1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 148 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组 21+3+4， 2 一4， 3+4， 2+3，2 1+2+3 的秩是 ( ) （A）1（B） 2（C） 3（D）42 设 A 为 mn 矩阵，X 为 n 维列向量，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是 ( )（A）A 的列向量线性无关（B） A 的列向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的行向量线性相关3 已知 1， 2 是 AX=b 的两个不同的解， 1， 2 是相应的齐次方程组 AX=0 的基础解系
2、，k 1，k 2 是任意常数，则 AX=b 的通解是 ( )（A）k 11+k2(1+2)+（B） k11+k2(1-2)+（C） k11+k2(1 一 2)+（D）k 11+k2(1 一 2)+4 已知 3 阶矩阵 A 有特征值 1=1,2=2， 3=3，则 2A*的特征值是 ( )（A）1，2，3（B） 4，6，12（C） 2，4，6（D）8，16，245 设 则下列选项中是 A 的特征向量的是 ( )（A） 1=1，2，1 T（B） 2=1，一 2，1 T（C） 3=2，1，2 T（D） 4=2，1，-2 T6 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆且 AB，则下列命题中： ABBA ；
3、 A2 B2； A TB T； A -1B -1 正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设 4 阶行列式的第 2 列元素依次为 2，a 22，a 32， 3，第 2 列元素的余子式依次为1，一 1，1，一 1，第 4 列元素的代数余子式依次为 3，1，4，2，且行列式的值为1，则 ( )（A）a 22=一 4，a 32=一 2（B） a22=4，a 32=一 2（C）（D）8 线性方程组 则 ( )（A）当 a， b，c 为任意实数时，方程组均有解（B）当 a=0 时，方程组无解（C）当 b=0 时，方程组无解（D）当 c=0 时，方程组无解9 已知 A，B，A+B，A
4、-1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1 等于 ( )（A）A+B（B） A-1+B-1（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -110 下列命题正确的是 ( )（A）若 AB=E，则 A 必可逆且 A-1=B（B）若 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则 A+B 必可逆（C）若 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A-B 必不可逆（D）若 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆11 设 A，B 是 n 阶方阵，AB=O，BO，则必有 ( )（A）(A+B) 2=A2+B2（B） |B|0（C） |B*|=0（D）|A*|=012 设 Ann 是正交矩阵，则
5、( )（A）A*(A*) T=|A|E（B） (A*)T*=|A*|E（C） A*(A*)T=E（D）(A*) TA*=一 E二、填空题13 设 则 A-1=_14 设 ，则(A*) -1=_15 已知一 2 是 A= 的特征值，其中 b 是不等于 0 的任意常数，则x=_16 设 A 是 3 阶矩阵，|A|=3且满足|A 2+2A|=0，|2A 2+A|=0，则 A*的特征值是_17 设 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是三个线性无关的 3 维列向量，满足Ai=i， i=1，2，3，则 A=_18 已知 则 A-1=_19 行列式20 已知 A，B 为 3 阶相似矩阵， 1=1， 2=
6、2 为 A 的两个特征值，|B|=2 ，则行列式21 设 A=(aij)nn 是 n(n2)阶非零实矩阵，满足 aij=Aij，其中 Aij 是 A 的元素 aij 的代数余子式，且 a11=a12=a1n，则 a11=_22 设 A 为奇数阶矩阵，AA T=ATA=E，且|A|0，则 |AE|=_23 设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A-1BA=6A+BA，且 A= ，则B=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 求齐次线性方程组 的基础解系25 问 为何值时，线性方程组 有解，并求出解的一般形式26 为何值时，方程组 无解，有唯一解，有无穷多解? 并在有无穷多解时写出
7、方程组的通解27 已知线性方程组 的通解为2，1，0，1T+k1，一 1，2，0 T记 j=a1j，a 2j，a 3j，a 4jT，j=1 ，2，5 问：(1) 4 能否由 1， 2， 3， 5 线性表出，说明理由； (2)4 能否由 1， 2， 3 线性表出，说明理由28 设有 4 阶方阵 A 满足条件|3E+A|=0，AA T=2E，|A|0，其中 E 是 4 阶单位矩阵求方阵 A 的伴随矩阵 A*的一个特征值29 设 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值， x1，x 2 是分别属于 1 和2 的特征向量证明：x 1+x2 不是 A 的特征向量30 设矩阵 A= ，
8、问 k 为何值时，存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=A，求出 P 及相应的对角矩阵31 已知 =1，k，1 T 是 A-1 的特征向量，其中 A= 求 k 及 所对应的 A的特征值32 设矩阵 有三个线性无关的特征向量，=2 是 A 的二重特征值，试求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=A，其中 A 是对角矩阵33 已知 =1，1，一 1T 是矩阵 的一个特征向量 (1)确定参数a，b 及 对应的特征值 ； (2)A 是否相似于对角矩阵，说明理由34 设 A 是 n 阶方阵，2，4，2n 是 A 的 n 个特征值，E 是 n 阶单位矩阵计算行列式|A 一 3E|的值考研数学三（线性代数）模拟试卷
9、 148 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 r(2 1+3+4， 2 一 4， 3+4， 2+3，2 1+2+3)r(1， 2， 3， 4， 5) 1， 2， 3， 4， 5=1， 2， 3， 4因 r( 1， 2， 3， 4)=4，故 r(1， 2， 3， 4， 5)=【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 A 的列向量线性无关 AX=0 仅有零解，是充要条件，当然也是充分条件【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 (A) ，(C) 中没有非齐次特解， (D)中两个齐次解 1 与 1 一
10、2 是否线性无关未知，而(B)中因 1， 2 是基础解系，故 1， 1 一 2 仍是基础解系,仍是特解【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 2A*的特征值是 (i=1，2，3)，其中 |A|=123， i(i=1，2，3)是A 的特征值，分别为 1，2，3，故 2A*的特征值为 4，6，12【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 因 故 2 是 A 的对应于特征值 =一 2 的特征向量 1， 3， 4 均不与 A1，A 3，A 4 对应成比例，故都不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB 可知：存在可逆矩阵 P，使得
11、 P-1AP=B，故 P -1A2P=B2，P TAT(PT)-1=BT，P -1A-1P=B-1， 所以 A2B 2，A TB T，A -1B -1又由于A 可逆，可知 A-1(AB)A=BA，故 ABBA所以正确的命题有 4 个，选(D) 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 由行列式展开定理及推论，得 即解得 a22=一 4，a 32=一 2【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 因 a=0 或 b=0 或 c=0 时，方程组均有解当 abc0时，系数行列式由克拉默法则知，方程组有解故 a，b，c 为任意实数时，方程组均有解【知识模块】 线性代数9 【正
12、确答案】 C【试题解析】 (A -1+B-1)A(A+B)-1B=(E+B-1A)(A+B)-1B =B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1B=E 故 (A -1+B-1)-1=A(A+B)-1B【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 (D) 中因 A，B 不可逆，则|A|=0，|B|=0 ，故|AB|=|A|B|=0，AB 不可逆；(A)中 AB=E，但未指出是方阵，若 则 AB=E，但 A，B均无逆可言；(B)中，取 B=-A，则 A+B=A-A=O 不可逆；(C)中，取均不可逆，但 A-B=E 是可逆矩阵【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 D【试题解析】 AB=
13、O ，不一定有 BA=O，故(A) 选项中 (A+B)2=A2+B2，不成立；BO，|B| 可以为零，也可以不为零，|B*|也可以为零，可以不为零，故(B) ，(C) 不成立；BO， AB=O，于是 AX=0 有非零解，故|A|=0，从而|A*|=|A| n-1=0【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 C【试题解析】 A 是正交矩阵，则有 A-1=AT= ,A*(A*)T=|A|AT(|A|AT)T=|A|2ATA=E【知识模块】 线性代数二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 则 B=A+E，B 2=4B=4(A+E)=(A+E)2，得 A 2-2A=A(A-2E)=3E，【知识模块
14、】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 一 4【试题解析】 由|E 一 A|=|-2E-A|=0，可求得 x=一 4【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 1= ； 2=6； 3=1【试题解析】 |A|A+2E|=0，因|A|=3，则|A+2E|=0，故 A 有特征值 1=一 2又因|A|=3= 123，故 3=3又 A=，A*A=A*,A*=故 A*有特征值 1= ， 2=一 6， 3=1【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 E【试题解析】 因 A1=1， A2=2，A 3=3，合并成矩阵形式有 A 1，A 2，A 3=A1， 2， 3=
15、1， 2， 3， 由 1， 2， 3 线性无关，知 1， 2， 3是可逆矩阵，故 A= 1， 2， 31， 2,3-1=E【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (n 一 1)!2!【试题解析】 行列式 Dn+1 与范德蒙德行列式的形式不同，可以利用行列式性质将Dn+1 化为范德蒙德行列式计算将行列式 Dn+1 的第 n+1 行依次与相邻上一行进行交换，经过 n 次交换后，换到了第一行完全类似，D n+1 的第 n 行经过 n 一 1 次相邻两行交换，换到第二行如此继续进行，共进行了 n+(n 一 1)+2+1=次行交换后，D n+1
16、化为范德蒙德行列式【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 【试题解析】 设 3 为 A 的另一特征值则由 AB 知，|A|=|B|=2 ，且123=|A|=2，可见 3=1，从而 A，B 有相同的特征值 1=1， 2=2， 3=1于是有 | A+E|=(1+1)(2+1)(3+1)=12， |(2B)*|=|2 2B*|=43|B*|=43|B|2=256，故【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 【试题解析】 AA*=AAT=|A|E |A|2= |A|E|=|A|n，|A| 2|A|n-2 一 1=0，得|A|=0 或|A|=1若 a11=0，则 a12=a1n=0，且 aij=Aij
17、=0，i=2 ，n，j=1，n，即 A=O，故 a110因此【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 0【试题解析】 |AE|=|A AAT|=|A(E 一 AT)|=|A|(EA)T|=|A|EA| 由于AAT=ATA=E，可知|A| 2=1，又由|A|0，可知|A|=1 因 A 为奇数阶矩阵，故 |EA|=|-(AE)|=一|AE|， 故有|A E|=一|A E|，可知|AE|=0【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 diag(3，2，1)【试题解析】 由 A-1BA=6A+BA 得 B=6(E-A)-1A=diag(3，2，1)【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明
18、过程或演算步骤。24 【正确答案】 系数矩阵 则方程组的解为令 ，得方程组的基础解系 1=一 1，1，0，0，0T， 2=一 1，0，一 1，0，1 T【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 增广矩阵 B=A|b= 线性方程组有解 r(A)=r(B) 一 +1=0 =1，其通解为【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 方程组改写为 则有当 时，方程组无解；当 1 且时，方程组有唯一解；当 =1 时，方程组有无穷多解，且通解为【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1) 4 能由 1， 2， 3， 5 线性表出 由线性非齐次方程组的通解2，1， 0，1 T+k1，一 1，2，0 T 知
19、5=(k+2)1+(一 k+1)2+2k3+4，故 4=一(k+2)1+(k 一 1)22k3+5 (2) 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，因对应齐次方程组的基础解系只有一个非零向量，故 r(1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3， 4， 5)=41=3，且由对应齐次方程组的通解知， 1 一 2+23=0，即 1， 2， 3 线性相关，r(1， 2， 3)3，若 4 能由 1， 2， 3 线性表出，则 r(4， 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)3，这和 r(1， 2， 3， 4)=3 矛盾，故 4 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 由|3
20、E+A|=0 知 =一 3 为 A 的特征值由 AAT=2E，|A|0 知|A|=-4，则 A*的一个特征值为【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 假设 x1+x2 是 A 的特征向量，则存在数 ，使得 A(x1+x2)=(x1+x2)，则 ( 1)x1+(2)x2=0因为 12，所以 x1，x 2 线性无关，则1=2矛盾【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 由 |E-A|=(+1)2( 一 1)=0知 =一 1 是二重特征值，为使 A 相似于对角矩阵，要求 r(E 一 A)=r(一 E 一 A)=1，又故由 r(一 E 一 A)=1 k=0，即当 k=0 时，存在可逆矩阵 P，使得
21、P -1AP=A 在 k=0 的条件下，当 =一 1 时，由(E 一 A)X=当 =1 时，由(E-A)X=故当 k=0 时，存在可逆矩阵【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 由题设有 A-1=， 是 A-1 的对应于 的特征值，两端左边乘A，得 =A，A -1 可逆， 0， ，即 由对应分量相等，得 联立得 2+2k=k(3+k)，整理得 k2+k 一 2=0，解得 k=1 或 k=-2 当 k=1 时， =1，1，1 T，=4； 当 k=-2 时，=-1，-2，1 T，=1 【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 A 有三个线性无关的特征向量， =2 是二重特征值，故特征矩阵2E-A
22、 的秩应为 1即 得x=2，y=-2 ，故 因 tr(A)=10= =4+3，故 3=6当 =2 时，由当 =6 时，由令 P=1， 2， 3= ，则 P-1AP=【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 (1)设 A 的特征向量 所对应的特征值为 ，则有 A=，即解得 =一 1，a=一 3，b=0 (2)当 a=一 3，b=0 时，由|E 一 A|= =(+1)3=0，知 =一 1 是 A 的三重特征值，但 从而当 =一 1 时，对应的线性无关的特征向量只有一个，故 A 不能相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 设 A 为 A 的特征值，则 一 3 为 A 一 3E 的特征值所以 A 一3E 的特征值为一 1，1，3，2n 一 3，故|A 一 3E|=(一 1)13(2n 一 3)=一(2n 一 3)!【知识模块】 线性代数
