1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 63 及答案与解析一、填空题1 设 |A|0 且 A*的特征值为一 1，2，2，则a11+a22+a33=_2 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=一 1， 2= ， 3= ，其对应的特征向量为1， 2， 3，令 P=(23，一 31，一 2)，则 P 一 11(A 一 1+2E)P=_3 设 1， 2， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1， 2， 3 分别是属于特征值1， 2， 3 的特征向量，若 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关，则 1， 2， 3 满足_4 若 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且A1=1+2，A
2、2=2+3，A 3=3+1，则|A|=_5 设 A 为三阶实对称矩阵， 1=(a，一 a，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2=(a，1，1 一a)T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 a=_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 设向量组 1， 2， n 一 1 为 n 维线性无关的列向量组，且与非零向量 1， 2正交证明： 1， 2 线性相关7 设齐次线性方程组 其中 ab0，n2讨论 a，b 取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解？在有无穷多个解时求出其通解8 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又且 AB=0，求方程组 AX=0 的通解9
3、 a，b 取何值时，方程组 有解？10 A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明：方程组 Ax=0 与 BX=0 有公共的非零解10 设 1， 2， 3， 4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解，其中 1= r(B)=211 求方程组() 的基础解系；12 求方程组()BX=0 的基础解系；13 ( )与()是否有公共的非零解？若有公共解求出其公共解13 设14 求() ，()的基础解系；15 求() ，()的公共解16 问 a，b，c 取何值时，()，() 为同解方程组？17 证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组 ()是同解方程组18 设 的一个基础解系为写出 的
4、通解并说明理由19 设 A 是 ms 阶矩阵，B 是 sn 阶矩阵，且 r(B)=r(AB)证明：方程组 B=0 与ABX=0 是同解方程组19 设 A，B，C ，D 都是 n 阶矩阵，r(C4+DB)=n 20 证明21 设 1， 2， r 与 1， 2， s 分别为方程组 AX=0 与 BX=0 的基础解系，证明： 1， 2， r， 1， 2， s 线性无关22 设 A 为 n 阶矩阵，A 110证明：非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A*b=023 证明：r(AB)minr(A)，r(B)24 证明：r(A)=r(A TA)25 设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次
5、线性方程组 AX=b 满足 r(A)= =rn，证明：方程组 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是 n 一 r+l 个26 讨论方程组 的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b 为常数27 设 问 a，b，c 为何值时，矩阵方程AX=B 有解？有解时求出全部解28 设齐次线性方程组为正定矩阵，求a，并求当|X|= 时 XTAX 的最大值考研数学三（线性代数）模拟试卷 63 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 一 2【试题解析】 因为|A *|=|A|2=4，且|A|0，所以|A|=2，又 AA*=|A|E=2E，所以 A 一1= A*，从而 A 一 1 的特征值为 ，一 1，1，根
6、据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则 A 的特征值为一 2，一 1，1，于是 a11+a22+a33=一 2 一 1+1=一 2【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 【试题解析】 P 1(A1+2E)P=P1A1P+2E，而 P1A1P= ，所以 P1(A1+2E)P=【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 0【试题解析】 令 x11+x2A(1+2)+x2AZ(1+2+1)=0，即(x 1+1x2+1x2x3)1+(2x2+2x2x3)2+3x2x33=0，则有 x1+1x2+1x2x3=0， 2x2+2x2x3=0， 3x2x3=0，因为 x1，x 2，x 3 只能全为零，所以【知识模块】
7、线性代数4 【正确答案】 2【试题解析】 令 P=(1， 2， 3)，因为 1， 2， 3 线性无关，所以 P 可逆，由AP=(A1，A 2，A 3)=(1， 2， 3)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为AX=0 及(A+E)X=0 有非零解，所以 1=0， 2=一 1 为矩阵 A 的特征值， 1=(a，一a，1) T， 2=(，1，1 一 a)T 是它们对应的特征向量，所以有 1T2=a2=a+1 一a=0，解得 a=1【知识模块】 线性代数二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】
8、令 因为 1， 2， n 一 1 与 1， 2 正交，所以A1=0，A 2=0，即 1， 2 为方程组 AX=0 的两个非零解，因为 r(A)=n 一 1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以 1， 2 线性相关【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 =a+(n 一 1)b(a 一 b)n 一 1(1)当 ab，a(1一 n)b 时，方程组只有零解；(2)当 a=b 时，方程组的同解方程组为x1+x2+xn=0，其通解为 X=k1(一 1，1，0，0) T+k2(一 1，0，1，0)T+kn 一 1(一 1，0，0，1) T(k1，k 2，k n 一 1 为任意常数)
9、；(3)令当 a=(1 一 n)b 时，r(A)=n 一 1，显然(1，1，1) T 为方程组的一个解，故方程组的通解为 k(1，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 由 AB=0 得 r(A)+r(B)3 且 r(A)1(1)当 k9 时，因为 r(B)=2，所以 r(A)=1，方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取 B 的第 1、3 两列，故通解为 k1 (k1，k 2 为任意常数)；(2)当 k=9 时，r(B)=1，1r(A)2，当 r(A)=2 时，方程组 Ax=0 的通解为 (C 为任意常数)；当r(A)=1 时，A
10、的任意两行都成比例，不妨设 a0，由(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 (1)a1 时，r(A)= =4，唯一解为 x1= ，x 4=0；(2)a=1，b一 1 时，r(A) ，因此方程组无解；(3)a=1 ，b= 一 1 时，通解为X=k1，(1，一 2，1，0) T+k2(1，一 2，0，1) T+(一 1，1，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 方程组 =0 的解即为方程组 AX=0 与 BX=0 的公共解，因为 r(A)+r(B)n，所以方程组 =0 有非零解，故方程组 AX=0与 BX=0 有公共的非零解【
11、知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 方程组()的基础解系为 1= ， 2=【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 因为 r(B)=2，所以方程组()的基础解系含有两个线性无关的解向量， 4 一 1= ， 2+3 一 21= 为方程组( )的基础解系；【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 方程组()的通解为 k11+k22= ，方程组()的通解为令 一 k2=k2，取 k2=k，则方程组()与方程组()的公共解为 k(一 1，1，1，1) T(其中 k 为任意常数)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 A 1= 的基础解系为 1=A2=
12、的基础解系为1=【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因为()，() 同解，所以它们的增广矩阵有等价的行向量组，()的增广矩阵为阶梯阵，其行向量组线性无关， 1 可由 1， 2， 3 唯一线性表出，1=一 21+2+a3 a=1， 2 可由 1， 2， 3 唯一线性表出， 2=1+2 一 3 b=一 2， 3 可由 1， 2， 3 唯一线性表出， 3=31+2+3 c=4【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 令 =(1， 2， n)，b=方程组()可写为 AX=b，方程组()、( )可分别写为 ATY=0 及 若方程组()有解，则 r(A)=r
13、(A|b)，从而 r(AT)= ，又因为() 的解一定为 () 的解，所以()与()同解；反之，若 ()与()同解，则r(AT)= ，从而 r(A)=r(A|b)，故方程组()有解【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 令 ，则()可写为 AX=0， 其中1= ， 2= ， n= 则() 可写为 BY=0，因为 1， 2， n为()的基础解系，因此 r(A)=n， 1， 2， n 线性无关，A 1=A2 一=A n=0 A(1， 2， n)=0 ABT=0 BAT=0 1T， 2T， nT 为 B=0的一组解，而 r(B)=n， 1T， 2T， nT 线性无关，因此 1T， 2T， nT 为
14、BY=0 的一个基础解系【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 首先，方程组 BX=0 的解一定是方程组 ABX=0 的解，令 r(B)=r且 1， 2， n 一 r 是方程组 BX=0 的基础解系，现设方程组 ABX=0 有一个解 0不是方程组 BX=0 的解，即 B00，显然 1， 2， n 一 r， 0 线性无关，若1， 2， n 一 r， 0 线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k 2，k n 一 r，k 0，使得 k11+k22+kn 一 rn 一 r+k00=0，若 k0=0，则 k11+k22+kn 一 rn 一 r=0，因为 1， 2， n 一 r 线性无关，所以 k1=k
15、2=kn 一 r=0，从而 1， 2， n 一r， 0 线性无关，所以 k00，故 0 可由 1， 2， n 一 r 线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有 B0=0，矛盾，所以 1， 2， n 一 r， 0 线性无关，且为方程组 ABX=0 的解，从而 n 一 r(AB)n 一 r+1，r(AB)r 一 1，这与 r(B)=r(AB)矛盾，故方程组 B=0 与 ABX=0 同解【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为 n=r(CA+DB)=【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 =n，所以方程组 =0 只有零解，从而方程组 AX=0与 BX=0 没有非零的
16、公共解，故 1， 2， r 与 1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解，则 r(A)n，从而|A|=0，于是 A*b=A*AX=|A|X=0反之，设 A*b=0，因为 b0，所以方程组 A*X=0有非零解，从而 r(A*)n ，又 A110，所以 r(A*)=1，且 r(A)=n 一 1因为 r(A*)=1，所以方程组 A*X=0 的基础解系含有 n 一 1 个线性无关的解向量，而 A*A=0，所以 A 的列向量组 1， 2， n 为方程组 A*X=0 的一组解向量，由 A110，得2， ， n 线性无关，所以 2， n 是
17、方程组 A*X=0 的基础解系因为A*b=0，所以 b 可由 2， ， n 线性表示，也可 1， 2， n 线性表示，故 r(A)=r(A)=n 一 1n，即方程组 AX=b 有无穷多个解【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 令 r(B)=r，B=0 的基础解系含有 n 一 r 个线性无关的解向量，因为 BX=0 的解一定是 ABX=0 的解，所以 ABX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于 BX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即 n 一r(AB)n 一 r(B)，r(AB)r(B)；又因为 r(AB)T=r(AB)=r(BTAT)r(AT)=r(A)，所以r(
18、AB)minr(A)，r(B) 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 只需证明 AX=0 与 ATAX=0 为同解方程组即可若 AX0=0，则ATAX0=0反之，若 ATAX0=0，则 XOTATAX0=0 (AX0)T(AX0)=0 Ax0=0，所以AX=0 与 ATAX=0 为同解方程组，从而 r(A)=r(ATA)【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 r(A)=rn，所以齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有 n一 r 个线性无关的解向量，设为 1， 2， n 一 r 设 0 为方程组 AX=b 的一个特解， 令 0=0， 1=1+0， 2=2+0， n 一 r=n 一
19、r+0，显然0， 1， 2， n 一 r 为方程组 AX=b 的一组解 令 k00+k11+kn 一 rn 一 r=0，即 (k 0+k1+kn 一 r)0+k11+k22+kn 一 rn 一 r=0， 上式两边左乘 A 得(k 0+k1+kn一 r)b=0，因为 b 为非零列向量，所以 k0+k1+kn 一 r=0， 于是 k11+k22+kn 一rn 一 r=0，注意到 1， 2， n 一 r 线性无关，所以 k1=k2=kn 一 r=0，故0， 1， 2， n 一 r 线性无关，即方程组 AX=b 存在由 n 一 r+1 个线性无关的解向量构成的向量组，设 1， 2， n 一 r+2 为
20、方程组 AX=b 的一组线性无关解，令1=2 一 1， 2=3 一 1， n 一 r+1=n 一 r+2 一 1，根据定义，易证1， 2， n 一 r+1 线性无关，又 1， 2， n 一 r+1，为齐次线性方程组 Ax=0 的一组解，即方程组 AX=0 含有 n 一 r+1 个线性无关的解，矛盾，所以 AX=b 的任意n 一 r+2 个解向量都是线性相关的，所以 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多为n 一 r+1 个【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 =一(a+1)(b+2)(1) 当 a一 1，b一 2 时，因为 D0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得(2)当 a=一 1，b一
21、 2时， 当 b一 1 时，方程组无解当 b=一 1 时， 方程组的通解为 (k 为任意常数)(3) 当 a一 1，b=一 2 时，方程组的通解为 (k 为任意常数)当 a1 时，显然 r(A)=2 =3，方程组无解【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 令 X=(X1，X 2，X 3)，B=( 1， 2， 3)，方程组 AX=B 等价于则 AX=B 有解的充分必要条件是 r(A)=r(A|B)，由r(A)=r(A|B)得 a=1，b=2 ，c= 一 2，此时(A|B) AX1=1 的通解为 X1=k1 AX2=2 的通解为 X2=k2AX3=3 的通解为 X3=k3 则X=(X1，X 2，
22、X 3)= ，其中 k1，k 2，k 3 为任意常数【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因为方程组有非零解，所以 =a(a+1)(a 一 3)=0，即 a=一 1 或 a=0 或 a=3因为 A 是正定矩阵，所以 aij0(i=1，2，3)，所以a=3当 a=3 时，由|E 一 A|= =( 一 1)( 一 4)( 一 10)=0 得A 的特征值为 1，4，10因为 A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 Q，使得f=XTAX y12+4y22+10y3210(y12+y22+y32)而当|X|= 时，y12+y22+y32=YTY=YTQTQY=(QY)T(QY)=XTX=|X|2=2 所以当|X|= 时，X TAX 的最大值为 20(最大值 20 可以取到，如 y1=y2=0，y 3= )【知识模块】 线性代数
