1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 85 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 与矩阵 D 相似的矩阵是 【 】（A）（B）（C）（D）2 设 A，B 为同阶方阵，则 A 与 B 相似的充分条件是 【 】（A）秩(A)秩 (B)（B） AB （C） A 与 B 有相同的特征多项式（D）A、B 右相同的特征值 1， 2， n，且 1， 2， n 两两不同二、填空题3 设 1(1 ， 2，0) T 和 2(1，0，1) T 都是方阵 A 的对应于特征值 2 的特征向量，又 ( 1，2，2) T，则 A_4 设 1， 2 为 n 阶实对称矩阵 A 的两个不同特征值
2、， 1 为对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 BA 111T 有两个特征值为_ 5 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 ，则行列式( A2)-112A *E _6 设 n 阶方阵 A 的特征值为 2，4，2n，则行列式 3EA_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设 3 阶矩阵 A 的特征值为1，1，1，对应的特征向量分别为 (1，1，1)T， (1，0， 1)T，(1，2，4) T求 A1008 已知向量 (1 ，k，1) T 是矩阵 A 的逆矩阵 A-1 的特征向量，试求常数 k 的值及与 对应的特征值9 设有 4 阶方阵 A 满条件 A0，AA T2I，A0，其中 I
3、是 4 阶单位矩阵求 A 的伴随矩阵 A*的一个特征值10 设矩阵 A 与矩阵 B 相似 (1)求 a，b 的值； (2)求一个可逆矩阵P，使 P-1AP B11 设 A ，问当 k 为何值时，存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵?并求出 P 和相应的对角矩阵12 设矩阵 A ，已知 A 有 3 个线性无关的特征向量，2 是 A 的 2 重特征值试求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角形矩阵13 已知矩阵 A 与 B 相似 (1)求 与 y 的值； (2)求一个满足 P-1APB 的可逆矩阵 P14 设 为可逆方阵 A 的一个特征值，证明： (1) 为 A*-1 的特征值； (2)
4、 为A 的伴随矩阵 A*的特征值15 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 11， 22， 33，对应的特征向量依次为 1(1，1，1) T， 2(1 ，2，4) T， 3(1，3，9) T，又 (1，1，3) T (1)将向量 用 1， 2， 3 线性表出； (2)求 An(n 为正整数)16 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 11， 2 31，对应于 1 的特征向量为1(0，1，1) T，求矩阵 A17 已知 是矩阵 A 的一个特征向量 (1)试求 a，b 的值及毒所对应的特征值， (2)问 A 能否相似于对角矩阵 ?说明理由18 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后
5、将 熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟工所占百分比分别为 n 和 yn，记成向量 (1) 求 的关系式并写成矩阵形式：(2)验证 1 和 2 是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； (3)当 时，求 19 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，1，0，对应的特征向量分别为 1， 2， 3，若BA 22A3E，试求 B-1 的特征值和特征向量20 设 3 阶矩阵 A 与对角矩阵 D 相似，证明：矩阵 C(A 1E)(A 2E)(A 3E)O21 设 A 为 n 阶非零方阵，且存
6、在某正整数 m，使 AmO求 A 的特征值并证明A 不与对角矩阵相似22 下列矩阵是否相似于对角矩阵?为什么?23 已知矩阵 A(a ij)nn 的秩为 n1，求 A 的伴随矩阵 A*的特征值和特征向量。24 设 n 阶矩阵 A，B 可交换、即 ABBA，且 A 有 n 个互不相同的特征值证明：(1)A 的特征向量都是 B 的特征向量；(2)B 相似于对角矩阵25 设矩阵 ，BP -1A*P，求 B2E 的特征值和特征向量，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵26 若矩阵 A 相似于对角矩阵 A，试求常数 a 的值；并求可逆矩阵 P，使 P-1APA27 设矩阵 A 可逆，向量
7、 是矩阵 A*的一个特征向量， 是 对应的特征值，其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵试求 a、b 和 的值考研数学三（线性代数）模拟试卷 85 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 A 与对角矩阵 Ddiag(1，1，2)相似 A 的特征值为 1，1，2，且对应于特征值 1 的线性无关特征向量有两个，后一条件即 3r(EA) 2，或r(EA)1，经检验，只有 C 符合上述条件【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 在选项 D 的条件下，存在适当的可逆矩阵 P、Q ，使 P-1APdiag( 1， 2， n)Q -
8、1BQ， QP-1APQ-1B， (PQ-1)-1A(PQ-1)B，因 PQ-1 可逆，知 A 与 B 相似【知识模块】 线性代数二、填空题3 【正确答案】 (2，4，4) T【试题解析】 12 2 仍是 A 的属于特征值 2 的特征向量，故A 2(2，4，4) T【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 0， 2【试题解析】 B 1A 1 11(1T1) 11 1100 1，设 2 是 A 属于 2 的特征向量，则 B2A 2 11(1T2)A 2 110A 2 22，故 B 有特征值 0 和2【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 1620【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 (1) -1
9、135(2n3)【试题解析】 由条件知存在可逆矩阵 P，使 P-1APdiag(2，4，2n) ，故有 P-1(3EA)P 3EPAP 3Ediag(2，4，2n)diag(1，1，32n)，两端取行列式，得3EA1(1)(32n)(1) -1135(2n3)【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 因为 A 有 3 个线性无关特征向量，故 A 可相似对角化令 P，则 P 可逆， 且使 A 于是有 A100 PEP -1E 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 由 A-1，则 A，亦即 得方程组 解之即得k2，1；或 k1， 【知识模块】 线性
10、代数9 【正确答案】 由 AAT2I 取行列式得A2 416，因A0，得A4，A 有一个特征值为 ，A *有一个特征值为【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 (1)A 的特征值为 2，2，b，由22b14a ，22bA6(a1)， a5，b6； (2)P 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 由E A ( 1) 2(1)0 得 A 的全部特征值为1 21， 31故 A 可对角化 A 的属于 2 重特征值 1 21 的线性无关特征向量有 2 个 方程组(EA) 0 的基础解系含 2 个向量 3r(EA)2 r(EA) 1 k0 当 k0 时，可求出 A的对应于特征值1，1；1 的线性无关
11、 特征向量分别可取为 1(1，2，0)T， 2(1，0，2) T； 3(1，0，1) T， 故得 P ，P -1AP【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 由于 2 是 A 的 2 重特征值，故 3r(2EA)2，或 r(2EA) 1， 2， y2；由 22 31 45，得 A 的另一特征值为36 由 得属于 1 22 的线性无关特征向量 1(1，1，O)T， 2(1，0，1) T 由 6EA 得属于 36 的线性无关特征向量3(1，2，3) T， 故得【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (1)0，y1； (2)P【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由 为 A 的特征值，知存在非
12、零列向量 ，使 A，由此知O，否则 0，则有 A0， A0，这与 A 可逆矛盾，故 0用 A-1左乘 A 两端，再用 两端，得 A-1 ，由定义即知 为 A-1 的一个特征值且 为对应的特征向量因 A-1 A*，故由 A-1 ，即 A*，推出 A* ，所以， 为 A*的一个特征值且 为对应的特征向量【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (1)2 1，2 2 3； (2)Ai ii， Ani ini(i1，2，3) A nA n(212 2 3)2A n12A n2A n32 1n12 2n2 3n3 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 设 A 的属于特征值 2 31 的特征向量为 (
13、 1， 2， 3)T，则1T 2 30解得其基础解系为 2(1，0，0) T， 3(0，1，1) T，于是得 A的标准正交的特征向量 ， 故得正交矩阵 P 使得 P-1APP TAP【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)由(EA) 0 解之得 a3，b0，1 (2)A 的特征值为 1 2 3 31，对应的线性无关特征向量却只有 1 个，故 A 不能相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1) (2)11， 2【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 B(A 22A3E)1 A212A 13 1 1212 113 1( 122 13) 12 1，类似可得B26 2，B
14、 33 3，故 B 的特征值为 2，6，3，对应的线性无关特征向量分别为1， 2， 3，得 B-1 的特征值为 ，对应的特征向量分别为 k11，k 22，k 33(ki 为任意非零常数，i1，2，3)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 APDP -1， C (PDP -1 1PP-1)(PDP-1 2PP-1)(PDP-1 3PP-1) P(D 1E)P-1P(D 2E)P-1P(D 3E)P-1 P(D 1E)(D 2E)(D 3E)-1 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 1 2 n0，(OEA) 0 的基础解系最多含 n1 向量 即 n 阶方阵 A 最多有 n1 个线性无关特
15、征向量，故 A 不相似于对角阵【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)是，因该方阵只有单特征值； (2)否，因 A 的特征值为1 2 2 3 41，而对应的线性无关特征向量却只有 2 个【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 A*AAEO，知 A 的 n1 个线性无关的列向量都是方程组 A*0 的解向量，即 0 至少是 A*的 n重特征值，而上述 n1 个列向量即为对应的线性无关特征向量又由全部特征值之和等于 A*的主对角线上元素之和 A11A 22A nn，故 A*的第 n 个特征值为 Aii，由于 r(A*)1，故 A*的列成比例，不妨设(A 21，A 12，A 1n)T0，
16、则存在常数 k2，k n，使 于是有AiiA 11k 2A12k nA1n，且使 因此，(A 11，A 12，A 1n)T 为 A*的对应于特征值 Aii 的特征向量【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由于 A 有 n 个互不相同特征值，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，因此，如果(1)成立，则(2) 成立，故只需证明(1) 下证(1)：设 为 A 的特征向量，则有数 使 A，两端左乘 B，并利用ABBA，得 A(B)(B)，若 B0，则 B 亦为 A 的属于特征值 的特征向量，因方程组(E A) 0 的解空间为 1 维的，故有数 ，使 B，故 亦为 B 的特征向量；若 B0，则 B
17、0，即 为 B 的属于特征值 0 的特征向量，总之， 必为 B 的特征向量，由于 的任意性，知 A 的特征向量都是 B 的特征向量【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 B2E 的特征值为 1 29， 33 对应于特征值 9 的全部特征向量为 k1(1，1，0) Tk 2(2，0，1) T；对应于特征值 3 的全部特征向量为 k3(0，1，1) T【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 A 的特征值为 1 26， 32，由 r(6EA) 1 得 a0【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由 A 可逆知 A*可逆， 0，A 0由 A* 两端左乘A 并利用 AA*AE， 得AA， ， 比较两端对应分量，得关于a、b 和 的方程组 解之得 a2，b1，1；或 a2，b2，4【知识模块】 线性代数
