1、考研数学二（一元函数微分学及应用）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f()可导，则下列结论正确的是( )（A）若 f()，则 f()（B）若 f()，则 f()（C）若 f()0，则 f()0（D）若 f()0，则 f()02 若曲线 y 2ab 与曲线 2y1y 2 在(1，1)处相切，则( )（A）a3， b1（B） a1，b3（C） a1，b1（D）a1， b13 设 f()满足 f()f 2()2，且 f(0)0，则( )（A）0 为 f()的极大值点（B） 0 为 f()的极小值点（C） (0，f(0)为曲线 y f()的
2、拐点（D）0 既非 f()的极值点，(0，f(0)也非 yf()的拐点4 若函数 f( )f()() ，在( ，0)内 f()0 且 f()0，则在(0， )内有( )（A）f() 0，f ()0（B） f()0，f()0（C） f()0，f()0（D）f() 0，f ()05 设 f()二阶可导，且 f()0，f () 0，又yf() f()，则当0 时有( )（A）ydy0（B） ydy0（C） dyy0（D）dyy0二、填空题6 函数 y2 的极小值点为_7 函数 y 2cos 在0 ， 上的最大值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设 0t ds，y 0tsin(
3、ts) 2ds，求 9 求 对应 r1cos 上点处的切线10 设 yy()由 确定，求11 设 f() ，其中 g() 0cos(1sin 2t)dt，求 f( )12 设 ye sin，求 y(n)13 设 y ，求 y(n)14 设 y ，求 y(n)15 f() 4ln(1)，当 n 4 时，求 f(n)(0)16 设 y 2ln(12)，求 y(5)17 设 f() ，求(0，2)内使得 f(2)f(0)2f() 成立的18 设 f()在0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)f(1) f(2)3，f(3)1，证明：存在 (0，3)，使得 f()019 设 f()在a，b上连续
4、，在(a ，b)内可导(a0)且 f(a)0，证明：存在 (a，b)，使得 f() f()20 设 f()在0，上连续，在 (0，) 内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得f() f()cot21 设 f()在a，a上连续，在 (a，a)内可导，且 f(a)f(a)(a 0)，证明：存在 ( a，a)，使得 f()2f() 22 设函数 f()在0 ，1上可微，且满足 f(1) 0f()d(0 1)，证明：存在(0， 1)，使得 f() 23 设 f()在0，1上有二阶导数，且 f(1)f(0) f(1)f(0)0，证明：存在(0， 1)，使 f() f()24 设 f()在a，b上连续可
5、导，f()在(a，b)内二阶可导，f(a)f(b)0， abf()d0，证明： (1)在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()f() ； (2)在(a ，b) 内至少存在一点 ()，使得 f() f() 25 设奇函数 f()在 1，1上二阶可导，且 f(1)1，证明：(1)存在 (0，1) ，使得 f()1；(2)存在 (1，1)，使得 f()f()126 设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，证明：存在 (0，1)，使得 f(1)f(0)(1 2)f()27 设 f()在0， 上二阶连续可导，且 f(0)0，证明：存在 ，(0， )，使得28 若函数 f()在0 ，1上二阶可微，
6、且 f(0)f(1) ， f()1，证明：f()在0， 1上成立考研数学二（一元函数微分学及应用）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学及应用2 【正确答案】 C【试题解析】 由 y 2ab 得 y2a； 2y 1y 3 两边对 求导得 2yy 33y 2y，解得 y 因为两曲线在(1，1)处相切，所以解得 a1，b1，应选 C【知识模块】 一元函数微分学及应用3 【正确答案】 C【试题解析】 取 0 得 f(0)0 由 f()f 2()2 得 f() 2f()f()2，从而 f(0)2 因为 f(
7、0) 2 0，所以存在 0，当0 时， 0， 从而 故(0，f(0)为曲线 yf()的拐点，应选 C【知识模块】 一元函数微分学及应用4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f()为偶函数，所以 f()为奇函数，f() 为偶函数，从而在(0 ，) 内有 f()0，f() 0，应选 C【知识模块】 一元函数微分学及应用5 【正确答案】 A【试题解析】 yf( )f()f(c) (c)，由 f()0，f()0 得f(c)f() 0，即 ydy0，应选 A【知识模块】 一元函数微分学及应用二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 令 y2 2 ln22 (1ln2)0 得 ， 当 时，y0；当 时，
8、y0， 故 为函数 y2 的极小值点【知识模块】 一元函数微分学及应用7 【正确答案】 【试题解析】 令 y12sin 0 得 ， y2cos，因为0，所以 为 y2cos 的极大值点，也是最大值点，故最大值为【知识模块】 一元函数微分学及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学及应用9 【正确答案】 曲线 r1cos 的参数方程为 对应的曲线上的点为【知识模块】 一元函数微分学及应用10 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学及应用11 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学及应用12 【正确答案】 ye sine cos
9、， 由归纳法得【知识模块】 一元函数微分学及应用13 【正确答案】 令 y由 A(21)B(1)33 得 解得 A2，B1，【知识模块】 一元函数微分学及应用14 【正确答案】 令 y 由A(1)B(1) 得【知识模块】 一元函数微分学及应用15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学及应用16 【正确答案】 y (5)C 502ln(12) (5)C 512ln(12) (4)C 52ln(12) (3)， 由ln(12) 得【知识模块】 一元函数微分学及应用17 【正确答案】 f(2)f(0) 1， 当 (0，1)时，f() ，当1 时，f() ， 即 f() 当 01 时，由 f(2
10、)f(0)2f()得12，解得 当 12 时，由 F(2)f(0)2f()得1 ，解得 【知识模块】 一元函数微分学及应用18 【正确答案】 因为 f()在0，3上连续，所以 f()在0，3上取到最小值 m 和最大值 M 3mf(0)f(1) f(2)3M，即 m1M， 由介值定理，存在 c0，3，使得 f(c)1 因为 f(c)f(3)1，所以由罗尔定理，存在 (c，3) (0，3)，使得f()0 【知识模块】 一元函数微分学及应用19 【正确答案】 令 ()(b) af()， 因为 (a) (b)0，所以存在 (a，b)，使得 ()0 ， 而 ()a(b) a1 f()(b) af()，
11、故 f() f()【知识模块】 一元函数微分学及应用20 【正确答案】 令 ()f()sin，(0)() 0，由罗尔定理，存在 (0，) ，使得 ()0，而 ()f()sinf()cos，于是 f()sinf()cos0，故 f()f()cot【知识模块】 一元函数微分学及应用21 【正确答案】 令 () f()， 由 f(a) f()得 (a)(a) ， 由罗尔定理，存在 (a ，a)，使得 ()0， 而 () f()2f()且 0，故 f()2f()【知识模块】 一元函数微分学及应用22 【正确答案】 令 ()f() ， 由积分中值定理得 f(1) .cf(c).cf(c)，其中c0， 从
12、而 (c)(1)，由罗尔中值定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()0 而 ()f()f()，故 f() 【知识模块】 一元函数微分学及应用23 【正确答案】 令 ()e f()F() ， (0)0(1) 0，由罗尔定理，存在(0， 1)，使得 ()0， 而 ()e f() f()且 e 0，故 f()f() 【知识模块】 一元函数微分学及应用24 【正确答案】 (1)令 F() af(t)dt，F(a) F(b)0， 由罗尔定理，存在 c(a，b)，使得 F(c)0 ，即 f(c)0 令 h()e f()，h(a)h(c)0， 由罗尔定理，存在(a， c)，使得 h()0， 由 h()
13、e f()f()且 e 0，故 f()f() (2) 同理，由 h(c)h(b)0，则存在 (c，b)，使得 f()f() 令 ()e f()f() ，() ()0， 由罗尔定理，存在 (，) (a， b)，使得 ()0， 而 ()e f()f()且 e0，故 f()f() 【知识模块】 一元函数微分学及应用25 【正确答案】 (1)令 h()f()， 因为 f()在1，1上为奇函数，所以 f(0)0， 从而 h(0)0，h(1)0， 由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 h()0， 而h()f()1，故 (0，1)，使得 f()1 (2)令 ()e f()1， 因为 f()为奇函数，所以 f(
14、)为偶函数，由 f()1 得 f()1 因为 ()()，所以存在 (，) (1，1)，使得 ()0， 而 ()e f()f()1且 e0， 故 f()f()1【知识模块】 一元函数微分学及应用26 【正确答案】 令 F()arctan，F() 0，由柯西中值定理，存在(0， 1)， 使得 即 f(1)f(0) (1 2)f()【知识模块】 一元函数微分学及应用27 【正确答案】 令 F()cos2 ，F()2sin20(0 )， 由柯西中值定理，存在 (0， )，使得 由拉格朗日中值定理，存在 (0， )，使得 再由拉格朗日中值定理，存在 (0， )，使得 f()f()f(0)f()，【知识模块】 一元函数微分学及应用28 【正确答案】 由泰勒公式得 f(0)f()f()(0) (0) 2，其中 介于0 与 之间； f(1)f() f()(1) (1) 2，其中 介于 1 与 之间， 两式相减得 f() (1) 2， 从而f()由 2，(1)21 得 2(1) 21，故f()1 【知识模块】 一元函数微分学及应用
