1、考研数学二（一元函数微分学及应用）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=a 处可导，则 等于( )（A）f(a)（B） 2f(a)（C） 0（D）f(2a)2 F(x)=cosxsin2x在(0，2x)内( )（A）有一个不可导点（B）有两个不可导点（C）有三个不可导点（D）可导3 设 f(x)= 则 f(x)在 x=1 处( )（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导4 设 f(x)可导，且 F(x)=f(x)(1+sinx)在 x=0 处可导，则 ( )（A）f(0)=0（B） f(0)=0
2、（C） f(0)=f(0)（D）f(0)=-f(0)5 曲线 上 t=1 对应的点处的曲率半径为( )6 下列曲线有斜渐近线的是( )（A）y=x+sin（B） y-x2+sinx（C） y=sin（D）y=x 2+sin2x二、填空题7 设 f(x)= 可导，则 a=_，b=_8 的斜渐近线为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 f(x)=3x2+x2x，求使得 f(n)(0)存在的最高阶数 n10 设函数 y=y(x)可导并满足 y+(x-1)y+xy2=ex，且 y(0)=1，若 =a，求 a11 设 f(x)是以 4 为周期的可导函数，f(1)= ，求 y=f(x
3、)在(5，f(5)处的法线方程12 设 y=f(x)与 y=sinx 在原点相切，求13 设 f(x)在(-，+) 有定义，f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f(0)=a，求 f(x)14 设 f(x)可导，y=f(cos 2x)，当 x= 处取增量x=-02 时，Ay 的线性部分为02，求15 设 y=xsin2x，求 y16 设 y= ，求 y17 设 y=x(sinx)cosx，求 dy18 设函数 y=y(x)由 2xy=x+y 确定，求 dy x=019 设函数 y=y(x)由 x+y=tany 确定，求 dy20 设 y=y(x)由 ln(x2+y)=x3y+sinx 确定
4、，求21 求 2y-x=(x-y)ln(x-y)确定的函数 y=y(x)的微分 dy22 设由 sinxy+ln(y-x)=x 确定函数 y=y(x)，求 y(0)23 设由 e-y+x(y-x)=1+x 确定 y=y(x)，求 y(0)24 设 y=y(x)由25 设 siny+xey=0，当 y=0 时，求26 设 y=y(x)由27 设 x=x(t)由 确定，(0)=(0)=1 且 (u)0 为可导函数，求 x(0)28 证明：曲线 上任一点的切线的横截距与纵截距之和为 2考研数学二（一元函数微分学及应用）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要
5、求。1 【正确答案】 B【试题解析】 应选(B) 【知识模块】 一元函数微分学及应用2 【正确答案】 D【试题解析】 当 x= 时，F(x)=0同理 =0，故 F(x)=cosxsin2x在(0，2)内可导，应选(D).【知识模块】 一元函数微分学及应用3 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(1-0)=f(1)=1，f(1+0)=1 得 f(x)在 x=1 处极限存在且连续因为 f-(1)=f+(1)=2，所以 f(1)=2，应选(D) 【知识模块】 一元函数微分学及应用4 【正确答案】 A【试题解析】 F(0)=f(0) ，因为 F(x)在 x=0 处可导，所以 F-(0)=F+(0)，于
6、是 f(0)=0，故应选(A)【知识模块】 一元函数微分学及应用5 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学及应用6 【正确答案】 A【试题解析】 由 =0 得曲线 y=x+sin有斜渐近线 y=x，应选(A)【知识模块】 一元函数微分学及应用二、填空题7 【正确答案】 a=3，b=-2【试题解析】 f(1-0)=f(1)=a+b，f(1+0)=1，因为 f(x)在 x=1 处连续，所以 a+b=1；因为 f(x)在 x=1 处可导，所以 a=3，故 a=3，b=-2 【知识模块】 一元函数微分学及应用8 【正确答案】 y=-x-2 及 y=x+2【试题解析】 y=x+2 为
7、曲线的另一条斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 f(x)= 由得 f+(0)=0，从而 f(0)=0，于是 f(x)= 由得 f+(0)=6，从而 f(0)=6，于是 f(x)= 由=6 得 f+(0)=6，因为 f-(0)f+(0)，所以 f(0)不存在，故 f(n)(0)存在的最高阶数为 n=2【知识模块】 一元函数微分学及应用10 【正确答案】 由 =a 得 y(0)=0，=a 得y(0)=2a，将 y(0)=0，y(0)=1 代入原方程得 y(0)=2，故 a=1【知识模块】 一元函数微分学及应用11 【正确答案
8、】 由因为 f(x)以 4 为周期，所以 f(5)=f(1)= ，f(5)=f(1)=-2，故 y=f(x)在(5，f(5) 的法线方程为【知识模块】 一元函数微分学及应用12 【正确答案】 由题意得 f(0)=0，f(0)=cosx =0=1，【知识模块】 一元函数微分学及应用13 【正确答案】 令 x=0，y=0 得 f(0)=0由 f(x)=2x+f(0)=2x+a 得 f(x)=x2+ax+C，由f(0)=0 得 C=0，故 f(x)=x2+ax【知识模块】 一元函数微分学及应用14 【正确答案】 y=f(cos 2x)(-sin2x)，【知识模块】 一元函数微分学及应用15 【正确答
9、案】 y=e sin2xlnx，y= sin2x(2cos2xlnx+【知识模块】 一元函数微分学及应用16 【正确答案】 lny= ln(x2+1)-ln(1-x)，两边对 x 求导得【知识模块】 一元函数微分学及应用17 【正确答案】 lny=lnx+cosxlnsinx，两边微分得【知识模块】 一元函数微分学及应用18 【正确答案】 当 x=0 时，y=1 2 xy=x+y 两边关于 x 求导得将 x=0，y=1 代入得 =ln2-1，故dy x=0=(ln2-1)dx【知识模块】 一元函数微分学及应用19 【正确答案】 x+y=tany 两边关于 x 求导得【知识模块】 一元函数微分学
10、及应用20 【正确答案】 x=0 代入得 y=1，ln(x 2+y)=x3y+sinx 两边关于 x 求导得=3x2y+x3y+cosx，将 x=0，y=1 代入得【知识模块】 一元函数微分学及应用21 【正确答案】 2y-x=(x-y)ln(x-y)关于 x 求导得【知识模块】 一元函数微分学及应用22 【正确答案】 x=0 时，y=1 ，sinxy+ln(y-x)=x 两边对 x 求导得将 x=0，y=1 代入得 =1，即 y(0)=1【知识模块】 一元函数微分学及应用23 【正确答案】 x=0 时，y=0 e y+x(y-x)=1+x 两边关于 x 求导得 -e -yy+y-x+x(y-
11、1)=1，则 y(0)=-1； -e -y+y-x+x(y-1)=1 两边关于 x 求导得 e-y(y)2-e-yy+2(y-1)+xy=0，代入得 y(0)=-3【知识模块】 一元函数微分学及应用24 【正确答案】 x=0 时，y=1 两边关于 x 求导得【知识模块】 一元函数微分学及应用25 【正确答案】 y=0 时，x=0 siny+xe y=0 两边关于 x 求导得【知识模块】 一元函数微分学及应用26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学及应用27 【正确答案】 t=0 时， x(0)=0 两边关于 t 求导得 cost-x(t)x(t)+(t)=0，取 t=0 得 x(0)=2；两边再关于 t 求导可得-sint-x(f)x(t) 2-x(t)x“(t)+(t)=0，取 t=0 得 x(0)=-3【知识模块】 一元函数微分学及应用28 【正确答案】 两边关于 x 求导得【知识模块】 一元函数微分学及应用
