1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 80 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列矩阵中，正定矩阵是（A）（B）（C）（D）2 矩阵 合同于（A）（B）（C）（D）3 设 则 A 与 B（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同也不相似4 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是（A）A，B 有相同的特征值（B） A，B 有相同的秩（C） A，B 有相同的行列式（D）A，B 有相同的正负惯性指数5 二次型 xTAx 正定的充要条件是（A）负惯性指数为零（B）存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=E（C） A 的
2、特征值全大于零（D）存在 n 阶矩阵 C，使 A=CTC二、填空题6 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a1x1+a2x2+a3x3)2 的矩阵是_7 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x22+2x1x3 的负惯性指数 q=_8 若二次型 2x12+x22+x32+2x1x2+2tx2x3 的秩为 2，则 t=_9 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+cx32+2ax1x2+2x1x3 经正交变换化为标准形y12+2y32，则 a=_。10 设三元二次型 x12+x22+5x32+2tx1x22x1x3+4x2x3 是正定二次型，则t_11 已知 矩阵 B=A+kE
3、正定，则 k 的取值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求正交变换化二次型 x12+x22+x32 一 4x1x24x2x34x1x3 为标准形13 二次型 f(x1，x 2，x 3)=5x12+5x22+cx32 一 2x1x26x2x3+6x1x3 的秩为 2，求 c 及此二次型的规范形，并写出相应的变换14 设 A 是 n 阶实对称矩阵，若对任意的 n 维列向量 恒有 TA=0，证明 A=015 若 A 是 n 阶正定矩阵，证明 A-1，A *也是正定矩阵16 设 A 是 mn 实矩阵，r(A)=n，证明 ATA 是正定矩阵17 设 A 是 n 阶正定矩阵，证明A
4、+2E2 n18 已知 是正定矩阵，证明考研数学三（线性代数）模拟试卷 80 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 正定的必要条件 aii0，可排除(A) 、(D)(B)中 2=0 与顺序主子式全大于 0 相矛盾，排除(B)故应选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵 A 的特征多项式知矩阵 A的特征值为 1，3，一 2即二次型正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=1故应选(B)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 由EA= 3 一 32，知矩阵 A 的特征值为 3，0，0 又因
5、A 是实对称矩阵，A 必能相似对角化，所以 AB 因为 A，B 有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，所以 AB故应选(A)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 是充分条件特征值一样 有相同的正、负惯性指数 合同但不是必要条件例如 ，特征值不同，但 AB(B)是必要条件由 CTAC=B，C 可逆r(A)=r(B)，但不是充分条件例如虽 r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同故 A 与曰不合同(C)既不必要也不充分例如 行列式不同但合同，又如 虽行列式相同但不合同故应选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 是正定的必要条件若 f(x
6、1，x 2，x 3)=x12+5x32，虽 q=0，但 f 不正定(B) 是充分条件正定并不要求特征值全为 1虽 不和单位矩阵 E 相似，但二次型 xTAx 正定(D)中没有矩阵 C 可逆的条件，也就推导不出 A与 E 合同，例如 ，则xTAx 不正定故应选(C)【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 f(x 1，x 2，x 3) =a12x12+a22x22+a32x32+2a1a2x1x2+2a1a3x1x3+2a2a3x2x3，二次型矩阵【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 q=1【试题解析】 令 故(I)是坐标变换，那么经此变换二次型化为 f=y22+2(y1
7、+y3)(y1 一 y3)=2y12+y22 一 2y32所以负惯性指数 q=1【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 r(f)=2，即 r(A)=2因A中有 2 阶子式，由【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 0【试题解析】 二次型及其标准形的矩阵分别是在正交变换下二次型矩阵 A 和标准形矩阵A 不仅合同，而且相似于是由【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 k0【试题解析】 由矩阵 A 的特征值为 3，0，0，知矩阵 B 的特征值为k+3，k ，k又 B 正定【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过
8、程或演算步骤。12 【正确答案】 二次型矩阵 由特征多项式得特征值为 1=2=3， 3=一 3由(3EA)x=0 得基础解系 1=(一 1，1，0) T， 2=(一 1，0，1)T，即 =3 的特征向量是 1， 2由(一 3EA)x=0 得基础解系 3=(1，1，1) T对1， 2 经 Schmidt 正交化，有单位化，得那么，令 x=Qy，其中Q=(1， 2， 3)，则有 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=yTAy=3y12+3y22 一 3y32【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 二次型矩阵 由二次型的秩为 2，即矩阵A 的秩 r(A)=2，则有A=24(c 一 3)=0 c=3
9、用配方法求规范形和所作变换=f(x 1，x 2，x 3)=5x12+5x22+3x32 一 2x1x2+6x1x36x2x3=3(x3+x1 一 x2)2 一 3(x1 一x2)2+5x12+5x22 一 2x1x2 =3(x1x2+x3)2+2x12+2x22+4x1x2=3(x1 一 x2+x3)2+2(x1+x2)2 令则 f(x1，x 2，x 3)=y12+y22，为规范二次型所作变换为【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 维向量 恒有 TA=0，那么令 1=(1，0，0，0) T，有类似地，令i=(0， 0，0，1，0，0) T(第 i 个分量为 1)，由 iTAi=aii=0
10、(i=1，2，n)令 12=(1，1，0，0) T，则有故 12=0类似可知 ij=0(i，j=1，2，n)所以 A=0【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 因 A 正定，所以 AT=A那么(A 一 1)T=(AT)一 1=A 一 1，即 A 一 1 是实对称矩阵设 A 的特征值是 1， 2， n，那么 A 一 1 的特征值是由 A 正定知 i0(i=1，2，n)因此 A 一 1 的特征值从而 A 一 1 正定A *=AA 一 1，A 0，则 A*也是实对称矩阵，并且特征值为 都大于 0从而 A*正定【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由(A TA)T=AT(AT)T=ATA，知 ATA 是实对称矩阵又 r(A)=n，恒有 A0从而 T(ATA)=(A)T(A)=A20故 ATA 正定【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 设矩阵 A 的特征值是 1， 2， n因为 A 正定，故特征值i0(i=1，2，n).又 A+2E 的特征值是 1+2， 2+2， n+2，所以 A+2E=( 1+2)(2+2)( n+2)2 n【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 令 C=C1C2，则 C 是可逆矩阵，且 CTAC=CTCTAC1C2=则 A=B由于 A 正定，故B 正定，从而 B 的顺序主子式0【知识模块】 线性代数
