1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 53 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且|A|=2，|B|=6，则 为( )（A）24（B）一 24（C） 48（D）一 482 设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且|E+A|=0，则|2E+A 2|为( )（A）0（B） 54（C）一 2（D）一 24二、填空题3 设 f(x)= ，则 x2 项的系数为_4 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，|A|的第二行元素的代数余子式分别为 a+1，a 一 2，a 一 1，则 a=_5 设 A 是 m 阶矩阵
2、，B 是 n 阶矩阵，且|A|=a，|B|=b ，则 _6 设三阶方阵 A=A1，A 2，A 3，其中 Ai(i=1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式|A|=一 2，则行列式|一 A1 一 2A2，2A 2+3A3，一 3A3+2A2|=_7 设三阶矩阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1， 2 是三维列向量，且|A|=3，|B|=4，则 |5A 一 2B|=_8 设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A *)*一 1=_(用 A*表示)9 设 a=(1，一 1，2) T，p=(2，1，1) T，A= T，则 A*=_10 A= ，且 n2，则 A*一 2An 一
3、 1=_11 设 A= ，则(A+3E) 一 1(A2 一 9E)=_12 A2 一 B2=(A+B)(AB)的充分必要条件是_13 设 A 是三阶矩阵，且|A|=4，则 =_14 设 A 为三阶矩阵，且|A|=4，则 =_15 设 A 为四阶矩阵，|A *|=8，则 =_16 若矩阵 A= ，B 是三阶非零矩阵，满足 AB=0，则t=_17 设 A= ，则 A 一 1=_18 设 A= ，则 A 一 1=_19 设 A= ，则 (A*)一 1=_20 设 A= ，则 (A 一 2E)一 1=_21 设 n 阶矩阵 A 满足 A2+A=3E，则(A 一 3E)一 1=_22 设 A= =_23
4、 设 n 维列向量 =(a，0，0，a) T，其中 a0，又 A=E 一 T，B=E+ T，且 B 为 A 的逆矩阵，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 计算行列式25 计算 D=26 证明：D=26 设 D=27 计算 D；28 求 M31+M33+M3429 设 求 A 的特征值与特征向量，判断矩阵 A 是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵 P 及对角阵，考研数学三（线性代数）模拟试卷 53 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 246=一 48，选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案
5、】 B【试题解析】 因为 A 的每行元素之和为 4，所以 A 有特征值 4，又|E+A|=0，所以A 有特征值1，于是 2E+A2 的特征值为 18，3，于是|2E+A 2|=54，选(B)【知识模块】 线性代数二、填空题3 【正确答案】 23【试题解析】 按行列式的定义，f(x)的 3 次项和 2 次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以 x2 项的系数为 23【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 1【试题解析】 由(a+1)+2(a 一 2)+3(a 一 1)=得 a=1【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 (一 1)mnab【试题解析】 将 B 的第一行元素
6、分别与 A 的行对调 m 次，然后将 B 的第二行分别与 A 的行对调 m 次，如此下去直到 B 的最后一行与 A 的行对调 m 次，则=(一 1)mnab【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 12【试题解析】 由(一 A1 一 2A2，2A 2+3A3，一 3A3+2A1)=(A1，A 2，A 3)得|一 A1 一 2A2，2A 2+3A3，一 3A3+2A1|=|A1，A 2，A 3|【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 63【试题解析】 由 5A 一 2B=(5，5 1，5 2)一(2，2 1，2 2)=(5 一 2，3 1，3 2)，得 |5A 一 2B|=|5 一 2，3 1，3
7、 2|=9|5 一 2， 1， 2| =9(5|a， 1， 2|一2|， 1， 2|)=63【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 由 A*=|A|A 一 1 得(A *)*=|A*|(A *)一 1=|A|n 一 1=1(IA|A 一 1)|=|A|n 一2A，故(A *)*一 1=【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 3 n 一 1【试题解析】 T=3，A 2=T T=3T=3A，则 An=3n 一 1A=3n 一 1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 0【试题解析】 由 A2=2A 得 An=2n 一 1A，A n 一 1=2n 一 2A，所以 An 一 2An 一
8、 1=0【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 (A+3E) 一 1(A2 一 9E)=(A+3E)一 1(A+3E)(A 一 3E)=A 一 3E=【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 AB=BA【试题解析】 A 2 一 B2=(A+B)(A 一 B)=A2+BA 一 AB 一 B2 的充分必要条件是AB=BA【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 2【试题解析】 =|2A 一 1|=23|A 一 1|=2【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 由 A*=|A|A 一 1=4A 一 1 得【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 8【试题解析】 因为 A
9、 为四阶矩阵，且|A *|=8，所以 |A*|=|A|3=8，于是|A|=2又AA*=|A|E=2E，所以 A*=2A 一 1，故| 一 3A*|=14A 一 1 一 6A 一 1|=(一 2)A 一1|=(一 2)4|A 一 1|=16 =8【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 1【试题解析】 由 AB=0 得 r(A)+r(B)3，因为 r(B)1，所以 r(A)2，又因为矩阵A 有两行不成比例，所以 r(A)2，于是 r(A)=2由得 t=1【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 设【知识模块】 线性代数19 【
10、正确答案】 【试题解析】 |A|=10，因为 A*=|A|A 一 1，所以 A*=10A 一 1，故(A *)一 1=【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 【试题解析】 由 A2+A=3E，得 A2+A 一 3E=0，(A 一 3E)(A+4E)=一 9E，(A 一3E) =E，则 (A 一 3E)一 1=【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 【试题解析】 令 A=(1， 2， 3)，因为|A|=2，所以 A*A 一|A|E=2E而A*A=(A*1，A *2，A *3)，所以 A*1= ，A *2= ，A *3= 于是 A*【知识
11、模块】 线性代数23 【正确答案】 一 1【试题解析】 由 AB=(E 一 T)(E+ T)=E+ T 一 T2aT=E 且 T0，得 一 1 一 2a=0，解得 a=一 1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 M 31+M33+M34=1A31+0A32+1A33+(一 1)A34【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 |E 一 A|= =(+a 一
12、 1)( 一 a)( 一 a 一 1)=0，得矩阵 A 的特征值为 1=1 一 a， 1=a， 3=1+a(1) 当 1 一 aa，1 一a1+a，a1+a，即 a0 且 a 时，因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 一定可以对角化 1=1 一 a 时，由(1 一 a)E 一 AX=0 得 1= ； 2=a 时，由(aE 一 A)X=0 得 2= ； 3=1+a 时，由(1+a)E 一 AX=0 得 3=(2)当 a=0 时， 1=3=1，因为 r(E 一 A)=2，所以方程组(E 一 A)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可以对角化(3)当 a= 时， 1 一 2= 因为 =2，所以方程组 =0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数
