1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 144 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则BC 为( )（A）E（B） E（C） A（D）A2 n 维向量组 1， 2， m(3mn)线性无关的充分必要条件是( )（A）存在不全为 0 的数 k1，k 2，k m，使 k11+k22+kmm0（B） 1， 2， m 中任意两个向量都线性无关（C） 1， 2， m 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出（D） 1， 2， m 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出3 设 A、B
2、 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有( )（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关4 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A、B 均为 mn 矩阵现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A) 秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题
3、中正确的是( )（A） （B） （C） （D） 5 与矩阵 D= 相似的矩阵是 ( )二、填空题6 行列式 的第 4 行各元素的余子式之和的值为_7 设 4 阶矩阵 A=1 1 2 3，B= 2 1 2 3，其中 1， 2， 1， 2， 3 均为 4 维列向量，且已知行列式|A|=4，|B|=1 ，则行列式|A+B|=_8 设 A 为 n 阶非零方阵，且|A|=0，则|A *|=_9 设 A=(aij)33 是实正交矩阵，且 a11=1，b=(1 ，0， 0)T，则线性方程组 Ax=b 的解是_10 已知向量组 1=(1，2，3，4)， 2=(2，3，4，5)， 3=(3，4，5，6)，4=(
4、4， 5，6， 7)，则该向量组的秩为_11 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n1，则线性方程组 Ax=0的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 已知矩阵 且矩阵 X 满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，求矩阵 X13 设向量组 1=(1，1，1，3) T， 2=(1，3，5，1) T， 3=(3，2，1，a+2)T 4=(2，6，10，a) T (1)a 为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量=(4， 1，6， 10)T 用 1， 2， 3， 4 线性表出； (2)a 为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组1
5、4 设齐次线性方程组 Amnx=0 的解全是方程 b1x1+b2x2+bnxn=0 的解，其中x=(x1，x 2，x n)T证明：向量 b=(b1，b 2，b n)可由 A 的行向量组线性表出15 设 mn 矩阵 A 的秩为 r，且 rn，已知向量 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解试证：方程组 Ax=b 存在 nr+1 个线性无关的解，而且这 nr+1 个解可以线性表示方程组 Ax=b 的任一解16 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=3=1，对应于 1 的特征向量为1=(0，1，1) T，求矩阵 A16 已知 = 的一个特征向量17 试求 a，b 的值及 所对应的特征值
6、；18 问 A 能否相似于对角矩阵?说明理由18 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 16 熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 25 成为熟练工设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟工所占百分比分别为 xn 和 yn，记成向量19 20 验证 1= 是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；21 22 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，1，0，对应的特征向量分别为 1， 2， 3，若B=A22A+3E ，试求 B1 的特征值和特征向量23 设 A 为 n 阶方阵，秩(A)=rn，且满足 A2=2A
7、，证明：A 必相似于对角矩阵24 设 A 是 n 阶正定阵，E 是 n 阶单位阵，证明：A+E 的行列式大于 125 设 1、 n 分别为 n 阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X 1，X n 分别为对应于1、 n 的特征向量，记 f(X)=X TAXX TX，X Rn， X0 二次型 f(X)=XTAX 在XTX=1 条件下的最大(小)值等于实对称矩阵 A 的最大 (小)特征值 求三元函数f(x1，x 2，x 3)=3x12+2x22+3x32+2x1x3 在 x12+x22+x32=1 条件下的最大及最小值，并求最大值点及最小值点25 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交
8、变换 x=Qy 下的标准形为 y12+y22，且 Q的第 3 列为26 求矩阵 A；27 证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 144 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 B=E+AB (EA)B=E EA=B 1 由 C=A+CA C(EA)=A CB1 =A C=AB 所以， BC=BAB=(EA)B=B 1 B=E故选项 A 正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 由 AB=O 知 B 的每一列都是齐次线性
9、方程组 Ax=0 的解向量，又由BO 知 B 至少有一列非零，故方程组 Ax=0 有非零解，因此 A 的列向量组线性相关同理由 BTAT=(AB)T=O 知 BT 的列向量组一一即 B 的行向量组线性相关【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 A 与对角矩阵 D=diag(1，1，2)相似甘 A 的特征值为 1，1，2，且对应于特征值 1 的线性无关特征向量有两个，后一条件即 3r(EA)=2，或r(EA)=1，经检验，只有 C 符合上述条件【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 -28【试题解析】 可直接计算，亦可利用展开法
10、则，得所求值等于行列式=28【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 40【试题解析】 |A+B|=| 1+2 21 22 23|=8(|1 1 2 3|+|2 1 2 3|) =8(|A|+|B|)=8(4+1)=40【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 0【试题解析】 必有|A *|=0，否则|A *|0，则 A*可逆，用 (A*)1 右乘 AA*=|A|E=O 两端，得 A=O，这与 AO 矛盾【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 由于正交矩阵的行(列)向量组均为正交单位向量组，故又 A1 =AT，故方程组 Ax=b 的解为 x=A1 b=ATb【知识模块】 线性代数10
11、 【正确答案】 2【试题解析】 知r(1， 2， 3， 4)=r(B)=2【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 k(1，1，1) T(k 为任意常数)【试题解析】 因基础解系含 nr(A)=n(n1)=1 个向量，故 Ax=0 的任一非零解都可作为 Ax=0 的基础解系，由条件 aij=0，i=1，n，知 =(1，1，1) T是 Ax=0 的非零解，故 Ax=0 的通解为 x=k【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 (AB)X(AB)=E X=(AB) 1(AB) 1【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 对矩阵 A=1 2 3 4
12、作初等行变换，化为阶梯形：(1)当 a2 时，矩阵 A=1 2 3 4的秩为 4，即向量组 1， 2， 3， 4 线性无关此时设 x11+x22+x33+x44=，解得(x 1，x 2，x 3，x 4)=(2， )，即有 (2)当 a=2 时，向量组1， 2， 3， 4 线性相关，此时该向量组的秩为 3， 1， 2， 3(或 1， 3， 4)为其一个极大无关组【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由条件知方程组 Ax=0 与方程组 x=0 同解，故有 r(A)=r ，因此 A 的极大无关行向量组也是 的极大无关行向量组，故 b 可由 A 的极大无关行向量组线性表出，从而知 6 可由 A 的
13、行向量组线性表出【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由秩(A)=rn，知方程组 Ax=0 的基础解系含 nr 个向量，设Ax=0 的基础解系为： 1， 2， nr ，则可证明：向量 ， 1+， nr +，是满足题意的 nr+1 个向量【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 设 A 的属于特征值 2=3=1 的特征向量为 =(x1，x 2，x 3)T，则1T=x2+x3=0解得其基础解系为 2=(1，0，0) T， 3=(0，1，1) T，于是得 A 的标准正交的特征向量 e1=1 1= (0，1，1) T，e 2=2，e 3=3 3= (0，1，1) T，故得正交矩阵 使得 P1 AP
14、=PTAP【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由(E A)=0解之得 a=3，b=0，=1【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 A 的特征值为 1=2=3=3=1，对应的线性无关特征向量却只有1 个，故 A 不能相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 1=1， 2=12【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 P= 1 2【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 B=(A 2 2A+3E)1=A212A 1+31=1212 11+31=(122 1+3)1=21，类似可得B2=62，
15、B 3=33，故 B 的特征值为 2，6，3，对应的线性无关特征向量分别为1， 2， 3，得 B1 的特征值为 12，16，13，对应的特征向量分别为k11， k22， k33(ki 为任意非零常数，i=1，2，3) 【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由秩(A)=rn，知方程组 Ax=0 的基础解系含 nr 个向量：1， 2， nr 因此， 1， 2， nr ，就是 A 的对应于特征值 0 的 nr 个线性无关的特征向量设 A 按列分块为 A=1 2 n，则题设条件 AA=2A 就是A1 A2A n=21 222 n，由 Aj=2j，知 A 的列向量组的极大无关组就是 A 的对应于特征
16、值 2 的 r 个线性无关特征向量再由特征值的性质，知 1， nr ， 就是 n 阶方阵 A 的 n 个线性无关特征向量，所以，A 必相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 1 因 A 正定，有正交阵 P，使 P1 AP=PTAP 其中i0(i=1，2，n)故 P1 (A+E)P=P1 AP+E 两端取行列式，得|A+E|=( 1+1)(2+1)( n+1)12 设 为 A+E 的特征值，则有向量 x0，使(A+E)x=x 或 Ax=(1)x 故 1 为 A 的特征值，因 A 正定，有 10，即1故 A+E 的特征值全都大于 1，因为 A+E 所有特征值的乘积等于|A+E|，故
17、得|A+E|1【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 =(2) 2(4)=0， 1=2=2， 3=4对于 1=2=2，由 2EA 得对应的特征向量为(0，1，0) T，(1，0，1) T，单位特征向量为(0，1，0)T， (1，0， 1)T；对于 3=4，由 4EA 得对应的特征向量(1 ，0，1) T，单位特征向量为 (1，0，1) T知 minf=f( )=f(0，1，0)=2，maxf=f( )=4【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由条件知，A 的特征值为 1，1， 0，且 =(1，0，1) T 为 A 的属于特征值 0 的一个特征向量设 A 的属于特征值 1 的特征向量为 x=(x1，x 2，x 3)T，则 x，得 x1+x3=0，取 A 的属于特征值 1 的两个正交的单位特征向量为(1， 0，1) T、(0，1，0) T得正交矩阵 则有QTAQ=diag(1，1，0)，故 A=Qdiag(1，1，0)Q T【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 A+E 的特征值为 2，2，1 都大于零，且 A+E 为实对称矩阵，所以 A+E 为正定矩阵【知识模块】 线性代数
