 和 B 相似。所以选 C。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 f=x TAx 正定 对任意的 x0，均有 xTAx0；反之，若存在 x0，使得 f=xTAx0 则 f 或 A 不正定。A 选项因 f
14、1（1，1，1）=0，故不正定。B 选项因 f2（一 1，1，1）=0，故不正定。C 选项因 f3（1，一 1，1，1）=0，故不正定。由排除法，故选 D。【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 20【试题解析】 利用行列式的性质 |B|=| 1 一 32+23， 2 一 23，5 3|=5|1 一32+23， 2 一 23， 3| =5|1 一 32， 2， 3|=5 |1， 2， 3|=5|A|=20。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 由 A2 一 A 一 2E=O，可得（A+2E ）（A 一 3E）= 一 4E，于是有（A+2E） 1（A+2E ）（ A
15、 一 3E）=一 4（A+2E） 1，因此 （A+2E） 1=【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 在等式 A1BA=6A+BA 两端右乘 A1，可得 A1B=6E+B，在该等式两端左乘 A，可得 B=6A+AB，则有（EA）B=6A ，即 B=6（EA） 1A，且【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 n【试题解析】 已知 A2 一 2A 一 8E=O，可得（4EA ）（2E+A）=O，根据矩阵秩的性质可知 r （4E A）+r（2E+A）n， 同时 r（4EA）+r（2E+A）r（4EA）+（ 2E+A）=r（6E ）=n ， 因此 r（4EA）+r（2E+A）=n 。
16、【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 m+1【试题解析】 已知 r（ 1， 2， s）=r（ 1， 2， s，）=m ，表明向量 可以由向量组 1， 2， s 线性表示，但是 r（ 1， 2， s，）=m+1，则表明向量 不能由向量组 1， 2， s 线性表示，因此通过对向量组1， 2， s， 作初等列变换，可得（ 1， 2， s， ，）=（ 1， 2， ， s，0， ），因此可得 r（ 1， 2， s，）=m+1。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 一 3 或一 1【试题解析】 系数矩阵的行列式|A|= =一（+3）（+1），所以当=一 3 或一 1 时，方程组有非零解。【知识模块
17、】 线性代数17 【正确答案】 k（一 5，3，1） T，k 为任意常数【试题解析】 将方程组（1）和方程（2）联立，得到方程组（3）的解就是两者的公共解。对（3）的系数矩阵作初等行变换可得 由于 A 的秩为 2，所以自由变量有一个，令自由变量 x3=1，代入可得 x2=3，x 1=一 5，所以（3）的基础解系为 =（一 5，3，1） T。因此（1）和（2）的公共解为 k（一 5，3，1） T，k 为任意常数。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 1【试题解析】 根据题设条件，得 A（ 1， 2）=（A 1，A 2）=（ 1， 2）记P=（ 1， 2），因 1， 2 线性无关，故 P=（
18、1， 2）是可逆矩阵。由 AP=可得 P1AP= ，则 A 与 B 相似，从而有相同的特征值。因为 所以 A 的非零特征值为 1。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 一 1【试题解析】 是 A*的特征向量，设对应于 的特征值为 0，则有 A*=0，该等式两端同时左乘 A，即得 AA*=|A|=0A，即展开成方程组的形式为因为 r（A *）=3，|A *|0，因此 00，根据方程组中的前两个等式，解得 a=一 1。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 z 12z22【试题解析】 令 所以该线性变换是非退化的，则原二次型与变换之后的二次型 f=y1y2 是合同的，故有相同的合同规范形。二
19、次型f=y1y2 的矩阵为 其特征值为 ， 0，所以原二次型的正、负惯性指数均为，1，故原二次型的合同标准形为 z12z22。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 利用行列式的性质，得=nDn1+（n 一 1）!a n2，同理可得 Dn1=（n 一 1）D n2+（n 一 2）!a n12，所以Dn=n（n1）D n2+（n 一 2）!a n12+（n 一 1）! a n2=n（n 一 1）D n2+依次递推可得【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 （）（反证法）假设|A *|0，则有 A*（A *） 1=E。又因为AA*=|A|E，且
20、|A|=0，故 A=AE=AA *（A *） 1=|A|E（A *） 1=0， 所以 A*=O。这与|A*|0 矛盾，故当|A|=0 时，有|A *|=0。 （）由于 AA*=|A|E，两端同时取行列式得 |A|A *|=|A|n。 当|A|0 时，|A *|=|A|n1；当|A|=0 时，|A *|=0。 综上，有|A *|=|A|n1成立。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 考虑线性方程组 k11+k22+k33=，（1）记其系数矩阵A=（ 1， 2， 3）。对该线性方程组的增广矩阵作初等行变换，即（）当 a一 10 时，r （ A）=r （A，）=3，此时方程组（1）有唯一解， 可
21、由1， 2， 3 唯一地线性表出。（）当 a=一 10，且 c3b 一 1 时，可知 r（A）r（A ，），此时方程组（1）无解， 不可由 1， 2， 3 线性表出。（）当 a=一 10，且 c=3b 一 1 时，可知 r（A）=r（A ， ）=2，此时方程组（1）有无穷多解，其全部解为 k1= k2=l，k 3=b 一 l，其中 l 为任意常数。 可由1， 2， 3 线性表出，但表示不唯一，其一般表达式为 1+l2+（b一 l） 3，其中 l 为任意常数。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 （）由 BO，且 1， 2， 3 是齐次线性方程组 Bx=O 的三个解向量可知，向量组 1， 2
22、， 3 必线性相关，于是| 1， 2， 3|= 解得a=3b。由 Ax=3 有解可知，线性方程组 Ax=3 的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，对增广矩阵作初等行变换得所以b=5，a=3b=15。（）因为 BO，所以 r（B）1，则 3 一 r（B）2。又因为1， 2 是 Bx=0 的两个线性无关的解，故 3 一 r（B ）2，综上，r（B）=1，所以1， 2 是 Bx=0 的一个基础解系，于是 Bx=0 的通解为 x=k11+k12，其中 k1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 （）线性方程组（1）Ax=0 的通解为 x=k11+k22+k33；线性方程组（2）Bx=
23、0 的通解为 x=l11+l22+l33；线性方程组（3）的解是方程组（1）和（2）的公共解，故考虑线性方程组（4）k 11+k22+k33=l11+l22+l33，将其系数矩阵作初等行变换，即 则方程组（4）的一个基础解系是（一2，0，2，一 1，0，1） T。将其代入（4）得到方程组（3）的一个基础解系 =一21+22=一 1+3=（0，一 2，0，2，0） T。所以方程组（ 3）的通解为 x=k（0，一1，0，1，0） T，其中 k 为任意常数。（）线性方程组（3）与线性方程组 xT（A T，B T）=0等价，而方程组（3）的基础解系只含一个向量，故矩阵 C=（A T，B T）的秩r（C
24、）=5 1=4。【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 要证 =一 1 是 A 的特征值，需证|A+E|=0。 因为|A+E|=|A+ATA|=|（E+A T）A|=|E+A T|A|=一|A+E|，所以|A+E=0，故 =一 1 是 A 的特征值。【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 设对应于 2=3=1 的特征向量为 =（x 1，x 2，x 3） T。由实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交得 T1=0，即 x2+x3=0，解得2=（1，0，0） T， 3=（0，1，一 1） T。又由 A（ 1， 2， 3）=（ 11， 22， 33），故有 A=（ 11， 22， 33）（ 1
25、， 2， 3） 1【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 （）设 x11+x22+x33=，即 解得x1=2， x2=一 2，x 3=1，故 =21 一 22+3。（）A=2A 1 一 2A2+A3，则由题设条件及特征值和特征向量的定义可得 An=2An1 一 2An2+An3=21 一22n2+3n3=【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 因为 3 是 A 的特征值，故|3EA|=8（3 一 y 一 1）=0，解得y=2。于是 由于 AT=A，要（AP） T（AP）=P TA2P=A，而 A2=是对称矩阵，即要 A2，故可构造二次型 xTA2x，再化其为标准形。由配方法，有 xTA2x=x12+5x32+5x42+8x3x4=y12+y22+5y32+ y42，其中y1=x1， y2=x2，y 3=x3+ x4，y 4=x4，即于是（AP） T（AP）=PTA2P=【知识模块】 线性代数
