1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 54 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维行向量 = ，A=E 一 T，B=E+2 T，则 AB 为( )（A）O（B）一 E（C） E（D）E+ T2 设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）若 A，B 可逆，则 A+B 可逆（B）若 A，B 可逆，则 AB 可逆（C）若 A+B 可逆，则 A 一 B 可逆（D）若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆3 设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是 ( )（A）AB 为对称矩阵（B）设 A，B 可逆，则 A 一 1+B 一 1 为对称矩阵
2、（C） A+B 为对称矩阵（D）kA 为对称矩阵4 设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）AB=0 的充分必要条件是 A=0 或 B=0（B） AB0 的充分必要条件是 A0 且 B0（C） AB=0 且 r(A)=n，则 B=0（D）若 AB0，则|A|0 或|B|05 n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则 ( )（A）lAl=1Bl（B） |A|B|（C）若 |A|=0 则|B|=0（D）若|A|0 则|B|06 设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1，则( )（A）rr 1（B） rr 1（C） rr
3、1（D）r 与 r1 的关系依矩阵 C 的情况而定7 设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（A）rm（B） r=m（C） rm（D）rm8 设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A*)=1，则( )（A）r(A)=1（B） r(A)=2（C） r(A)=3（D）r(A)=49 设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=0，则( )（A）r(B)=n（B） r(B)n（C） A2 一 B2=(A+B)(A 一 B)（D）|A|=010 设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( )11 设则 A，B 的关系为(
4、)（A）B=P 1P2A（B） B=P2P1A（C） B=P2AP1（D）B=AP 2P112 设，则( )（A）B=P 1AP2（B） B=P2AP1（C） B=P2 一 1AP1（D）B=P 1 一 1AP2 一 1二、填空题13 设三阶矩阵 A，B 满足关系 A 一 1BA 一 6A+BA，且 A= ，则B=_14 设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2，B= ，则 r(AB)=_15 设 A= ，B 为三阶非零矩阵，且 AB=0，则 r(A)=_16 P1= ，则 P12009P2 一 1=_17 f(x1，x 2， x3，x 4)=XTAX 的正惯性指数是 2，且 A22A=0，该
5、二次型的规范形为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 求:18 |一 2B|；19 AB 一 BA20 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A2=A，B 2=B，(A+B) 2=A+B证明：AB=0 21 设 AX=A+2X，其中 A= ，求 X22 设 ，且 AX+|A|E=A*+X，求 X23 设四阶矩阵 B 满足 BA 一 1=2AB+E，且 A= ，求矩阵B24 设 A，B 满足 A*BA=2BA 一 8E，且 A= ，求 B25 设 ，求 B 一 126 设 (ai0， i=1，2，n)，求 A 一 126 设 n 阶矩阵 A 满足 A2+2A 一 3E=0求：2
6、7 (A+2E)一 1；28 (A+4E)一 129 设 A 为 n 阶矩阵，且 Ak=0，求(E 一 A)一 1考研数学三（线性代数）模拟试卷 54 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 T= ，得 AB=(E 一 T)(E+2T)=E，选(C) 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 若 A，B 可逆，则|A|0，|B|0，又|AB|=|A|B|，所以|AB|0，于是AB 可逆，选(B)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 由(A+B) T=AT+BT=A+B，得 A+B 为对称矩阵；
7、由(A 一 1+B 一 1)T=(A一 1)T+(B 一 1)T=A 一 1+B 一 1，得 A 一 1+B 一 1 为对称矩阵；由 (kA)T=kAT=kA，得 kA为对称矩阵，选(A) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 取 显然 AB=0，故(A)、(B)都不对，取 A= 但|A|=0 且|B|=0，故(D)不对；由 AB=0 得 r(A)+r(B)n，因为 r(A)=n，所以 r(B)=0，于是 B=0，所以选(C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵P1，P 5，Q 1，Q t，使得 B=P
8、sP1AQ1，Q t，而P1，P s， Q1，Q t 都是可逆矩阵，所以 r(A)=r(B)，若|A|=0，即 r(A)n ，则 r(B)n，即|B|=0，选(C)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r1=r(B)=r(AC)r(A)=r，所以选 (C)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选(C)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r(A*)=1，所以 r(A)=4 一 1=3，选(C) 【知识模块】 线性代数9 【正确答案
9、】 D【试题解析】 因为 AB=0，所以 r(A)+r(B)n，又因为 B 是非零矩阵，所以 r(B)1，从而 r(A)n，于是|A|=0，选(D) 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 A，B 都是可逆矩阵，因为 所以，选(D)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 D【试题解析】 P 1=E12，P 2=E23(2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2 列对调，所以 B=AE23(2)E12=AP2P1，选(D)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 D【试题解析】 显然 B= =P1AP2 一 1，因为 P1 一 1=P1，所以应
10、选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 由 A 一 1BA=6A+BA，得 A 一 1B=6E+B，于是(A 一 1 一 E)B=6E，B=6(A 一 1 一 E)一 1=【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 2【试题解析】 因为|B|=100，所以 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 2【试题解析】 因为 AB=0，所以 r(A)+r(B)3，又因为 B0，所以 r(B)1，从而有r(A)2，显然 A 有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)=2【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 P 1= =E23
11、，因为 Eij 一 1=Eij，所以 Eij2=E，于是 P12009P2 一1=P1P2 一 1=【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 y 12+y22【试题解析】 A 2 一 2A=0 r(A)+r(2E 一 A)=4 A 可以对角化， 1=2， 2=0，又二次型的正惯性指数为 2，所以 1=2， 2=0 分别都是二重，所以该二次型的规范形为 y12+y22【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 |一 28|=(一 2)3|B|=一 8；【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【知识模块】 线性代数20 【正确
12、答案】 由 A2=A，B 2=B 及(A+B) 2=A+B=A2+B2+AB+BA 得 AB+BA=0 或AB=一 BA，AB= 一 BA 两边左乘 A 得 AB=一 ABA，再在 AB=一 BA 两边右乘 A得 ABA=一 BA，则 AB=BA，于是 AB=0【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由 AX=A+2X 得(A 一 2E)X=A，其中 A 一 2E=因为|A 一 2E|=一 10，所以 X=(A 一 2E)一 1A，【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由 AX+|A|E 一 A*+X 得(A 一 E)X=A*一|A|E 一 A*一 AA*=(E 一 A)A*，因为|E
13、一 A|=一 30，所以 E 一 A 可逆，于是 X=一 A*，由|A|=6 得 X=一 6A一 1，【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 |A|=4， BA 一 1=2AB+ BA 一1=2AB+E ABA 一 1=2AB+ B=2BA+E B=(E 一 2A)一 1=【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 A*BA=2BA 一 8E 得 AA*BA=2ABA 一 8A，即一 2BA=2ABA一 8A，整理得(A+E)B=4E，所以 B=4(A+E)一 1=【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 令 ，C=(a n)，则【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由 A2+2A 一 3E=0 得 A(A+2E)=3E， (A+2E)=E，根据逆矩阵的定义，有(A+2E) 一 1= 【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 由 A2+2A 一 3E=0 得(A+4E)(A 一 2E)+5E=0，则(A+4E) 一 1= (A一 2E)【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 E k 一 Ak=(EA)(E+A+A2+Ak 一 1)，又 Ek 一 Ak=E，所以(E A)一 1=E+A+A2+Ak 一 1【知识模块】 线性代数
