1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1991 年) 曲线 y 【 】（A）没有渐近线（B）仅有水平渐近线（C）仅有铅直渐近线（D）既有水平渐近线也有铅直渐近线2 (1992 年) 当 0 时，sin 是 2 的 【 】（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价无穷小3 (1993 年) 设 f() ，则在点 1 处函数 f() 【 】（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但导数不连续（D）可导，且导数连续4 (1993 年) 设常数 k0，函数 f()ln k 在(0，
2、)内零点个数为 【 】（A）3（B） 2（C） 1（D）05 (1993 年) 若 f()f() ，在(0，) 内 f() 0，f() 0，则 f()在(，0)内 【 】（A）f() 0，f ()0（B） f()0，f()0（C） f()0，f()0（D）f() 0，f ()06 (1994 年) 设 2，则 【 】（A）a1， b（B） a0，b2（C） a0，b（D）a1， b27 (1994 年) 设 f() ，则 f()在 1 处的 【 】（A）左、右导数都存在（B）左导数存在，但右导数不存在（C）左导数不存在，但右导数存在（D）左、右导数都不存在8 (1994 年) 设 yf()是满
3、足微分方程 yye sin0 的解，且 f(0)0，则 f()在 【 】（A） 0 某邻域内单调增加（B） 0 某邻域内单调减少（C） 0 处取得极小值（D） 0 处取得极大值9 (1994 年) 曲线 y 的渐近线有 【 】（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条10 (1995 年) 设 f()在(，) 内可导，且对任意 1， 2，当 1 2 时，都有 f(1)f( 2)，则 【 】（A）对任意 ，f()0（B）对任意 ，f()0（C）函数 f()单调增加（D）函数f() 单调增加11 (1995 年)设函数 f()在0，1上 f()0，则 f(1)、f(0)、f(1) f(0
4、)或 f(0)f(1)的大小顺序是 【 】（A）f(1)f(0)f(1)f(0)（B） f(1) f(1)f(0)f(0)（C） f(1)f(0)f(1)f(0)（D）f(1)f(0)f(1)f(0)12 (1995 年)设 f()可导，F()f()(1 sin)若 F()在 0 处可导，则必有 【 】（A）f(0)0（B） f(0) 0（C） f(0)f(0)0（D）f(0)f(0)0二、填空题13 (1992 年) 设 ，其中 f 可导，且 f(0)0，则 _14 (1992 年) 函数 y 2cos 在区间0， 上的最大值为 _15 (1993 年) ln_16 (1993 年) 函数
5、yy()由方程 sin(2y 2)e 0 所确定，则 _17 (1994 年) 设函数 yy()由参数方程 所确定，则_18 (1995 年) 设 ycos( 2)sin2 ，则 y_19 (1995 年) 曲线 ，在 t2 处的切线方程为_20 (1995 年) 曲线 y 2 的渐近线方程为_21 (1996 年) 设 y _22 (1997 年) 设 y _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 (1989 年) 确定函数 y 的单调区间，极值，凹向，拐点及渐近线24 (1990 年)求由方程 2y (y)ln( y) 所确定的函数 yy()的微分 dy25 (1990 年
6、) 求曲线 y (0)的拐点26 (1990 年) 在椭圆 1 的第一象限部分上求一点 P，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小(其中 a0，b 0)27 (1990 年) 证明：当 0，有不等式 arctan 28 (1991 年) 设29 (1991 年) 求30 (1991 年) 利用导数证明：当 1 时，有不等式 考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 1，则原曲线有水平渐近线 y1，又，则原曲线有垂直渐近线 0，所以应选 D【知识模块】 一元函数微分
7、学2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 则当 0 时，sin 是 2 的高阶无穷小【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 即 不存在，则 f()在 1 处不连续【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由 f()ln k 可知，f() 令 f()0 得 e ，且当(0，e) 时 f()0，则 f()严格单调增；而当 (e，)时，f()0，则 f()严格单调减，又 f(e)k 0，而， 则 f()在(0，e)和(e，)分别有唯一零点，故 f()ln k 在(0，)内零点个数为 2【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 由 f()f
8、( )知 f(z)f() ，即 f()的图形关于原点对称，从而由在(0 ，) 内 f()0，f() 0 可知，在( ，0)内 f()0，f() 0，因此应选 C【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 由上式右端可知a1，否则原式极限为无穷【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 1，但 f(1) ，则 f()在 1 不右连续，从而f+(1)不存在，又 3 在 1 可导，而 1 时 f() 3，则 f-存在，故应选 B【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 由于 yf()满足方程 yye sin0，则 f()f() e sin0 令
9、 0，得 f( 0)f( 0) 0 即 f( 0) 0 又 f(0)0 则 f()在 0 处取极小值【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 B【试题解析】 由 可知原曲线有水平渐近线y 又 ，则原曲线有垂直渐近线 0，虽然原题中当 1，2 时分母为零，但 都不是，则原曲线的渐近线有两条【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 D【试题解析】 由于对任意的 1， 2，当 1 2 时 1 2，则有 f( 1)( 2)，即f( 1)f( 2)，也就是说，当 1 2 时，f( 1)f( 2)，故f()单调增【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f()0 0，
10、1则 f()单调增，又 f(1)f(0)f(c) c (0，1)从而 f(1)f(c)f(0)即 f(1)f(1)f(0)f(0)【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 A【试题解析】 由于 F() f()f()sin ，而 f()可导，则 F()在 0 可导等价于 f()sin在 0 可导，令 ()f()sin则要使 F()在 0 可导，当且仅当 f(0)(0) ，即 f(0)0【知识模块】 一元函数微分学二、填空题13 【正确答案】 3【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【试题解析】 y12sin ，令 y0 得 y2cos， 0，则 y2cos 在 取得
11、极大值，又在(0， )上极值点唯一，则该极大值为最大值，最大值为【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【试题解析】 等式 sin(2y 2)e yy 20 两边对 求导得【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 (6t5)(t1) 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 2sin( 2)sin2 cos(2)【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 3 y 70【试题解析】 当 t2 时 5，y8 则所求切线方程为y83(5)，即 3y70【知识模块】 一元函数微分学20
12、【正确答案】 y0【试题解析】 由于 0，原曲线仅有一条水平渐近线 y0【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【试题解析】 由对数的性质可知 y ln(1)ln(1 2)【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 令 y0 得2；令 y0 得 3 则该函数在(2，0)上单调增，在(，2)和(0， )上单调减，在 2 取极小值 ，其图形在(3，0)和(0，)上是凹的，在(， 3)上是凸的，拐点为(3， ) 又 则该曲线有水平渐近线 y0和垂直渐近线 0【知识模块】 一元函
13、数微分学24 【正确答案】 等式 2y( y)ln( y)两边微分得 2dyd (ddy)ln(y)( y). (ddy)(d dy)1ln(y) 则 dy【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 y0，得，且 y在 两侧变号，则 为拐点【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 设 P(0，y 0)为所求点，则此点处椭圆的切线方程为令 0，得该切线在 y 轴上的截距为 ， 令 y0，得该切线在 轴上截距为 因为 S1的极大点即 S 的极小点，为计算方便，求 S 的极小值点改为求 S1 的极大值点 S 1令 S10，得 0 ，且 S1 在 0 点处左侧为正；右侧为负，则 S1 在
14、 0 取得极大值，又 0 为 S1 在(0，a)上唯一极值点，则 S1 在 0取极大值，从而 0 时 S 为最小，此时 y0 ，即 P 为所求之【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 令 f()arctan (0)，则 f() 0，(0)所以 f()在(0，)上单调减少又 f()0，所以，当 0 时， f()arctan 0 即 arctan【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 要证 ，只需证明(1)ln(1)ln 为此令f()( 1)ln(1 )ln f()ln(1) ln0 (1) 又 f(1)2ln20 则当1 时 f()0，即(1)ln(1)ln 【知识模块】 一元函数微分学
