1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 69 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 1， 2， 3， 1， 2 均为四维列向量，A=（ 1， 2， 3， 1），B=（ 3， 1， 2， 2），且|A|=1，|B|=2 ，则|A+B|=（ ）（A）9（B） 6（C） 3（D）12 设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必（A）ACB=E（B） CBA=E（C） BAC=E（D）BCA=E3 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则（ ）（A）当 mn，必有行列式|AB|0（B）当 mn，必有行列式|AB|=0（C）
2、当 nm，必有行列式|AB|0（D）当 nm，必有行列式|AB|=04 设 1， 2， ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是（ ）（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有 k11+k22+kss0，则 1， 2， ， s 线性无关（B）若 1， 2， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，都有 k11+k22+kss=0（C） 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D） 1， 2， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关5 已知 1， 2， 3， 4 是三维非零列向量，则下列结论 若 4 不能由 1， 2，
3、3线性表出，则 1， 2， 3 线性相关； 若 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性相关，则 1， 2， 4 也线性相关； 若 r（ 1， 1+2， 2+3）=r（ 4， 1+4， 2+4， 3+4），则 4 可以由 1， 2， 3 线性表出。 其中正确的个数是（ ）（A）0（B） 1（C） 2（D）36 设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）（A）若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解（B）若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解（C）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解（D
4、）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解7 设 A 是秩为 n1 的 n 阶矩阵， 1， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则Ax=0 的通解必定是（ ）（A） 1+2（B） k1（C） k（ 1+2）（D）k（ 12）8 三阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有（ ）（A）秩 r（A）=0（B）秩 r（A）=1（C）秩 r（A）=2（D）条件不足，不能确定9 设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则（ ）（A）AE A=EB（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 和 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tEA 与 tEB 相似1
5、0 二次型 f（x 1，x 2，x 3）=（x 1+x2） 2+（2x 1+3x2+x3） 25（x 2+x3） 2 的规范形为（ ）（A）y 12+y22+4y32（B） y22y32（C） y12y22y32（D）y 12y22+y3211 设 f=xTAx，g=x TBx 是两个 n 元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是（ ）（A）x T（A+B）x（B） xTA1x（C） xTB1x（D）x TABx二、填空题12 已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的三阶矩阵，则 D=_。13 设方阵 A 满足 A2A2E=D，并且 A 及 A+2E 都是可逆矩阵，则（A+2E） 1_。14
6、设三阶方阵 A，B 满足关系式 A1BA=6A+BA，且 A= 则B=_。15 设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A22A8E=D，则 r（4E A）+r（2E+A）=_。16 设 1=（1，2，1） T， 2=（2，3，a） T， 3=（1，a+2，一 2） T，若1=（1，3，4） T 可以由 1， 2， 3 线性表示，但是 2=（0，1，2） T 不可以由1， 2， 3 线性表示，则 a=_。17 已知方程组 总有解，则 应满足的条件是_。18 若 ，则 X=_。19 已知矩阵 A= 的特征值的和为 3，特征值的乘积是24，则b=_。20 若三维列向量 ， 满足 T=2，其中 T 为 的转
7、置，则矩阵 T 的非零特征值为_。21 设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 B=aE +ATA 是正定阵，则 a 的取值范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 计算 D2n= ，其中未写出的元素都是 0。23 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*，证明： （）若|A|=0，则 |A *|=0； （）|A*|=|A|n1。24 设向量组 1=（1，0，1） T， 2=（0，1，1） T， 3=（1，3，5） T 不能由向量组1=（1，1，1） T， 2=（1，2，3） T， 3=（3，4，a） T 线性表示。 （）求 a 的值； （）将 1， 2， 3
8、 由 1， 2， 3 线性表示。25 设有齐次线性方程组 试问 a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。26 设方程组 与方程（2）x 1+2x2 +x3=a1 有公共解，求 a 的值及所有公共解。27 已知 A= 是 n 阶矩阵，求 A 的特征值、特征向量，并求可逆矩阵 P 使 P1AP=A。28 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的三维列向量，且满足A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+33。 （ ）求矩阵 A 的特征值； （）求可逆矩阵 P 使得 P1AP=A。29 已知矩阵 A= 有特征值 =5，求 a 的值；当 a0 时，求正交矩阵Q，使 Q1AQ=A。
9、30 设方阵 A1 与 B1 合同，A 2 与 B2 合同，证明： 合同。考研数学三（线性代数）模拟试卷 69 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵加法公式，得 A+B=（ 1+3， 2+1， 3+2， 1+2），结合行列式的性质有 |A+B|=| 1+3， 2+1， 3+2， 1+2| =|21+2+3），2+1， 3+2， 1+2| =2|1+2+3， 2+1， 3+2， 1+2| =2|1+2+3， 3，1， 1+2| =2|2， 3， 1， 1+2| =2|1， 2， 3， 1+2| =2（|A|+|B|）=6
10、。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 ABC=E，可知A（BC）=E 或（AB）C=E，即 A 与 BC 以及 AB 与 C 均互为逆矩阵，从而有（BC）A=BCA=E 或 C（AB）=CAB=E 比较四个选项，应选 D。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 AB 是 m 阶方阵，且r（AB ）min r（A），r（B）minm，n，所以当 mn 时，必有 r（AB）m，从而|AB|=0 ，所以应选 B。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 对于选项 A，因为齐次线性方程组 x11+x22+xss=0 只有零解，故 1， 2
11、， s 线性无关，选项 A 正确。对于选项 B，由 1， 2， s 线性相关知，齐次线性方程组 x11+x21+xss=0 存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项 B 是错误的。选项C 是教材中的定理。由“无关组减向量仍无关”（线性无关的向量组其任意部分组均线性无关）可知选项 D 也是正确的。综上可知，应选 B。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2， 3， 4 是三维非零列向量，所以 1， 2， 3， 4 必线性相关。 若 1， 2， 3 线性无关，则 4 必能由 1， 2， 3 线性表示，可知结论正确。 令 1=
12、（1，0，0） T， 2=（0，1，0） T， 3=（0，2，0）T， 4=（0，0，1） T，则 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性相关，但1， 2， 4 线性无关，可知结论 错误。 由于 （ 1， 1+2， 2+3）（ 1， 2， 2+3）（ 1， 2， 3）， （ 4， 1+4， 2+4， 3+4）（ 4， 1， 2， 3）（ 1， 2， 3， 4）， 所以 r（ 1， 1+ 2， 2+3）=r（ 1， 2， 3），r （ 4， 1+4， 2+4， 3+4）=r（ 1， 2， 3， 4）， 则当r（ 1， 1+2， 2+3）=r（ 4， 1+4， 2+4， 3+4）时，可得
13、 r（ 1， 2， 3）=r（ 1， 2， 3， 4），因此 4 可以由 1， 2， 3 线性表示。可知结论 正确。所以选 C。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 因为不论齐次线性方程组 Ax=0 的解的情况如何，即 r（A ）=n 或r（A）n，以此均不能推得 r（A）=r（A|b），所以选项 A、B 均不正确。而由Ax=b 有无穷多个解可知，r（A）=r（A|b）n 。根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时 Ax=0 必有非零解。所以应选 D。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A 是秩为 n1 的 n 阶矩阵，所以 Ax=0 的基
14、础解系只含一个非零向量。又因为 1， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，所以 12 必为方程组 Ax=0 的一个非零解，即 1 一 2 是 Ax=0 的一个基础解系，所以 Ax=0 的通解必定是 k（ 12）。选 D。此题中其他选项不一定正确。因为通解中必有任意常数，所以选项 A 不正确；若 1=0，则选项 B 不正确；若 1=20，则 1+2=0，此时选项 C 不正确。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 考查下列矩阵 它们的特征值全是零，而秩分别为 0，1，2。所以仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的。所以应选 D。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试
15、题解析】 因为由 A 与 B 相似不能推得 A=B，所以选项 A 不正确。相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项 B 也不正确。对于选项 C，因为根据题设不能推知 A，B 是否相似于对角阵，故选项 C 也不正确。综上可知选项 D 正确。事实上，因 A 与 B 相似，故存在可逆矩阵 P，使 P 1AP=B， 于是 P 1（tEA）P=tEP 1AP=tEB， 可见对任意常数 t，矩阵 tEA 与 tEB 相似。所以应选 D。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 B【试题解析】 将二次型中的括号展开，并合并同类项可得 f（x 1，x 2，x 3）=
16、5x 12+ 5x224x32+14x1x2+4x1x34x2x3，则该二次型矩阵为可知，矩阵 A 的特征根为 12，6，0。因此该二次型的正惯性指数 p=1，负惯性指数 q=1，所以选 B。【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f 是正定二次型，A 是 n 阶正定阵，所以 A 的 n 个特征值1， 2， n 都大于零。设 APj=jPj，则 A1pj= pj，A 1 的 n 个特征值（j=1，2，n ）必都大于零，这说明 A1 为正定阵，x TA1x 为正定二定型。同理，x TB1x 为正定二次型，对任意 n 维非零列向量 x 都有 xT（A+B）x=x TAx +
17、xTBx0。这说明 xT（A+B）x 为正定二次型。由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以 xTABx 未必为正定二次型。【知识模块】 线性代数二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 根据拉普拉斯展开式【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 由 A2A2E=0，可得（A+2E ） （A 3E）=4E，于是有（A+2E） 1 （A+2E ） （ A3E）=4（A+2E） 1 因此 （A+2E） 1=【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 在等式 A1BA=6A+BA 两端右乘 A1，可得 A1B=6E+B，在该等式两端左乘 A，可得 B=6A+AB，则有（
18、EA）B=6A ，即 B=6（EA） 1A，且【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 n【试题解析】 已知 A22A8E=0，可得（4EA）（2E+A）=0，根据矩阵秩的性质可知 r（ 4EA）+r（2E+A）n， 同时 r（4E 一 A）+r（2E+A）r（4EA）+（ 2E+A）=r（6E ）=n ， 因此 r（4EA）+r（2E+A）=n 。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 1【试题解析】 根据题意， 1=（1，3，4） T 可以由 1， 2， 3 线性表示，则方程组x11+x22+x33=1 有解， 2=（0，1，2） T 不可以由 1， 2， 3 线性表示，则方程组 x11
19、+x22+x33=2 无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起作矩阵的初等变换，即因此可知，当 a=1 时，方程组 x11+x22+x33=有解，方程组x11+x22+x33=2 无解，故 a=1。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 1 且 【试题解析】 对于任意的 b1，b 2，b 3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵 A的秩为 3，即【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 其中 x2，y 2 是任意常数【试题解析】 矩阵可得线性方程组 故 x1=2x2，y 1=3y2，所以 其中 x2，y 2 是任意常数。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 3【试题解析】 阵的
20、所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，即 a+3+（1）=3，所以 a=1。又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有=5b9=24所以 b=3。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 2【试题解析】 因为 T=2，所以（ T）=（ T）=2，故 T的非零特征值为2。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 a 0【试题解析】 B T=（aE+A TA） T=aE +ATA=B，故 B 是一个对称矩阵。 B 正定的充要条件是对于任意给定的 x0，都有 x TBx=xT（aE +A TA）x=一 axTx +xTATAx=一 axTx+（Ax） TAx0， 其中（Ax） T（A
21、x）0，x Tx0，因此 a 的取值范围是a 0，即 a0。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 该行列式只有两条对角线上元素不为 0，可以按其中一行展开，找出递推关系式。=andnD2n2bncnD2n2。由此得递推公式 D2n=（a ndnbncn）D 2n2。按递推公式逐层代入得【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 （）（反证法）假设|A *|0，则有 A+（A *） 1=E。又因为AA*=|A| E，且|A|=0，故 A=AE=AA *（A *） 1=|A|E（A *） 1=0，所以 A*=0。这与|A*|0 矛盾，故当|A|=
22、0 时，有|A *|=0。 （）由于 AA*=|A|E，两端同时取行列式得 |A|A *|=|A|n 当|A|0 时，|A *|=|A|n1；当|A|=0 时， |A*|=0 综上，有|A *|=|A |n1 成立。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 （）由于 1， 2， 3 不能由 1， 2， 3 表示，且由|1， 2， 3|=10，知 1， 2， 3 线性无关，所以， 1， 2， 3 线性相关，即|1， 2， 3|= =a5=0，解得 a=5。（）本题等价于求三阶矩阵 C，使得（ 1， 2， 3）=（ 1， 2， 3）C。所以 C=（ 1， 2， 3）1 （ 1， 2， 3）=因此（
23、 1， 2， 3）=（ 1， 2， 3）【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有当a=0 时，r（A）=1 n，方程组有非零解，其同解方程组为 x1+x2+xn=0，由此得基础解系为 1=（1，1，0，0） T， 2=（ 1，0，1，0） T， n11（1，0，0，1） T，于是方程组的通解为 x=k11+kn1n1，其中k1，k n1 为任意常数。当 a0 时，对矩阵 B 作初等行变换，有当a= 时，r （A）=n1n，方程组也有非零解，其同解方程组为由此得基础解系为 =（1，2，n） T，于是方程组的通解为 x=k，其中 k 为任意常数。【知识模块
24、】 线性代数26 【正确答案】 把方程组（1）与（2）联立，得方程组则方程组（3）的解就是方程组（1）与（2）的公共解。对方程组（3）的增广矩阵作初等行变换，有因方程组（3）有解，所以（a 1）（ a2）=0。当 a=1 时， 此时方程组（3）的通解为 k（1，0，1） T（k 为任意常数），此即为方程组（1）与（2）的公共解。当 a=2 时， 此时方程组（3）有唯一解（0，1，1） T，这也是方程组（1）与（2）的公共解。【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 A 的特征多项式为=（ 2n +1）（n+1 ） n1，则 A 的特征值为 1=2n1， 2=n1，其中 2=n1 为 n1 重根
25、。当 1=2n，1 时，解齐次方程组（ 1EA）x=0，对系数矩阵作初等变换，有得到基础解系 1=（1，1，1） T。当 2=n1 时，齐次方程组（ 2EA）x=0 等价于 x1+x2+xn=0，得到基础解系 2=（1，1，0，0） T， 3=（1，0，1，0） T， n，=（1，0，0， 1） T，则 A 的特征向量是 k11和 k22+k33+knn，其中 k10，k 2，k 3，k n 不同时为零。【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 （）由已知可得 A（ 1， 2， 3）=（ 1+2+3，2 2+3，2 2+33）=（ 1， 2， 3） 记P1=（ 1， 2， 3），B= ，则有
26、AP1=P1B。由于 1， 2， 3 线性无关，即矩阵 P1 可逆，所以 P11AP1=B，因此矩阵 A 与 B 相似，则|EB|=（1） 2（ 4），矩阵 B 的特征值是 1，1，4，故矩阵 A 的特征值为 1，1，4。（）由（EB）x=0，得矩阵 B 对应于特征值 =1的特征向量 1=（1，1，0） T， 2=（2，0，1） T；由（4E B）x=0，得对应于特征值 =4 的特征向量 3=（0，1，1） T。令 P2=（ 1， 2， 3）=，得 P21P11BP2= 则 P21P11AP1P2=即当 P=P1P2=（ 1， 2， 3） =（ 1+2，21+3， 2+3）时，有 P1AP=【
27、知识模块】 线性代数29 【正确答案】 因 =5 是矩阵 A 的特征值，则由|5EA|= =3（4一 a2）=0，可得 a=+2。当 a=2 时，矩阵 A 的特征多项式矩阵 A的特征值是 1，2，5。由（EA）x=0 得基础解系 1=（0，1，1） T；由（2E A）x=0 得基础解系 2=（1，0，0） T；由（5E A）x=0 得基础解系3=（0，1，1） T。即矩阵 A 属于特征值 1，2，5 的特征向量分别是 1， 2， 3。由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化，则令 Q=（ 1， 2， 3）=【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 因为 A1 与 B1 合同，所以存在可逆矩 C1，使得 B1=CTA1C1。同理，存在可逆矩 C2，使得 B2= C2TA2C2。【知识模块】 线性代数
