1、考研数学二（一元函数微分学及应用）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)0，又y=f(x+x)-f(x)，则当x0 时有( )（A）ydy0（B） ydy0（C） dyy0（D）dyy02 设 f(x)在(-，+) 上连续，F(x)= f(t)dt，则下列命题错误的是( )（A）若 f(x)为偶函数，则 F(x)为奇函数（B）若 f(x)为奇函数，则 F(x)为偶函数（C）若 f(x)为以 T 为周期的偶函数，则 F(x)为以 T 为周期的奇函数（D）若 f(x)为以 T 为周期的奇函数，则 F
2、(x)为以 T 为周期的偶函数3 设 f(x)为连续的奇函数，且 =0，则( )（A）x=0 为 f(x)的极小点（B） x=0 为 f(x)的极大点（C）曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线平行于 x 轴（D）曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线不平行于 z 轴4 设偶函数 f(x)有连续的二阶导数，并且 f(0)0，则 x=0( )（A）不是函数的驻点（B）一定是函数的极值点（C）一定不是函数的极值点（D）不能确定是否是函数的极值点二、填空题5 设函数 y=y(x)由 e2x+y-cosxy=e-1 确定，则曲线 y=y(x)在 x=0 对应点处的法线方程为_6 椭圆 2x2+y2=3
3、 在点(1 ，-1)处的切线方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设 f(x)在 上二阶连续可导，且 f(0)=0，证明：存在 ，8 若函数 f(x)在0，1上二阶可微，且 f(0)=f(1)，f(x)1，证明：f(x)在0 ，1 上成立9 设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明： 在(0，1)内有且仅有一个实根10 证明：方程 xa=Inx(a0)在(0，+) 内有且仅有一个根11 设 fn(x)= ，证明：对任意自然数n，方程 fn(x)= 内有且仅有一个根12 设 f(x)在0，1上连续、单调减少且 f(x)0，证明：存在 c(0，1)，使得 f(x)d
4、x=(1-c)f(c)13 求在 x=1 时有极大值 6，在 x=3 时有极小值 2 的三次多项式14 求函数 f(x)= (2-t)e-tdt 的最小值和最大值15 设 f(x)为-2 ，2 上连续的偶函数，且 f(x)0，F(x)= x-tf(t)dt，求 F(x)在-2，2上的最小点16 求函数 f(x)= 在0，2上的最大和最小值17 f(x，y)=x 3+y3-3xy 的极小值17 设 y=f(x)=18 讨论 f(x)在 x=0 处的连续性；19 f(x)在何处取得极值?20 设 f(x)= 求 f(x)的极值21 设 g(x)在 Ea，b 上连续，且 f(x)在a ，b上满足 f
5、(x)+g(x)f(x)f(x)=0 ，又 f(a)=f(b)=0，证明： f(x)在a， b上恒为零22 求函数 y= 的单调区间与极值，并求该曲线的渐近线23 设 y=y(x)由 x2y2+y=1(y0)确定，求函数 y=y(x)的极值24 求 f(x)= x-tdt 在0，1上的最大值、最小值25 当 x0 时，证明：26 当 x0 时，证明：27 证明：当 0x1 时，28 设 0a b29 求 y= 的渐近线考研数学二（一元函数微分学及应用）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 y=f(x+x)-f(x
6、)=f(c) x(xcx+ x)，由 f(x)0，f(x)0 得f(c)xf(x)x0，即ydy0，应选(A)【知识模块】 一元函数微分学及应用2 【正确答案】 C【试题解析】 取 f(x)=1-cosx，f(x)是以 2 为周期的偶函数，而 F(x)= (1-cost)dt=x-sinx，F(x)不是以 2 为周期的奇函数，应选(C)【知识模块】 一元函数微分学及应用3 【正确答案】 C【试题解析】 由 =0 得 f(0)=0，f(0)=0，则曲线 y=f(x)在 x=0 的切线平行于 x 轴，应选(C) 【知识模块】 一元函数微分学及应用4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)为偶
7、函数，所以 f(x)为奇函数，从而 f(0)=0因为 f(0)=0，而 f(0)0，所以 x=0 一定是 f(x)的极值点，应选(B)【知识模块】 一元函数微分学及应用二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 当 x=0 时，y=1，e 2x+y-cosxy=e-1 两边对 x 求导得将 x=0，y=1 代入得 =-2故所求法线方程为 y-1=【知识模块】 一元函数微分学及应用6 【正确答案】 y=2x-3【试题解析】 2x 2+y2=3 两边对 x 求导得 4x+2yy=0，即 所求的切线方程为 y+1=2(x-1)，即 y=2x-3【知识模块】 一元函数微分学及应用三、解答题解答应写出文字
8、说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 令 F(x)=-cos2x，F(x)=2sin2x0(0x )，由柯西中值定理，存在(0， )，使得由拉格朗日中值定理，存在 (0， )，使得 再由拉格朗日中值定理，存在 (0， )，使得 f()=f()-f(0)=f()，故【知识模块】 一元函数微分学及应用8 【正确答案】 由泰勒公式得 f(0)=f(x)+f(x)(0-x)+ (0-x)2，其中 介于 0 与 x之间；f(1)=f(x)+f(x)(1-x)+ (1-x)2，其中 介于 1 与 x 之间，两式相减得 f(x)=从而 x2+(1-x)2，由 x2x，(1-x) 21-x 得 x2+(
9、1-x)21，故f(x) 1【知识模块】 一元函数微分学及应用9 【正确答案】 令 (x)=2x- (0)=-1，(1)= 由 f(x)1得 由零点定理，存在 c(0，1)，使得 (C)=0，即方程 至少有一个实根因为 (x)=2-f(x)0，所以(x)在0，1上严格递增，故 =1 在(0 ，1)内有且仅有一个实根【知识模块】 一元函数微分学及应用10 【正确答案】 令 f(x)=x4-lnx，f(x)在(0，+)连续，因为 f(1)=10， =-，所以 f(x)在(0，+)内至少有一个零点，即方程 xa=lnx 在(0，+)内至少有一个根因为 f(x)=axa-1- 0，所以 f(x)在(0
10、，+) 内严格递减，故 f(x)在(0，+)内有且仅有一个零点，从而方程 xa=lnx 在(0，+) 内有且仅有一个根【知识模块】 一元函数微分学及应用11 【正确答案】 由 fn(x)= 得 fn(x)=1-(1-cosx)n，令 g(x)=fn(x)-由零点定理，存在c(0， )，使得 g(c)=0，即方程 fn(x)= 内至少要有一个根因为 g(x)=-n(1-cosx)n-1.sinx0(0x )，所以 g(x)在(0， )内有唯一的零点，从而方程 fn(x)= 内有唯一根【知识模块】 一元函数微分学及应用12 【正确答案】 令 (x)=(x-1) 因为 (0)=(1)=0，所以存在
11、c(0，1)，使得 (c)=0，而 (x)= f(t)dt+(x-1)f(x)，于是 =(1-c)f(c)【知识模块】 一元函数微分学及应用13 【正确答案】 令 f(x)=ax+bx2+cx+d，由 f(1)=6， f(1)=0，f(3)=2 ，f(3)=0 得解得 a=1，b=-6，c=9，d=2，所求的多项式为 x3-6x2+9x+2【知识模块】 一元函数微分学及应用14 【正确答案】 显然 f(x)为偶函数，只研究 f(x)在0 ，+) 上的最小值和最大值令 f(x)=2x(2-x2) 当 0x 时，f(x)0；当 x 时，f(x)0，x= 为最大点，最大值 M= f(0)=0，=2-
12、1=10，故 f(x)的最小值为 m=0，最大值 M=【知识模块】 一元函数微分学及应用15 【正确答案】 因为 f(x)0，所以 F(x)=0 得 x=0，又因为 F(x)=2f(x)，F(0)=2f(0)0，所以 x=0为 F(x)在(-2， 2)内唯一的极小点，也为最小点【知识模块】 一元函数微分学及应用16 【正确答案】 由故 f(x)在0， 2上最大值为 0，最小值为【知识模块】 一元函数微分学及应用17 【正确答案】 由 得(x，y)=(0，0)，(x ，y)=(1，1) f xx=6x，f xy=3，f yy=6y，当(x，y)=(0，0)时，A=0，B=-3，C=0，因为AC-
13、B20，所以(0，0)不是极值点；当(x，y)=(1，1)时，A=6，B=-3，C=6，因为AC-B20 且 A0，所以(1 ，1) 为极小点，极小值为 f(1，1)=-1 【知识模块】 一元函数微分学及应用【知识模块】 一元函数微分学及应用18 【正确答案】 f(0+0)= f(0)=f(0-0)=1，由 f(0)=f(0-0)=f(0+0)=1 得 f(x)在 x=0 处连续【知识模块】 一元函数微分学及应用19 【正确答案】 当 x0 时，由 f(x)=2x2x(1+lnx)=0 得 x= ；当 x0 时，f(x)=10当 x 0 时，f(x)0；当 0x 时，f(x)0；当 x 时，f
14、(x)0，则x=0 为极大点，极大值为 f(0)=1；x= 为极小点，极小值为【知识模块】 一元函数微分学及应用20 【正确答案】 因为 f-(0)f+(0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导于是 f(x)= 令f(x)=0 得 x=-1，x= 当 x-1 时，f(x)0；当-1 x0 时，f(x)0；当 0x时，f(x)0；当 x 时，f(x) 0，故 x=-1 为极小点，极小值为 f(-1)=1-；x=0 为极大点，极大值为 f(0)=1；x= 为极小点，极小值为【知识模块】 一元函数微分学及应用21 【正确答案】 设 f(x)在区间a ，b上不恒为零，不妨设存在 x0(a，b)，使得f
15、(x0)0，则 f(x)在(a，b) 内取到最大值，即存在 c(a，b)，使得 f(c)=M0，且f(c)=0，代入得 f(c)=f(c)=M0，则 x=c 为极小点，矛盾，即 f(x)0，同理可证明f(x)0，故 f(x)0(axb)【知识模块】 一元函数微分学及应用22 【正确答案】 由得 x=-1，x=0当x-1 时， y 0；当-1x 0 时，y 0；当 x0 时，y0，y=(x-1) 的单调增区间为(-，-1 (0，+) ，单调减区间为-1， 0，x=-1 为极大值点，极大值为y(-1)= ；x=0 的极小值点，极小值为 y(0)= 因为 =，所以曲线没有水平渐近线；又因为 y= 为
16、连续函数，所以 y=没有铅直渐近线；由得 y=x-2 为曲线的斜渐近线；再由【知识模块】 一元函数微分学及应用23 【正确答案】 x 2y2+y=1 两边关于 x 求导得 2xy2+2x2yy+y=0，解得 y=由 =0 得 x=0，2xy 2+2x2yy+y=0 两边对 x 求导得2y2+8xyy+2x2y2+2x2yy+y=0，将 x=0，y=1，y(0)-0 代入得 y(0)=-20，故 x=0为函数 y=y(x)的极大点，极大值为 y(0)=1.【知识模块】 一元函数微分学及应用24 【正确答案】 由 f(x)=2x-x1=0 得 x= 因为 f(0)= 所以 f(x)在0，1上的最大
17、值为【知识模块】 一元函数微分学及应用25 【正确答案】 方法一 方法二令 f(t)=lnt，f(t)= ，由拉格朗日中值定理得【知识模块】 一元函数微分学及应用26 【正确答案】 令 f(x)= 令 f(x)=(x-x2)sin2nx=0 得x=1，x=k(k=1，2，) ，因为当 0x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0，所以x=1 时， f(x)取最大值，M=f(1)=【知识模块】 一元函数微分学及应用27 【正确答案】 等价于-2xln(1-x)-ln(1+x) ，令 f(x)=ln(1+x)-In(1-x)-2x，f(0)=0，【知识模块】 一元函数微分学及应用28 【正确答案】 令 f(x)= 因为sinx x(0x )且 cosx1，所以 f(x)0(0x )，即 f(x)在(0， )内单调递增，从而当 0a b 时，f(a)f(b)，即【知识模块】 一元函数微分学及应用29 【正确答案】 由 得 x=-1 与 x=1 为 y= 的铅直渐近线；由 没有水平渐近线；由的斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学及应用
