1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (07 年 )设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是2 (07 年 )曲线 +ln(1+ex)渐近线的条数为（A）0（B） 1（C） 2（D）33 (07 年 )设函数 f(x)在(0 ，+)上具有二阶导数，且 f“(x)0，令 un=f(n)(n=1，2，)，则下列结论正确的是（A）若 u1u 2,则u n必收敛（B）若 u1u 2，则u n必发散（C）若 u1u 2，则u n必收敛（D）若 u1u 2，则u n必发散4 (08 年 )设函数 f(x
2、)=x2(x1)(x-2)，则 f(x)的零点个数（A）0（B） 1（C） 2（D）35 (09 年 )若 f“(x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(11)处的曲率圆为 x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内（A）有极值点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点6 (10 年 )曲线 y=x2 与曲线 y=alnx(a0)相切，则 a=（A）4e（B） 3e（C） 2e（D）e7 (11 年 )设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则（A）一 2f(0)（B） -f(0)（C） f(0)（D）08 (11 年 )函数 f(x)=ln
3、|(x1)(x 一 2)(x-3)|的驻点个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）39 (12 年 )曲线 渐近线的条数为（A）0（B） 1（C） 2（D）310 (12 年) 设函数 f(x)=(ex 一 1)(e2x 一 2)(enx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f(0)=（A）(-1) n-1(n 一 1)!（B） (-1)n(n 一 1)!（C） (-1)n-1n!（D）(一 1)nn!11 (13 年) 设函数 y=f(x)由方程 cos(xy)+lnyx=1 确定，则（A）2（B） 1（C）一 1（D）一 2二、填空题12 (07 年) 曲线 上对应于 的点处的法线斜率为_1
4、3 (07 年) 设函数 则 y(n)(0)=_14 (08 年) 曲线 sin(xy)+ln(yx)=x 在点(0 ，1)处的切线方程是 _15 (08 年) 曲线 的拐点坐标为_16 (09 年) 设 y=y(x)是由方程 xy+ey=x+1 确定的隐函数，则17 (09 年) 曲线 在点(0，0) 处的切线方程为_18 (09 年) 函数 y=x2x 在区间 (0，1上的最小值为_19 (10 年) 曲线 的渐近线方程为_20 (10 年) 函数 y=In(12x)在 x=0 处的 n 阶导数 y(n)(0)=_21 (10 年) 已知一个长方形的长 l 以 2 cms 的速率增加，宽
5、w 以 3 cms 的速率增加，则当 l=12 cm，w=5 cm 时，它的对角线增加的速率为 _22 (12 年) 设 y=y(x)是由方程 x2 一 y+1=ey 所确定的隐函数，则23 (12 年) 曲线 y=x2+x(x0)上曲率为 的点的坐标是 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 (07 年) 设函数 f(x)，g(x)在a，b 上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b) ，证明：存在 (a，b)，使得 f“()=g”()25 (08 年) 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，其中 x(t)是初值问题的解，求2
6、6 (09 年)(I)证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在 a,b上连续，在(a,b)内可导，则存在 (a，b)，使得 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)()证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续,在(0 )(0)内可导，且 ，则 f+(0)存在，且 f+(0)=A27 (10 年) 求函数 的单调区间与极值28 (10 年) 设函数 f(x)在闭区间 0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)= 证明：存在 使得 f()+f()=2+229 (11 年) 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，求 y=y(x)的极值和曲线 y=y(x)的凹凸区间及拐点30
7、 (12 年) 证明：考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 存在及 f(x)在 x=0 处的连续性知，f(0)=0 ，从而有=f(0)，所以，命题(A) 和 (C)是正确的；由+f(-x)=2f(0)=0则 f(0)=0，所以，命题(B)也是正确的事实上，命题(D)是错误的例如，令 f(x)=|x|，显然但 f(x)=|x|在 x=0 处不可导，即 f(0)不存在故应选(D) 【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 则 x=0 为原曲线的一条垂
8、直渐近线而 则 y=0 为原曲线的一条水平渐近线则 y=x+1 为原曲线的一条斜渐近线，由此可知原曲线共有三条渐近线所以，本题应选(D)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日中值定理知 u 2 一 u1=f(2)一 f(1)=f(c) (1c 2)而 u2u 1，则 f(c)0由于 f“(x)0，则 f(x)单调增，从而有 f(2)f(c) 0，由泰勒公式得，f(x)=f(2)+f(2)(x 一 2)+ (x 一 2)2 x(0,+)则 f(n)=f(2)+f(2)(n 一 2)+(n 一 2)2f(2)+f(2)(n 一 2) (n2)由于 f(2)0，则
9、(f(2)+f(2)(n 一 2)=+,从而 故u n发散。【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(0)=f(1)=f(2)，由罗尔定理知 f(x)在(0，1) 和(1，2)内至少各有一个零点，又 x=0 是 f(x)的二重零点，则 x=0 是 f(x)的一个零点，即 f(x)至少有 3个零点，又 f(x)是一个 3 次多项式，最多 3 个零点，故应选 (D)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 由题设条件知曲线 y=f(x)是凸的且 f”(x)0，曲率半径为而 y(1)=f(1)=一 1则 y”(1)=f“(1)=一 2 由于f“(x)
10、0则 f(x)在1,2 上单调减从而 f(x)f(1)0,从而函数 f(x)在12上单调减故该函数没有极值点 又 f(1)=10，f(2) 一 f(1)=f()(2 一 1)=f()-1 则f(2)-1+f(1)=0，即 f(2)0，所以函数 f(x)在(1，2)内有唯一零点，故应选(B)【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 由于曲线 y=x2 与曲线 y=alnx 相切，则a=2x2=2e【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 令 3x 2 一12x+11=0 由于 =122 一 12
11、x+110，则该方程有两个实根，f(x) 有两个驻点【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 由于 ，则该曲线有水平渐近线 y=1又则 x=1 为该曲线的一条垂直渐近线，故应选(C)【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 A【试题解析】 记 g(x)=(e2x 一 2)(e3x 一 3)(enx 一 n)则 f(x)=(e x 一 1)g(x) f(x)=exg(x)+(ex 一 1)g(x) 则 f(0)=g(0)=(一 1)(一 2)(一(n 一 1)=(一 1)n-1(n1)! 故应选(A)【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 A【试题解析】 由方程
12、 cos(xy)+lnyx=1 知，当 x=0 时,y=1 ，即 f(0)=1以上方程两端对 x 求导得 将 x=0，y=1 代入上式得 y| x=0=1 即f(0)=1【知识模块】 一元函数微分学二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 =(2x+3)-1，y=(一 1)(2x+3)-2.2；y”=( 一 1).(-2)(2x+3)-32 2 则 y(n)=(一 1)nn!(2x+3)-(n+1).2n；y (n)(0)=(一 1)nn!3-(n+1).2n=*699【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 y=x+1【试
13、题解析】 由 sin(xy)+ln(yx)=x 知 在上式中令x=0，y=1，得 y=1则该曲线在点 (0，1)处的切线方程是 y=x+1【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 (一 1，一 6)。【试题解析】 令 y“=0，得x=一 1，在 x=一 1 两侧 y“变号则(-1，一 6)为原曲线的拐点 这里应注意 x=0时，y“不存在，所以(0 ， 0)也可能是拐点，但在 x=0 的两侧 y“不变号，故(0，0)不是该曲线的拐点【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 一 3【试题解析】 等式 xy+ey=x+1 两端对 x 求导得 y+xy+ye y=1 将 x=0，y=0 代
14、入上式得 y(0)=1 y+xy+ye y=1 两端对 x 求导得 y+y+xy”+y“e y+(y)2ey=0再把 x=0y=0及 y(0)=1 代入得 y“(0)=一 3【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 y=2x【试题解析】 由题设知，当 x=0 时，t=1 故过(00)点的切线方程为 y-0=2(x 一 0)即 y=2x【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 y=2x【试题解析】 显然曲线 无水平渐近线和垂直渐近线则原曲线有斜渐近线 y=2x【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 一 2n(n 一 1)!【试题
15、解析】 利用 ln(1+x)的麦克劳林展开式【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 3【试题解析】 设 l=x(t)，w=y(t), 其对角线长为 z(t)，则 z2(t)-x2(t)+y2(t)，2z(t)z(t)=2x(t)x(t)+2y(t)y(t)将 x(t)=12，y(t)=5 ，x(t)=2，y(t)=3，z(t)= =13 代入上式得 z(t)=3【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 1【试题解析】 在方程 x2 一 y+1=ex 中令 x=0得 y=0该方程两端对 x 求导得 2x一 y=eyy 将 x=0y=0 代入上式得 y(0)=0，上式再对 x 求导
16、2 一 y“=eyy2+eyy“ 将 x=0，y=0，y(0)代入上式得 y“(0)=1【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 (一 1,0)【试题解析】 由 y=x2+x 得，y=2x+1 ，y“=2代入曲率计算公式得(2x+1)2=1 解得 x=0 或 x=一 1又 x0，则x=一 1，这时 y=0，故所求点的坐标为(一 1，0)【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 令 (x)=f(x)一 g(x)，以下分两种情况讨论： 1)若 f(x)和 g(x)在(a， b)内的同一点处 c(a，b)取到其最大值，则 (c)=f(c)
17、一 g(c)=0,又 (a)=(b)=0，由罗尔定理知 (a，c)，使 (1)=0； (c,b)使 (2)=0 对 (x)在 1， 2上用罗尔定理得， (1， 2)，使 “()=0 2)若 f(x)和 g(x)在(a,b)内不在同一点处取到其最大值不妨设 f(x)和 g(x)分别在 x1 和 x2(x1x 2)取到其在(a ，b)内的最大值则 (x1)=f(x1)一 g(x1)0， (x 2)=f(x2)一 g(x2)0 由连续函数的介值定理知，(x1,x2)，使 (c)=0以下证明与 1)相同【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 由 一 2te-x=0 得 exdx=2tdt，积分
18、并由条件 x|t=0=0，得 ex=1+t2，即 x=ln(1+t2)【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 由题意知 F(x)在a， b上连续，在(a，b)内可导，且 根据罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F()=f()一 ，即 f(b) 一 f(a)=f()(b一 a)( )对于任意的 t(0，)，函数 f(x)在0，t上连续，在(0，t) 内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 f(x)的定义域为( 一,+)，由于所以 f(x)的驻点为 x=0，1 列表讨论如下：因此，f(x)的单调增加区间为( 一 1，0)及(1,+) ，单调减少区
19、间为(一，一 1)及(0，1)；极小值为 f(1)=0，极大值为 f(0)=【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 设函数 F(x)=f(x)一 由题意知 F(0)=0，F(1)=0 在上分别应用拉格朗日中值定理，有二式相加，得即 f()+f()=2+2【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 由此可知，函数 y(x)的极大值为 y(一 1)=y|t=-1=1，极小值为 曲线 y=y(x)的凹区间为 凸区间为 由于 所以曲线 y=y(x)的拐点为【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 显然 f(x)为偶函数，因此，只要证明 f(x)0 x0，1)从而有 f(x)0 x(0，1)又 f(0)=0 则 f(x)0 x0，1)故原不等式成立【知识模块】 一元函数微分学
