1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 39 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设矩阵 ，则 A 与 B（A）合同，且相似（B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似2 设 ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为二、填空题3 若二次型 f(x1，x 2，x 3)一 2x12+x22+x23+2x1x2+tx2x3 是正定的，则 t 的取值范围是_。4 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2 一 x3)2+(x3+x1)2 的秩为_。5 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的秩为 1，A 的各行元素之和为 3，
2、则 f 在正交变换x=Qy 下的标准形为_ 。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A1=1+2+3，A 2=21+3，A 3=22+336 求矩阵 B，使得 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)B；7 求矩阵 A 的特征值；8 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵。9 问 取何值时，二次型 f=x12+4x22+4x32+2x1x2 一 2x1x3+4x2x3 为正定二次型?10 设 A、B 分别为 m、n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 C= 是否正定矩阵。11 设二次型 f=x12+x22+x3
3、2+2x1x2 一 2x2x3+2x1x3 经正交交换 X=PY 化成f=y22+2y32，其中 X=(x1，x 2，x 3)T 和 Y=(y1，y 2，y 3)T 是 3 维列向量，P 是 3 阶正交矩阵，试求常数 ， 。12 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=4x22 一 3x32+4x1x24x1x3+8x2x3。 (1)写出二次型 f 的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵。13 设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。已知矩阵 B=E+ATA，试证：当0 时，矩阵 B 为正定矩阵。14 设有 n 元实二次型 f(x1，x 2，x
4、 n)=(x1+1x2)2+(x2+x2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中 ai(i=1，2，n) 为实数。试问：当 a1，a 2，a n 满足何种条件时，二次型 f(x1，x 2，x n)为正定二次型。14 设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij 是 A=(aij)nn 一中元素 aij 的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x1，x 2，x n)=15 记 X 一(x 1，x 2，x n)T，把 f(x1，x 2，x n)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为 A-1。16 二次型 g(x)=XTAX 与 f(X)的规范形是否相同
5、?说明理由。16 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX=ax12+222 一 223+2bx1x3(b0)，其中二次型的矩阵A 的特征值之和为 1，特征值之积为一 1217 求 a，b 的值；18 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。19 设 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为mn 矩阵。 ()计算 PTDP，其中 ()利用()的结果判断矩阵BCTA-1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论。19 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=ax12+ax22+(n 一 1)x23+2x1x32x2x3。20 求二次型 f
6、的矩阵的所有特征值；21 若二次型 f 的规范形为 y12+y22，求 a 的值。21 已知 ，二次型 f(x1，x 2，x 3)=xT(ATA)x 的秩为 222 求实数 a 的值；23 求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形。23 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1，a 2x2，a 3x3)2+(b1x1，b 2x2，b 3x3)2，记24 证明二次型 f 对应的矩阵为 2T+T。25 若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22。26 设 A 是 n 阶正定阵，E 是 n 阶单位阵，证明：A+E 的行列式大于 1考研数学三（线性代数）模
7、拟试卷 39 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 A 的特征方程得 A 的全部特征值为 1=2=3， 3=0，由此知 A 不相似于对角矩阵 B(因为 A 的相似对角矩阵的主对角线元素必是 A 的全部特征值 3，3，0)，但由 A 的特征值知 3元二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的秩及正惯性指数均为(二次型 f=xTAx 经适当的正交变换可化成标准形 f=3y12+3y22，再经可逆线性变换可化成规范形 f=z12+z22，而 f 的矩阵 A 与 f 的规范形的矩阵 B=diag(1，1，0)是合同的)。【知
8、识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 记(D) 中的矩阵为 D，则由知 A 与 D 有相同的特征值 3 与一 1，它们又都是实对称矩阵，因此存在正交矩阵 P 与 Q，使 PTAP=QTDQ， QPTAPQT=D，或(PQ T)A(PQT)=D，其中 PQT 可逆，所以A 与 D 合同。【知识模块】 线性代数二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 f 的矩阵为 因为，f 正定 的顺序主子式全为正，显然 A 的 1 阶和 2 阶顺序主子式都大于零，故 f 正定【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 2【试题解析】 f 的矩阵 的秩为 2，所以 f 的秩为 2【知识模块】 线性代数5
9、 【正确答案】 3y 12【试题解析】 由 f 的秩为 1，知 f 的矩阵 A 只有一个不为零的特征值， A 的另外两个特征值均为零。再由 A 的各行元素之和都等于 3，即 ，知 A 的全部特征值为 1=3， 2=3=0于是 f 经正交变换化成的标准形为f=1y12+2y22+3y32=3y12。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 由题设条件并利用矩阵乘法，可得 A(123)=(A1A2A3)一(1+2+3，2 2+3，2 2+33)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 因为 1， 2， 3 是线性无关的三维列向量，
10、可知矩阵C=(1， 2， 3)可逆，且由 AC=CB 可得 C-1AC=B，即矩阵 A 与 B 相似。由此可得矩阵 A 与 B 有相同的特征值。由得矩阵 B 的特征值，也即矩阵 A 的特征值为 1=2=1， 3=4【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 对应于 1=2=1，解齐次线性方程组(E 一 B)x=0，得基础解系1=(一 1，1，0) T， 2=(一 2，0，1) T 对应于 3=4，解齐次线性方程组 (4E 一 B)x=0，得基础解系 3=(0，1，1) T 令矩阵 因 Q-1BQ=Q-1C-1ACQ=(GQ)-1A(CQ)，记矩阵 P=CQ=(1， 2， 3) =(一1+2，一 2
11、1+3， 2+3)则有 p-1AP=Q-1BQ=diag(1，1，4)为对角矩阵，故 P 即为所求的可逆矩阵。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 f 的矩阵为 二次型 f 正定的充分必要条件是：A 的顺序主子式全为正。而 A 的顺序主子式为：于是，f 正定的充分必要条件是：D 20，D 30由 D2=4 一 20，可见一 2 2由 D3=一 4(一 1)(+2) 0，可见一 21 可见一 21因此，二次型 f 正定当且仅当一 21【试题解析】 本题主要考查二次型正定性的判别。注意，对于 n 元二次型f(x1，x n)=XTAX(其中 A 为实对 称矩阵，X=(x 1，x n)T)，下列条件
12、都是，正定(实对称矩阵 A 正定)的充要条件： (1)( 正定的定义)对于 Rn 中任意非零向量X，恒有 f(x)=XTAX0； (2)f 的标准形中的 n 个系数都是正数； (3)A 的特征值全都为正数； (4)存在可逆矩阵 M，使得 A=MTM； (5)A 的顺序主子式全为正。 其中，对于给定的二次型(或实对称矩阵)，通常应用条件(5)来判别正定性比较方便，而其它条件在理论讨论中用得较多。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 设 m+n 维列向量 其中 X、Y 分别为 m、n 维列向量。若Z0，则 X、Y 不同时为 0，不妨设 X0，因为 A 正定，所以 XTAX0；因为 B正定，故对
13、任意 n 维向量 Y，有 YTBY0于是，当 Z0时，有因此，C 是正定矩阵。【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 变换前后二次型的矩阵分别为由题设条件有 P-1AP=PTAP=B 因此|E 一 A|=|E一 B|即 得 3 一 32+(2 一 2 一 2)+(一2=3 一 32+2解得 =0为所求常数。【试题解析】 本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的概念及相似矩阵的性质。注意，用正交变换 X=PY(P 为正交矩阵)化二次型 f=XTAX(A 为实对称矩阵)为标准形 f=YTBY(B 为对角矩阵)，其实质就是用正交矩阵 P 化实对称矩阵 A 为对角矩阵 B，即 P 为满足 P-1AP
14、=PTAP=B 的正交矩阵，进一步求出本题所用正交矩阵P。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 (1)f 的矩阵表达式为得 A 的全部特征值为 1=1， 2=6， 3=一 6计算可得，对应的特征向量分别可取为 1=(2，0，一 1)T， 2=(1，5，2) T， 3=(1，一 1，2) T 对应的单位特征向量为则二次型 f 可化为如下标准形：f=y 12+6y22 一 6y32。【试题解析】 本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的运算，其一般步骤是：(1)正确写出二次型 f 的矩阵 A；(2) 求一个正交矩阵 P，使 P-1AP= 为对角阵；(3)写出正交变换： (4)写出 f 在上述正
15、交变换下化成的标准形：f= 1y12+ nyn2。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 因为 B T=(E+ATA)T=E+ATA=B 所以 B 为 n 阶对称矩阵。对于任意的实 n 维向量 x，有 x TBx=xT(E+ATA)x=xTx+xTATAx=xTx+(Ax)T(Ax) 当 x0时，有 xTx0，(Ax) T (Ax)0因此，当 0 时，对任意的 x0，有 xTBx=xTx+(Ax)T(Ax)0 即 B 为正定矩阵。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由题设条件知，对任意的 x1，x 2，x n，有 f(x1，x 2，x n)0其中等号成立当且仅当方程组(*)仅有零解的充
16、分必要条件是其系数行列式不为零，即所以，当 1+(一 1)n+1a1， a2an0时，对于任意的不全为零的 x1，x 2，x n，有 f(x1，x 2，x n)0，即当 a1a2，a n(一 1)n 时，二次型，为正定二次型。【试题解析】 本题综合考查二次型的正定性、齐次方程组仅有零解的条件、行列式的展开法则等知识及其灵活应用。注意，本题将 f 正定归结为齐次方程组(*)仅有零解，是求解的关键。本题 f 是平方和，所以也可以考虑用标准形来作：若矩阵就可将 f 化成规范形 f=y12+y22+yn2。因此，由|A|0，就可得 a1a2an(一 1)n，此时，f 正定。【知识模块】 线性代数【知识
17、模块】 线性代数15 【正确答案】 因为 A 为对称矩阵，所以 Aij=Aij(i，j=1 ，2，n)。因此 f(X)的矩阵形式为从而(A-1)T=(AT)-1=A-1 故 A-1 也是实对称矩阵。因此，二次型 f(X)的矩阵为【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因为 (A -1)TAA-1=(AT)-1E=A-1 所以 A 与 A-1 合同，于是 g(X)=XTAX与 f(X)有相同的规范形。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 二次型 f 的矩阵为 设 A 的特征值为1， 2， 3，则由题设，有 由此解得a=1，b=2【知识模块】 线性代数18 【正确答案】
18、 由 A 的特征多项式得 A 的特征值为 1=2=2， 3=一 3对于 1=2=2，解齐次线性方程组(2EA)x=0，由得基础解系 1=(0，1，0) T， 2=(2，0，1)T。对于 3=一 3，解齐次线性方程组 (一 3E 一 A)x=0，由得基础解系 3=(1，0，一 2)T。 1， 2， 3 已是正交向量组，将它们单位化，得二次型 f 在正交变换 x=py 下的标准形为 f=2y1 2+2y2 2 一 3y3 2。【试题解析】 对于 n 阶实对称矩阵 A，求正交矩阵 P，使 P-1AP=PTAP 为对角矩阵，就是求 A 的 n 个标准正交的特征向量(它们组成正交矩阵 P 的列向量组)。
19、如果 A 的特征值都是单特征值，则由 A 的 n 个特征值求到的 n 个特征向量已经两两正交。如果 A 有量 ki 特征值 i。则要求出属于 i 的 ki 个两两正交的特征向量，当方阵 A 的阶数 n 较小时，如果能由方程组( iE 一 A)x=0 直接求出正交化的基础解系即对应于特征值 i 的正交化的特征向量，这样就可免去施密特正交化过程。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 ()矩阵B 一 CTA-1C 是正定矩阵。证明如下：由() 的结果可知，矩阵 D 合同于矩阵又 D 为正定矩阵，可知矩阵 M 为正定矩阵。因矩阵 M 为对称矩阵，故 B 一 CTA-1C 为对称矩阵。对 及任意的Y
20、=(y1，y 2，y n)T0，由 M 正定，有 即YT(BCTA-1C)Y0故 BCTA-1C 为正定矩阵。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 f 的矩阵为 由特征方程得 A 的特征值为 1=a， 2=a 一 2， 3=a+1【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由 f 的规范形知 f 的秩为 2，正惯性指数为 2(负惯性指数为 0)，因此，A 的特征值 2 个为正，1 个为 0。 若 1=a=0，则 2=一 20， 3=1，不合题意；若 3=a 一 2=0，则 a=2， 1=2， 3=3，符合题意；若 3=a+1=0，则 a=一1， 1=一 10， 2=一
21、30，不合题意。故 a=2。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为 r(ATA)=r(A)，对 A 施以初等行变换可见当 a=一 1 时，r(A)=2，所以 a=一 1。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 于是得 ATA 的特征值为 1=2， 2=6， 3=0对于 1=2，由求方程组(2E ATA)x=0 的一个非零解，可得属于 1=2 的一个单位特征向量 (1，一 1，0) T；对于 2=6，由求方程组(6E ATA)x=0 的一个非零解，【试题解析】 用正交变换化二次型成标准形，从矩阵角度讲，就是用正交矩阵化实对称矩阵成对角矩阵。r(A TA)=r(A)
22、可由齐次线性方程组 (ATA)x=0 与 Ax=0 同解、从而两个方程组的系数矩阵的秩相等而得到(这样的题目本章前面有)。求矩阵ATA 的秩，是利用初等变换将 ATA 化成阶梯形来求其秩的，如果由 ATA 的秩为2，A TA 的前 2 行线性无关，就认为 ATTA 的第 3 行就应该为零行，则是错误的，正确的做法是化成阶梯形。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2=2xT(T)x+xT(T)x=xT(2T+T)xT，又 2T+T 为对称矩阵，所以二次型，的矩阵为2T+T
23、。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 记矩阵 A=2T+T。由于 ， 正交且为单位向量，即T=1， T=1， T=T=0，所以 A=(2 T+T)=2， A=(2 T+T)=， 于是1=2， 2=1 是矩阵 A 的特征值。又 r(A)=r(2 T+T)r(2T)+r(T)2，所以 3=0是矩阵 A 的特征值。由于 f 在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为 A 的特征值，故 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22。【试题解析】 本题综合考查向量的内积和正交等概念、二次型的矩阵和在正交变换下的标准形等概念、特征值与特征向量的概念、矩阵的秩的有关性质。本题证明中多次用到了向量内积的
24、。可交换性(对称性)，例如()中 a1x1+a2x2+a3x3 既可写成(x1，x 2，x 3) ，也可写成(x 1，x 2，x 3) ，即 xT=Tx，从而得(a1x1+a2x2+a3x3)2=xTx=xT(T)x。本题()中刺用 3 阶矩阵 A 的秩小于 3 从而得到 A 有特征值 0 的方法较为简单，另一种方法是：注意也可以将 A 的行列式写成|A|=|2a1+b12a2+b22a3+ba3|，然后利用行列式关于列的可加性，可将 A 的行列式表成 8 个行列式之和，但没有必要具体写出，因为其中每一个行列式至少有两列成比例，从而都等于 0，于是得 A 的行列式为零，由此也可得到 3=0 是矩阵 A的特征值。【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因 A 正定，有正交阵 P，使两端取行列式，得|A+E|=( 1+1)(2+1)( n+1)1。【知识模块】 线性代数
