1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 99 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶非零矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，若 A3=0，则( )（A）E 一 A 不可逆，E+A 不可逆（B） EA 不可逆，E+A 可逆（C） EA 可逆，E+A 可逆（D）E 一 A 可逆，E+A 不可逆2 A 是 4 阶实对称矩阵，A 2+2A=0，r(A)=3，则 A 相似于( )（A）（B）（C）（D）二、填空题3 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，3，如果2A=一 48，则 =_4 A 是 3 阶矩阵，特征值为 1，2，2则4A -1 一 E=_5 A 是
2、 3 阶矩阵，它的特征值互不相等，并且A=0，则 r(A)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 已知 3 阶矩阵 A 满足A+E=AE=4E 一 2A=0，求A 3 一 5A27 设 =(1，2 ，一 1)T，=(一 2，1，一 2)T，A=E 一 T求A 22A+2E8 设 =(1，0 ，一 1)T，A= T，求aEA n9 计算10 已知 n 阶矩阵 A 满足 A3=E (1)证明 A22A 一 3E 可逆 (2) 证明 A2+A+2E 可逆11 设 n 阶矩阵 A 满足 A4+2A3 一 5A2+2A+5E=0证明 A 一 2E 可逆12 设 B=U 一 1A*U求
3、B+2E 的特征值和特征向量13 设 A 和 B 都是可相似对角化的 n 阶矩阵，证明 A 和 B 相似 A 和 B 的特征值完全相同14 已知 3 阶矩阵 有一个二重特征值，求 a，并讨论 A 是否相似于对角矩阵14 设 A 为 3 阶矩阵， 1,2,3 是线性的无关 3 维列向量组，满足A1=1+22+23，A 2=21+2+23，A 3=21+22+315 求 A 的特征值16 判断 A 是否相似于对角矩阵?17 求 A 的特征值判断 a，b 取什么值时 A 相似于对角矩阵?17 已知18 求 x，y19 求作可逆矩阵 U，使得 U 一 1A U=B19 20 问 k 为何值时 A 可相
4、似对角化?21 此时作可逆矩阵 U，使得 U 一 1A U 是对角矩阵21 已知 a 是一个实数22 求作可逆矩阵 U，使得 U 一 1AU 是对角矩阵23 计算AE24 设 ， 都是 n 维非零列向量，A= T证明： A 相似于对角矩阵 T024 设 A 为 3 阶矩阵， 1,2,3 是线性无关的 3 维列向量组，满足A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+3325 求作矩阵 B，使得 A(1,2,3)=(1,2,3)B26 求 A 的特征值27 求作可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP 为对角矩阵28 已知 n 阶矩阵 A 满足(AaE)(A 一 bE)=0，其中 ab，证明 A
5、可对角化29 A 是 n 阶矩阵，数 ab证明下面 3 个断言互相等价：(1)(A 一 aE)(A 一 6E)=0(2)r(AaE)+r(A 一 bE)=n(3)A 相似于对角矩阵，并且特征值满足( 一 a)( 一 b)=030 构造正交矩阵 Q使得 QTAQ 是对角矩阵30 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和都为 3，向量 1=(一 1，2，一 1)T， 2=(0，一 1，1) T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解31 求 A 的特征值和特征向量32 求作正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A33 求 A 及A 一(3 2)E 634 正交矩阵 Q 使得 QTAQ 是对角矩
6、阵，并且 Q 的第 1 列为(1， 2，1) T求 a 和 Q35 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1，2，3， 1=(一 1，一 1，1) T 和 2=(1，一2，一 1)T 分别是属于 1 和 2 的特征向量，求属于 3 的特征向量，并且求 A35 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1，2，一 2， 1=(1，一 1，1) T 是 A 的属于 1 的特征向量记 B=A5 一 4A3+E36 求 B 的特征值和特征向量37 求 B考研数学三（线性代数）模拟试卷 99 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数2 【
7、正确答案】 D【试题解析】 用排除法 由于 A2+2A=0，A 的特征值满足 2+2=0，因此只可能是0 或一 2于是和它相似的矩阵的特征值也只可能是 0 或一 2AB 中的矩阵的特征值中都有 2 因此不可能相似于 A，都可排除又 r(A)=3，和它相似的矩阵的秩也应该是 3，C 中矩阵的秩为 2，也可排除【知识模块】 线性代数二、填空题3 【正确答案】 一 1【试题解析】 2A=8A，得A=一 6又A =23得 =一 1【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 3【试题解析】 A 一 1 的特征值为 1，12，124A 一 1 一 E 的特征值为3，1，1，4A 一 1 一 E=3【知识模块】
8、 线性代数5 【正确答案】 2【试题解析】 A 的特征值互不相等，因此相似于对角矩阵，并且对角线上的元素就是 A 的特征值，为 3 个互不相等数其中有一个为 0(因为A=0)，则 r(A)=2【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 条件说明一 1，1，2 是 A 的特征值 得出 A35A 2 的 3 个特征值：记 f(x)=x35x 2，则 A35A 2 的 3 个特征值为 f(一 1) =一 6，f(1)=一 4，f(2)= 一12 A 35A 2=(一 4)(一 6)(一 12)=一 288【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 用特征值计
9、算 T=2，于是 T 的特征值为 0，0，2，从而 A 的特征值为 1，1，一 1，A 22A+2E 的特征值为 1，1，5于是A 2-2A+2E=115=5【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 利用特征值计算 T 的特征值为 0，0，2 A n 的特征值为0，0，2 n aEA n 的特征值为 g，g，a 一 2n aE An=a 2(a2n)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 记矩阵则所求为AA=B+cE ，而 于是 B 的特征值为0,0，0，ab+a 2b2+a3b3+a4b4 从而 A 的特征值为c，c，c，a 1b1+a2b2+a3b3+a4b4+c则A=c 3(a1b1+a2
10、b2+a3b3+a4b4+c)【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 通过特征值来证明，矩阵可逆的充要条件是 0 不是它的特征值 由于 A3=E，A 的特征值都满足 3=1 (1)A 2 一 2A 一 3E=(A 一 3E)(A+E)，3 和一1 都不满足 3=1，因此都不是 A 的特征值于是(A 一 3E)和(A+E)都可逆，从而A2 一 2A 一 3E 可逆 (2)设 A 的全体特征值为 1， 2， n，则 A2+A+2E 的特征值 i2+i+2，i=1 ，2，n 由于 i3=1， i 或者为 1，或者满足 i2+i+1=0于是 i2+i+2 或者为 4，或者为 1，总之都不是 0因此
11、A2+A+2E 可逆【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 由定理 51 的推论的，A 一 2E 可逆 2 不是 A 的特征值因为 A4+2A3 一 5A2+2A+5E=0，所以 A 的特征值都是方程 4+23 一52+2+5=0的根显然 2 不是这个方程的根，从而不是 A 的特征值【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 本题可先求出 B+2E(先求 A*，再求 B，再求 B+2E)，然后求它的特征值与特征向量，这样做计算量大一个简捷的解法是利用特征值与特征向量的性质来计算求特征值 A=C+E，其中 则 c 的特征值为0，0，6，从而 A 的特征值为 1，1，7A=17=7根据定理 55
12、的，A *的特征值为 7，7，1 BA *，从而 B 和 A*特征值完全一样，也是7，7，1用定理 55 的，B+2E 的特征值为 9，9，3求特征向量A *与A 的对应特征值(指 1 与 7，7 与 1)的特征向量一样， B+2E 与 B 对应特征值(指 7与 9，1 与 3)的特征向量也一样，根据定理 58 的，A *= 298U 一 1=U 一 1于是可以由 A 的特征向量来得到B+2E 的特征向量 A 的属于 1 的特征向量就是 A*的属于 7 的特征向量，用 U-1 左乘后就是 B 的属于 7 的特征向量，也就是 B+2E 的属于 9 的特征向量A 的属于 1 的特征向量，即(AE)
13、X=0 的非零解求得(AE)X=0 的基础解系 1=(1，一 1，0)T， 2=(1，0，一 1)T于是 A 的属于 1 的特征向量的为 c21+c22，c 2，c 2 不全为0求出 =U 一 11=(一 1， 1，0) T， 2=U 一 12=(1，1，一 1)T，则 B+2E 的属于 9 的特征向量为 c11+c22，c 2，c 2 不全为 0同理，A 的属于 7 的特征向量用 U 一 1 左乘后就是 B+2E 的属于 3 的特征向量求出 A 的属于 7 的特征向量(即(A 一 7E)X=0的非零解)为 c，c 不为 0，其中 =(1，1，1) T，记 =U 一 1=(0，1，1) T，则
14、 B+2E的属于 9 的特征向量为 c，c0【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 “”是相似的重要性质 “” 设 A 和 B 的特征值完全相同记全部特征值为 1， 2， n，构造对角矩阵 A，使得其对角线是的元素依次1， 2， n由于 A 和 B 都是可相似对角化，有 A 一 A，和 BA ，再从相似关系的传递性，得到 AB【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (1)求 aA 的特征多项式为要使得它有二重根，有两种可能的情况：2 是二重根，即 2 是 2 一 8+18+3a 的根，即 4 一16+1 8+3a=0，求出 a=一 2，此时三个特征值为 2， 2，6 2 是一重根，则 2
15、一8+18+3a 有二重根， 2 一 8+18+3a=(x 一 4)2，求出 a=一 23此时三个特征值为 2，4，4(2)讨论 A 是否相似于对角化矩阵 当 a=一 2 时，对二重特征值2，考察 3 一 r(A 一 2E)是否为 2 7 即 r(A 一 2E)是否为 1当 a=一23 时，对二二重特征值 4，考察 3 一 r(A 一 4E)是否为 2?即 r(A 一 4E)是否为 1【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 用矩阵分解：A( 1， 2， 3)=(1+22+23，2 1+2+23，2 1+22+3)=(1， 2， 3)B，这里 从1,2,3 线性无关的条件
16、知道，( 1,2,3)是可逆矩阵于是 A 相似于 B的秩为 1，其特征值为 0，0，6得B 的征值为一 1，一 1，5则 A 的征值也为一 1，一 1，5【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 B 是实对称矩阵，一定相似于对角矩阵，由相似的传递性，A 也相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 A 的特征值 0，5，b如果 b0 和 5，则 A 的特征值两两不同，A 相似于对角矩阵如果 b=0，则 A 的特征值 0，0，5此时 A 相似于对角矩阵 特征值 0 的重数 2=3 一 r(A) r(A)=1 a=0于是 a=0 且 b=0 时 A 相似于对角矩阵；a0 且 b=0 时
17、 A 不相似于对角矩阵；如果 b=5，则 A 的特征值0，5，5此时 而 r(A 一 5E)=2，特征值 5 的重数 23 一 r(A一 5E)，A 不相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 A 与 B 相似，从而有相同的特征值 2，2，y2 是二重特征值，于是 A 与 B 相似从而 tr(A)=tr(B)，于是 1+4+5=2+2+y得 y=6【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 求属于 2 的两个线性无关的特征向量：即求(A 一 2E)X=0 的基础解系： 得(A 一 2E)X=0 的同解方程组x1=一 x2+x3，得基础解系 1=(1，一 1，0
18、) T， 2=(1，0，1) T求属于 6 的一个特征向量：即求(A 一 6E)X=0 的一个非零解：得(A 一 6E)X=0 的同解方程组得解 3=(1，一 2，3) T令 U=(1， 2， 3)，则【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 求 A 的特征值：于是 A 的特征值为 1(一重)和一 1(二重 )要使 A 可对角化，只需看特征值一 1要满足 3 一 r(a+E)=2，即r(A+E)=1， 得 k=0，【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 求属于一 1 的两个线性无关的特征向量，即求(A+E)X=0 的基础解系： 得(A+E)X=0 的同解方程组 2x1+
19、x2 一x3=0 得基础解系 1=(1，0，2) T， 2=(0，1，1) T求属于 1 的一个特征向量，即求(AE)X=0 的一个非零解： 得(A E)X=0的同解方程组 得解 3=(1，0，1) T令 U=(1， 2， 3)，则【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 先求 A 的特征值A 的特征值为a+1(二重)和 a2(一重)求属于 a+1 的两个线性无关的特征向量，即求A 一(a+1)EX=0 的基础解系： 得A 一(a+1)EX=0 的同解方程组 x1=x2+x3，得基础解系 1=(1，1，0) T， 2=(1，0，1)T求属于 a 一 2 的一个特征向量，即
20、求A 一(a 一 2)EX=0 的一个非零解：得A 一(a 一 2)EX=0 的同解方程组 得解 3=(一 1，1，1) T令 U=(1， 2， 3)，则【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 AE 的特征值为 a(二重)和 a 一 3，于是A E=a(a3)【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 A 的特征值为 0，0，0， T 由相似对角化的判别法则二，只用对重数大于 1 的特征值 0，检查其重数是否等于 nr(A0E)=n 一 r(A)=n1 当 T=0 时，0 的重数是 n，A 不能相似对角化 当 T0 时，0 的重数是 n1，A 可相似对角化【知识模块】 线性代数【知识模块】 线
21、性代数25 【正确答案】 已经用矩阵分解求出【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由于 1,2,3 线性无关，( 1,2,3)是可逆矩阵，并且( 1,2,3)一1A(1,2,3)=B，因此 A 和 B 相似，特征值相同B 的特征值为 1，1，4A 的特征值也为 1，1，4【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 先把 B 对角化求出 B 的属于 1 的两个无关的特征向量(1，一1，0) T，(0 ，2，一 1)T；求出 B 的属于 4 的一个特征向量(0，1，1) T构造矩阵令 P=(1， 2， 3)D=(1 一 2，2 2 一 3， 2+3)，则【知识模块】 线性代数28 【正确答案】
22、首先证明 A 的特征值只能是 a 或 b 设 A 是 A 的特征值，则(a)( 一 b)=0，即 =a 或 =b 如果 6 不是 A 的特征值，则 A 一 6E 可逆，于是由(A 一 aE)(A 一 bE)=0 推出 AaE=0，即 A=aE 是对角矩阵 如果 b 是 A 的特征值，则A 一 bE=0设 1， 2， t 是齐次方程组(A 一 6E)X=0 的一个基础解系(这里 t=n 一 r(A 一 bE)，它们都是属于 b 的特征向量取 A 一 bE 的列向量组的一个最大无关组 1， 2， k，这里 k=r(A 一 6E)则 1， 2， k 是属于 a 的一组特征向量则有 A 的 k+t=n
23、 个线性无关的特征向量组1， 2， ， k； 1， 2， t，因此 A 可对角化【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 不妨设 a 和 b 都是 A 的特征值(因为如果 a 不是 A 的特征值，则 3 个断言都推出 A=bE如果 b 不是 A 的特征值，则 3 个断言都推出 A=aE) (1)(2) 用关于矩阵的秩的性质，由(A 一 aE)(A 一 bE)=0得到： r(A 一 aE)+r(A 一bE)n， r(A 一 aE)+r(A 一 bE)r(A 一 aE)一(A 一 bE)=r(b 一 a)E)=n， 从而 r(A一 aE)+r(A 一 bE)=n (2)(3) 记 ka，k b 分
24、别是 a， b 的重数，则有 k anr(A 一aE) kbn 一 r(A 一 bk) 两式相加得 nka+kbnr(A 一 aE)+nr(A 一 bE)=n，于是其中“”都为”=”，从而 和都是等式，并且 ka+kb=n k a+kb=n，说明 A 的特征值只有 a 和 b，它们都满足 ( 一 a)( 一 b)=0 和都是等式，说明 A 相似于对角矩阵 (3)(1) 4 的特征值满足 ( 一 a)( 一 b)=0，说明 A 的特征值只有 cz和 6设 B 是和 A 相似的对角矩阵，则它的对角线上的元素都是 a 或 b，于是(B一 aE)(B 一 bE)=0而(A 一 aE)(A 一 bE)相
25、似于(B 一 aE)(B 一 bE)，因此(AaE)(A一 bE)=0【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 (1)先求特征值A 的特征值为0，2，6再求单位正交特征向量组属于 0 的特征向量是齐次方程组 AX=0 的非零解， 得 AX=0 的同解方程组 求得一个非零解为(1 ，1，一 1)T，单位化得 属于 2 的特征向量是齐次方程组(A 一 2E)X=0 的非零解， 得 AX=0 的同解方程组 求得一个非零解为(1，一 1，0) T，单位化得属于 6 的特征向量是齐次方程组(A 一 6E)X=0 的非零解，得 AX=0 的同解方程组 求得一个非零解为(1，1，2) T，单位化得 作正交矩
26、阵Q=(1， 2， 3)，则 QTAQ=Q 一 1AQ= (2)先求特征值A 的特征值为1，1，10再求单位正交特征向量组属于 1 的特征向量是齐次方程组(AE)X=0的非零解， 得(AE)X=0 的同解方程组 x1+2x22x4=0，显然 1=(0，1，1) T 是一个解第 2 个解取为 2=(c，一 1，1)T(保证了与 1 的正交性!)，代入方程求出 c=4，即 2=(4，一 1，1) T再求出属于 10 的特征向量是齐次方程组(A 一 10E)X=0 的非零解(1，2，一 2)T，令3=3 3=(1，2，一 2)T3作正交矩阵 Q=(1， 2， 3)则【知识模块】 线性代数【知识模块】
27、 线性代数31 【正确答案】 条件说明 A(1，1，1) T=(3，3，3) T，即 0(1，1，1) T 是 A 的特征向量，特征值为 3又 1， 2 都是 AX=0 的解说明它们也都是 A 的特征向量，特征值为 0由于 1， 2 线性无关，特征值 0 的重数大于 1于是 A 的特征值为3，0，0 属于 3 的特征向量：c 0，c0 属于 0 的特征向量：c 11+c22 c1，c 2 不都为 0【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 将 0 单位化，得 对 1， 2 作施密特正交化，得 作 Q=(0， 1， 2)，则 Q 是正交矩阵，并且【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 建立矩阵
28、方程 A(0， 1， 2)=(30，0，0)，用初等变换法求解：得 由 得 于是A 一(32)E 6=(32) 6E【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 Q -1AQ=QTAQ 是对角矩阵，说明 Q 的列向量都是 A 的特征向量，于是(1 ，2，1) T 也是 A 的特征向量 (1，2，1) T 和(2，5+a，4+2a) T 相关，得 a=一 1，并且(1，2，1) T 的特征值为 2A 的特征值为2，5，一 4下面来求它们的单位特征向量 是属于 2 的单位特征向量 则(1，一 1，1) T 是属于 5 的特征向量，单位化得则(1，0，一 1)T 是属于一 4 的特征向量，单位化得 则
29、Q=(1， 2， 3)，(不是唯一解，例如( 1， 3， 2)，(1，一 2，一 3)，( 1，一 3，一 2)等也都适合要求)【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 属于 3 的特征向量和 1， 2 都正交，从而是齐次方程组的非零解解此方程组，得 4=(1，0，1) T 构成它的一个基础解系于是属于 3 的特征向量应为(k，0，k) Tk0建立矩阵方程A(1， 2， 3)=(1，2 2，3 3)，用初等变换法解得【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 记 f(x)=x5 一 4x3+1，则 B 的特征值为 f(1)=一 2，f(2)=1，f(一 2)=1 1=(1，一 1，1) T 是 A 的属于 1 的特征向量，则它也是 B 的特征向量，特征值一 2 B 的属于一 2 的特征向量为 c1，c0 B 也是实对称矩阵，因此 B 的属于特征值 1 的特征向量是与 1 正交的非零向量，即是 x1 一 x2+x3=0 的非零解求出此方程的基础解系 2=(1，1，0) T， 3=(0，1，1) T，B 的属于特征值 1 的特征向量为 c12+c23，c 1，c 2 不全为 0【知识模块】 线性代数37 【正确答案】 B( 1， 2， 3)=(一 21， 2， 3)解此矩阵方程得【知识模块】 线性代数
